高三数学一轮复习： 重点强化课3 不等式及其应用

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(1)(2016·山东青岛一模)函数y＝eq \f(\r(1－x2),2x2－3x－2)的定义域为( )
A．(－∞，1] B.[－1,1]
C．[1,2)∪(2，＋∞) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋1，x≥0，,1，x<0，))则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是__________．
(1)D (2)(－1，eq \r(2)－1) [(1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x2≥0，,2x2－3x－2≠0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤1，,x≠2且x≠－\f(1,2)，))即－1≤x≤1且x≠－eq \f(1,2)，所以函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))∪\b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))))，故选D.
(2)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x2>0，,2x<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x2>2x，,2x≥0，))
解得－1所以x的取值范围为(－1，eq \r(2)－1)．]
[规律方法]
一元二次不等式综合应用问题的常见类型及求解方法
(1)与函数的定义域、集合的综合，此类问题的本质就是求一元二次不等式的解集．
(2)与分段函数问题的综合．解决此类问题的关键是根据分段函数解析式，将问题转化为不同区间上的不等式，然后根据一元二次不等式或其他不等式的解法求解．
(3)与函数的奇偶性等的综合．解决此类问题可先根据函数的奇偶性确定函数的解析式，然后求解，也可直接根据函数的性质求解．
[对点训练1] 已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为__________.
【导学号：01772215】
(－5,0)∪(5，＋∞) [由于f(x)为R上的奇函数，
所以当x＝0时，f(0)＝0；当x<0时，－x>0，
所以f(－x)＝x2＋4x＝－f(x)，
即f(x)＝－x2－4x，
所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4x，x>0，,0，x＝0，,－x2－4x，x<0.))由f(x)>x，可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4x>x，,x>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2－4x>x，,x<0，))解得x>5或－5所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．]
重点2 线性规划问题
(1)(2017·深圳二次调研)若实数x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1≥0，,x－1≤0，,4x－y＋1≥0，))则目标函数z＝eq \f(y＋1,x＋3)的最大值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(3,2) D.2
(2)当实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y－4≤0，,x－y－1≤0，,x≥1))时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是__________．
【导学号：01772216】
(1)C (2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))) [(1)画出不等式组满足的平面区域为以点A(1,5)，B(1,0)，C(0,1)为顶点的三角形区域(包含边界)，目标函数z＝eq \f(y＋1,x＋3)表示为可行域内的点(x，y)和点(－3，－1)连线的斜率，由图可知点A(1,5)与点(－3，－1)的连线的斜率最大，即zmax＝eq \f(y＋1,x＋3)＝eq \f(5＋1,1＋3)＝eq \f(3,2)，故选C.]
(2)作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分所示，
令z＝ax＋y，即y＝－ax＋z.作直线l0：y＝－ax，平移l0，
最优解可在A(1,0)，B(2,1)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))处取得．
故由1≤z≤4恒成立，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1≤a≤4，,1≤2a＋1≤4，,1≤a＋\f(3,2)≤4，))
解得1≤a≤eq \f(3,2).]
[规律方法] 本题(2)是线性规划的逆问题，这类问题的特点是在目标函数或约束条件中含有参数，当在约束条件中含有参数时，那么随着参数的变化，可行域的形状可能就要发生变化，因此在求解时也要根据参数的取值对可行域的各种情况进行分类讨论，以免出现漏解．
[对点训练2] (2017·合肥二次质检)已知实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0，,x－3y－1≤0，,x≤1，))若z ＝kx－y的最小值为－5，则实数k的值为( )
A．－3 B.3或－5
C．－3或－5 D.±3
D [在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(－2，－1)，(1,0)，(1,2)为顶点的三角形区域，由图(图略)易得当k≤1时，当目标函数z＝kx－y经过平面区域内的点(1,2)时，z＝kx－y取得最小值zmin＝k－2＝－5，解得k＝－3；当k>1时，当目标函数z＝kx－y经过平面区域内的点(－2，－1)时，z＝kx－y取得最小值zmin＝－2k＋1＝－5，解得k＝3.综上所述，实数k的值为±3，故选D.]
重点3 基本不等式的综合应用
(2016·江苏高考节选)已知函数f(x)＝ax＋bx(a>0，b>0，a≠1，b≠1)．设a＝2，b＝eq \f(1,2).
(1)求方程f(x)＝2的根；
(2)若对于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值．
[解] 因为a＝2，b＝eq \f(1,2)，所以f(x)＝2x＋2－x.2分
(1)方程f(x)＝2，即2x＋2－x＝2，亦即(2x)2－2×2x＋1＝0，所以(2x－1)2＝0，即2x＝1，解得x＝0.5分
(2)由条件知f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2.
因为f(2x)≥mf(x)－6对于x∈R恒成立，且f(x)>0，
所以m≤eq \f(fx2＋4,fx)对于x∈R恒成立.8分
而eq \f(fx2＋4,fx)＝f(x)＋eq \f(4,fx)≥2eq \r(fx·\f(4,fx))＝4，且eq \f(f02＋4,f0)＝4，
所以m≤4，故实数m的最大值为4.12分
[规律方法]
基本不等式综合应用中的常见类型及求解方法
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．
[对点训练3] (1)设a，b，c∈(0，＋∞)，则“abc＝1”是“eq \f(1,\r(a))＋eq \f(1,\r(b))＋eq \f(1,\r(c))≤a＋b＋c”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知正数x，y满足x＋2y＝2，则eq \f(x＋8y,xy)的最小值为__________．
(1)A (2)9 [(1)当a＝b＝c＝2时，有eq \f(1,\r(a))＋eq \f(1,\r(b))＋eq \f(1,\r(c))≤a＋b＋c，
但abc≠1，所以必要性不成立．
当abc＝1时，eq \f(1,\r(a))＋eq \f(1,\r(b))＋eq \f(1,\r(c))＝eq \f(\r(bc)＋\r(ac)＋\r(ab),\r(abc))＝eq \r(bc)＋eq \r(ac)＋eq \r(ab)，
a＋b＋c＝eq \f(a＋b＋b＋c＋a＋c,2)≥eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ac)，所以充分性成立．
故“abc＝1”是“eq \f(1,\r(a))＋eq \f(1,\r(b))＋eq \f(1,\r(c))≤a＋b＋c”的充分不必要条件．
(2)由已知得eq \f(x＋2y,2)＝1.
则eq \f(x＋8y,xy)＝eq \f(1,y)＋eq \f(8,x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,y)＋\f(8,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋2y,2)))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10＋\f(x,y)＋\f(16y,x)))≥eq \f(1,2)(10＋2 eq \r(16))＝9，
当且仅当x＝eq \f(4,3)，y＝eq \f(1,3)时取等号．]