高三数学一轮复习： 重点强化课5 统计与统计案例

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☞角度1 程序框图与数列交汇
执行如图1的程序框图，如果输入的N＝100，则输出的X＝( )
A．0.95

图1
C [由程序框图知，输出的X表示数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,nn＋1)))的前99项和，
∴X＝eq \f(1,1×2)＋eq \f(1,2×3)＋…＋eq \f(1,99×100)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,99)－\f(1,100)))＝eq \f(99,100).]
☞角度2 程序框图与统计的渗透
(2017·合肥模拟)随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高获得身高数据的茎叶图如图2，在样本的20人中，记身高在[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190)的人数依次为A1，A2，A3，A4.如图3是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法框图．若图中输出的S＝18，则判断框应填________．
【导学号：01772372】
图2 图3
i<5？或i≤4？ [由于i从2开始，也就是统计大于或等于160的所有人数，于是就要计算A2＋A3＋A4，因此，判断框应填i<5？或i≤4？.]
☞角度3 程序框图与函数交汇渗透
如图4所示的程序框图的输入值x∈[－1,3]，则输出值y的取值范围为( )
【导学号：01772373】
图4
A．[1,2] B.[0,2]
C.[0,1] D.[－1,2]
B [当0≤x≤3时，1≤x＋1≤4，
所以，0≤lg2(x＋1)≤2.
当－1≤x<0时，0<－x≤1⇒1<2－x≤2，
所以，0<2－x－1≤1.
因此输出值y的取值范围为[0,2]．]
[规律方法] 1.完善程序框图：结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．
2．求解该类问题，关键是准确理解程序框图的结构，明确程序框图的功能，按照程序框图中的条件进行程序．
重点2 用样本估计总体
(2015·全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
①
图5
B地区用户满意度评分的频数分布表
(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
②
图5
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．
[解] (1)如图所示．
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散.5分
(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.
所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.12分
[规律方法] 1.利用统计图表解决实际问题的关键在于从统计图表中提炼准确的数据信息．
2．本例通过画频率分布直方图考查对数据的处理能力和数形结合的思想方法，通过求概率考查运算求解能力和实际应用意识．
[对点训练1] 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图6所示.
图6
(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；
(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为eq \x\t(x)1，eq \x\t(x)2，估计eq \x\t(x)1－eq \x\t(x)2的值．
[解] (1)设甲校高三年级学生总人数为n.
由题意知eq \f(30,n)＝0.05，解得n＝600.2分
样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(5,30)))×100%≈83%.5分
(2)设甲、乙两校样本平均数分别为eq \x\t(x)′1，eq \x\t(x)′2，
根据样本茎叶图可知30(eq \x\t(x)′1－eq \x\t(x)′2)＝30eq \x\t(x)′1－30eq \x\t(x)′2＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92＝2＋49－53－77＋2＋92＝15，
因此eq \x\t(x)′1－eq \x\t(x)′2＝0.5，
故eq \x\t(x)1－eq \x\t(x)2的估计值为0.5分.12分
重点3 统计的应用
(2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
图7
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．
(1)若n＝19，求y与x的函数解析式；
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
[解] (1)当x≤19时，y＝3 800；
当x>19时，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700，
所以y与x的函数解析式为
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3 800，x≤19，,500x－5 700，x＞19))(x∈N).4分
(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19.8分
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300,10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为eq \f(1,100)(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000.10分
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000，10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为eq \f(1,100)(4 000×90＋4 500×10)＝4 050.
比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.12分
[规律方法] 1.本题将分段函数、频率分布、样本的数字特征交汇命题，体现了统计思想的意识和应用．
2．本题易错点有两处：一是混淆频率分布直方图与柱状图致误；二是审题不清或不懂题意，导致解题无从入手．避免此类错误，需认真审题，读懂题意，并认真观察频率分布直方图与柱状图的区别，纵轴表示的意义．
[对点训练2] 某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表：
(1)判断是否在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？
(2)用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6位市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率．
下面的临界值表供参考：
(参考公式：K2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)))，其中n＝a＋b＋c＋d)
[解] (1)K2＝eq \f(5520×20－10×52,30×25×25×30)≈11.978>7.879，
所以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关.5分
(2)设所抽样本中有m个“大于40岁”市民，则eq \f(m,20)＝eq \f(6,30)，得m＝4，所以样本中有4个“大于40岁”的市民，2个“20岁至40岁”的市民，分别记作B1，B2，B3，B4，C1，C2.
从中任选2人的基本事件有(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，B4)，(B3，C1)，(B3，C2)，(B4，C1)，(B4，C2)，(C1，C2)，共15个.10分
其中恰有1名“大于40岁”和1名“20岁至40岁”的市民的事件有(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(B4，C1)，(B4，C2)，共8个．
所以恰有1名“大于40岁”的市民和1名“20岁至40岁”的市民的概率为P＝eq \f(8,15).12分
满意度
评分分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数
2
8
14
10
6
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
喜欢
不喜欢
总计
大于40岁
20
5
25
20岁至40岁
10
20
30
总计
30
25
55
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828