高三数学一轮复习： 第10章 第4节 随机事件的概率

这是一份高三数学一轮复习： 第10章 第4节 随机事件的概率，共9页。

1．概率和频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq \f(nA,n)为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
2．事件的关系与运算
3.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式．
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的．( )
(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值．( )
(3)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( )
(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．(教材改编)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．
在上述事件中，是对立事件的为( )
A．① B.②
C.③ D.④
B [至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生，∴②中两事件是对立事件．]
3．(2016·天津高考)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是eq \f(1,2)，甲获胜的概率是eq \f(1,3)，则甲不输的概率为( )
A.eq \f(5,6) B.eq \f(2,5)
C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,3)
A [事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＝eq \f(5,6).]
4．(2017·郑州调研)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是________．
eq \f(1,3) [从A，B中各取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共6种情况，
其中和为4的有两种情况(2,2)，(3,1)，
故所求事件的概率P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).]
5．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________．(填序号)
①至多有一次中靶；②两次都中靶；③只有一次中靶；④两次都不中靶
④
(2017·中山模拟)从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是( )
A．① B.②④
C.③ D.①③
C [从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数，
其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件．
又①②④中的事件可以同时发生，不是对立事件．]
[规律方法] 1.本题中准确理解恰有两个奇数(偶数)，一奇一偶，至少有一个奇数(偶数)是求解的关键，必要时可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．
2．准确把握互斥事件与对立事件的概念．
(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．
(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件有且仅有一个发生．
[变式训练1] 口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A＝“取出的2球同色”，B＝“取出的2球中至少有1个黄球”，C＝“取出的2球至少有1个白球”，D＝“取出的2球不同色”，E＝“取出的2球中至多有1个白球”．下列判断中正确的序号为________.
【导学号：01772392】
①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．
①④ [当取出的2个球中一黄一白时，B与C都发生，②不正确．当取出的2个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，则③不正确．显然A与D是对立事件，①正确；C∪E为必然事件，④正确．由于P(B)＝eq \f(4,5)，P(C)＝eq \f(3,5)，所以⑤不正确．]
(2016·全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
[解] (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为eq \f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.4分
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为eq \f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.8分
(3)由所给数据得
10分
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.12分
[规律方法] 1.解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率．
2．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
[变式训练2] (2017·西安质检)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
(1)在4月份任选一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
[解] (1)由4月份天气统计表知，在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，2分
以频率估计概率，在4月份任选一天，西安市不下雨的概率为eq \f(26,30)＝eq \f(13,15).5分
(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率f＝eq \f(14,16)＝eq \f(7,8).10分
以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为eq \f(7,8).12分
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
【导学号：01772393】
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)．
[解] (1)由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(25＋y＋10＝100×55%，,x＋30＝45，))
解得x＝15，且y＝20.2分
该超市所有顾客一次性购物的结算时间组成一个总体，100位顾客一次购物的结算时间视为总体的一个容量为100的简单随机抽样，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计．
又eq \x\t(x)＝eq \f(1×15＋1.5×30＋2×25＋20×2.5＋10×3,100)＝1.9，
∴估计顾客一次购物的结算时间的平均值为1.9分钟.5分
(2)设B，C分别表示事件“一位顾客一次购物的结算时间分别为2.5分钟、3分钟”．设A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．”7分
将频率视为概率，得P(B)＝eq \f(20,100)＝eq \f(1,5)，
P(C)＝eq \f(10,100)＝eq \f(1,10).
∵B，C互斥，且eq \x\t(A)＝B＋C，
∴P(eq \x\t(A))＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝eq \f(1,5)＋eq \f(1,10)＝eq \f(3,10)，10分
因此P(A)＝1－P(eq \x\t(A))＝1－eq \f(3,10)＝eq \f(7,10)，
∴一位顾客一次购物结算时间不超过2分钟的概率为分
[规律方法] 1.(1)求解本题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来．
(2)结算时间不超过2分钟的事件，包括结算时间为2分钟的情形，否则会计算错误．
2．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(eq \x\t(A))求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法．
[变式训练3] 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
[解] (1)P(A)＝eq \f(1,1 000)，
P(B)＝eq \f(10,1 000)＝eq \f(1,100)，2分
P(C)＝eq \f(50,1 000)＝eq \f(1,20).
故事件A，B，C的概率分别为eq \f(1,1 000)，eq \f(1,100)，eq \f(1,20).5分
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.
∵A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝eq \f(1＋10＋50,1 000)＝eq \f(61,1 000)，8分
故1张奖券的中奖概率约为eq \f(61,1 000).
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1 000)＋\f(1,100)))＝eq \f(989,1 000)，
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq \f(989,1 000).12分
[思想与方法]
1．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
2．对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且二者必有一个发生．
3．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．
(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq \x\t(A))，即运用逆向思维(正难则反)．
[易错与防范]
1．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．
2．正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是特殊的互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
3．需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义．
定义
符号表示
包含关系
若事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A
(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A，且A⊇B，那么称事件A与事件B相等
A＝B
并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B
(或A＋B)
交事件(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B
(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅
且A∪B＝Ω
随机事件间的关系
随机事件的频率与概率
上年度出
险次数
0
1
2
3
4
≥5
保 费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
出险
次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
互斥事件与对立事件的概率
一次购物量
1至
4件
5至
8件
9至
12件
13至
16件
17件及
以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间
(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3