高三数学一轮复习： 第7章 第4节 直线、平面平行的判定及其性质

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1．直线与平面平行的判定与性质
2.面面平行的判定与性质
3.与垂直相关的平行的判定
(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( )
(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．( )
(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．( )
(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)下列命题中，正确的是( )
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C．若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α
D [根据线面平行的判定与性质定理知，选D.]
3．(2015·北京高考)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β ”是“α∥β ”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
B [当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β⇒/α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β ”是“α∥β ”的必要而不充分条件．]
4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．
【导学号：01772254】
平行 [如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，
∴EF∥BD1，
又EF⊂平面ACE，
BD1⊄平面ACE，
∴BD1∥平面ACE.]
5．(2017·河北石家庄质检)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.
其中是真命题的是________(填上序号)．
② [①，m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③，m∥β或m⊂β，故③错误；④，α∥β或α与β相交，故④错误．]
(2015·安徽高考)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
D [A项，α，β可能相交，故错误；
B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；
C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；
D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．]
[规律方法] 1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．
2．(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．
(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．
[变式训练1] (2017·唐山模拟)若m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列结论中正确的是( )
A．若m∥α，m∥n，则n∥α
B．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β
C．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m∥n
D．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β
D [在A中，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故A错误．在B中，若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α与β相交或平行，故B错误．在C中，若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故C错误．在D中，若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则由线面平行的判定定理得n∥β，故D正确．]
(2016·南通模拟)如图7­4­1所示，斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．
(1)当eq \f(A1D1,D1C1)等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq \f(AD,DC)的值．
图7­4­1
[解] (1)如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时eq \f(A1D1,D1C1)＝1.2分
连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，
∴点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
∴OD1∥BC1.4分
又∵OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1.
∴当eq \f(A1D1,D1C1)＝1时，BC1∥平面AB1D1.6分
(2)由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O得
BC1∥D1O，8分
∴eq \f(A1D1,D1C1)＝eq \f(A1O,OB)，
又由题(1)可知eq \f(A1D1,D1C1)＝eq \f(DC,AD)，eq \f(A1O,OB)＝1，
∴eq \f(DC,AD)＝1，即eq \f(AD,DC)＝1.12分
[规律方法] 1.判断或证明线面平行的常用方法有：
(1)利用反证法(线面平行的定义)；
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
2．利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．
[变式训练2] (2014·全国卷Ⅱ)如图7­4­2，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
图7­4­2
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)设AP＝1，AD＝eq \r(3)，三棱锥P­ABD的体积V＝eq \f(\r(3),4)，求A到平面PBC的距离．
[解] (1)证明：设BD与AC的交点为O，连接EO.
因为四边形ABCD为矩形，
所以O为BD的中点，
又E为PD的中点，
所以EO∥PB.3分
因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
所以PB∥平面AEC.5分
(2)由V＝eq \f(1,6)PA·AB·AD＝eq \f(\r(3),6)AB，
又V＝eq \f(\r(3),4)，可得AB＝eq \f(3,2).
作AH⊥PB交PB于点H.7分
由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，
故AH⊥平面PBC.
在Rt△PAB中，由勾股定理可得PB＝eq \f(\r(13),2)，所以AH＝eq \f(PA·AB,PB)＝eq \f(3\r(13),13).
所以A到平面PBC的距离为eq \f(3\r(13),13).12分
如图7­4­3所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
图7­4­3
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
[证明] (1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1.2分
又∵B1C1∥BC，
∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面.5分
(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.7分
∵A1G綊EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，则A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.10分
∵A1E∩EF＝E，
∴平面EFA1∥平面BCHG.12分
[迁移探究] 在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.
[证明] 如图所示，连接HD，A1B，
∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，
∴HD∥A1B.5分
又HD⊄平面A1B1BA，
A1B⊂平面A1B1BA，
∴HD∥平面A1B1BA.12分
[规律方法] 1.判定面面平行的主要方法：
(1)面面平行的判定定理．
(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．
2．面面平行的性质定理的作用：
(1)判定线面平行；(2)判断线线平行，线线、线面、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想．解题时要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向．
易错警示：利用面面平行的判定定理证明两平面平行时，需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行．
[变式训练3] (2016·山东高考)在如图7­4­4所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.
图7­4­4
(1)已知AB＝BC，AE＝EC，求证：AC⊥FB；
(2)已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC.
[证明] (1)因为EF∥DB，
所以EF与DB确定平面BDEF.2分
如图①，连接DE.
因为AE＝EC，D为AC的中点，
所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.
又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.4分
因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.5分
①
(2)如图②，设FC的中点为I，连接GI，HI.
在△CEF中，因为G是CE的中点，
所以GI∥EF.8分
又EF∥DB，所以GI∥DB.
在△CFB中，因为H是FB的中点，
所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，
所以平面GHI∥平面ABC.
因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.12分
②
[思想与方法]
1．线线、线面、面面平行的相互转化
其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．
2．直线与平面平行的主要判定方法
(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质．
3．平面与平面平行的主要判定方法
(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.
[易错与防范]
1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．
2．(1)在面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一条件．
(2)如要一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．
3．在应用性质定理时，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”，另外要注意符号语言的规范应用．
与线、面平行相关命题真假的判断
直线与平面平行的判定与性质
平面与平面平行的判定与性质