山东省六校2020-2021学年高二下学期5月“山东学情”联考数学试题（A）+答案

2021年“山东学情”阶段性联合考试

高二数学试题A（人教版）

        （时间120分钟，满分150分）

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；

2．请将答案正确写在答题卡上．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知随机变量的概率密度函数为，若，则

A．         B．0        C．1        D．2

2．鱼缸里有8条热带鱼和2条冷水鱼，为避免热带鱼咬死冷水鱼，现在把鱼缸出孔打开，让鱼随机游出，每次只能游出1条，直至2条冷水鱼全部游出就关闭出孔，若恰好第3条鱼游出后就关闭了出孔，则不同游出方案的种数为

A．32  　　　B．36  　　　C．40   　　D．48

3．经研究，男子篮球运动员的身高关于其父亲身高的经验回归方程为，已知姚明身高，其父亲姚志源身高，那么姚明身高的残差等于                  

A．  　　　B．  　　　C．   　　D．

4．在的展开式中，的系数为

A．  　　　B．  　　　C．   　　D．160

5．设函数的导函数为，若的图象如右图所示，则

的解集为

A．  　B．  　C．   D．

6．在17世纪，有两个赌徒向法国数学家布莱尔帕斯卡提出了这样一个问题：他们二人赌博，采用五局三胜制，赌资为400法郎．赌了三局后，甲赢了2局，乙赢了1局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了，但是他们期望获得部分赌资，数学期望这个词由此而生．假设每局两赌徒获胜的概率相等，每局输赢相

互独立，那么这400法郎比较合理的分配方案是

A．甲200法郎，乙200法郎 B．甲300法郎，乙100法郎

C．甲250法郎，乙150法郎 D．甲350法郎，乙50法郎

7．某班级有40名同学，为庆祝中国共产党建党100周年，他们拟参加“学习强国”平台上的党史知识竞赛，因为前期准备情况不同，所以他们获奖的概率也不同，其中，有20名同学获奖概率为0.9，12名同学获奖概率为0.8，8名同学获奖概率为0.7，现从中随机选出一名同学，他获奖的概率为

A．0.83  　　　B．0.78  　　　C．0.76   　　D．0.63

8．若，则实数的取值范围是

A．  　　　B．  　　　C．   　　D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9．习近平总书记指出：扶贫必扶智，扶智就是扶知识、扶技术、扶方法．某地响应总书记号召，建立农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近5年的借阅数据如下表：

根据上表，可得关于的经验回归方程为，则

A．                                     B．近5年借阅量估计以0.24万册/年的速度增长             

C．与的线性相关系数                    D．2021年的借阅量一定不少于6.12万册

10．在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则

A．                                        B．展开式中没有常数项             

C．展开式所有二项式系数和为1024                 D．展开式所有项的系数和为256

11．已知函数，则

A．        B．        C．        D．

12．右图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的

圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小

球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落

下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用

表示小球落入格子的号码，则

A．            B．             

C．            D．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知偶函数的导函数为，当时，，则         ．

14．除以9的余数为      ．

15．某商场安排甲乙两名员工，在门口为没随身携带口罩的顾客发放口罩．昨天，两人共领到编号1~10的10个口罩，每人5个，放在盒子里，自上而下依次发放，且甲乙二人发放是随机的．若10个口罩恰好发完，则不同的发放顺序有             种．

16．已知，若，使得，则实数的取值范围是         ．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（10分）

设曲线在点处的切线与轴、轴围成的三角形面积为．
（1）求切线的方程；
（2）求的最大值．

18．（12分）

2019年7月8日，中共中央、国务院印发《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》，提出坚持“五育（德、智、体、美、劳）”并举，全面发展素质教育．某学校共有学生4000人，为加强劳动教育，开展了以下活动：全体同学参加劳动常识竞赛，满分100分．其中，成绩高于80分的同学，有资格到指定农场参加劳动技能过关考核，劳动技能过关考核共设三关，通过第一关得20分，未通过不得分，后两关通过一关得40分，未通过不得分，每位同学三关考核都要参加，记考核结束后学生的得分之和为．

（1）分析发现，学生劳动常识竞赛成绩，试估计参加劳动技能过关考核的人数（精确到个位）；

（2）某参加技能过关考核的同学通过第一关的概率为，通过后两关的的概率均为，且每关是否通过相互独立，求的分布列及数学期望．

附：若随机变量，则，，

．

19．（12分）

已知函数．

（1）当时，求函数的极值；

（2）若有唯一极值点，求关于的不等式的解集．

20．（12分）

    文明交通，安全出行，是一座城市文明的重要标志．驾驶非机动车走机动车道（简称：不依规行驶）是一大交通顽疾，某市加大整治力度，不依规行驶现象明显减少，下表是2021年1月——5月不依规行驶的次数统计：

（1）求关于的经验回归方程，并预测6月份不依规行驶的次数（精确到个位）；

（2）交警随机抽查了非机动车司机50人，得到如下2×2列联表：

依据的独立性检验，能否认为依规行驶与年龄有关联？

附：①对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．

②临界值表：

计算公式：，其中．

21．（12分）

2011年3月，日本福岛第一核电站内部的冷却水因海啸而外泄且无法修补．为了控制反应堆温度和防止堆芯融化，只能不断注入大量新的冷却水，随即产生有辐射性的污水，到2022年，将出现污水存放空间不足的问题，于是日本欲把污水排入太平洋，遭到全世界的反对．其实长期以来，日本都在偷偷地以“减摇水”的形式把核废水排入了韩国海域．为了监测海水被污染情况，韩国一研究机构取了份水样，可用两种方式检测其中是否含有放射性物质：

方式一：逐份检测．

方式二：混合检测，即把每份水样分成2份，各取其中一份混在一起进行检测，如无放射性，则检测这1次就可以了；如有放射性，则需对这个水样的另一份水样逐份检测，共需检测次．

对于份水样，运用混合检测时，设所需的检验次数为；运用逐份检测时，设所需的检验次数为．设每份水样检测出含有放射性物质的概率均为，且各份水样的检测结果相互独立．

（1）求；

（2）若，为使检测份水样所需的次数较少，应采用什么检测方式？

参考数据：．

22．（12分）

已知函数．

（1）判断的单调性；

（2）若，求证．

2021年“山东学情”阶段性联合考试

高二数学试题A（人教版）答案

一、单项选择题

答案：

1．D    2．A    3．C    4．A    5．D    6．B    7．A     8．B

详解：

1．D【详解】依题意，可得，解得．

2．A【详解】．

3．C【详解】把代入得，所以，姚明身高的残差等于.

4．A【详解】式子可视为6个相乘，要得到，须3个提供，3个提供，所以的系数为．

5．D【详解】画出大致图象，如图所示，观察图形可知

的解集为．

6．B【详解】若继续赌下去，甲赢的概率为，乙赢得概率为，所以甲300法郎，乙100法郎．

7．A【详解】所求概率为．

8．B【详解】因为，所以，设，则且原不等式可化为，只需．设，则，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以，所以．

二、多项选择题

答案：

9．ABC    10．BD    11．ABD    12．BC

详解：

9．ABC【详解】把代入，可得，所以A正确；4万册是每年的借阅量的增长量的预测值，所以B正确；因为，所以与正相关，所以，所以C正确；把代入得，然而6.12万册是预测值，不是精确值，所以D错误．

10．BD【详解】第5项的二项式系数为，所以，A错误；因为，且，所以展开式中没有常数项，B正确；展开式所有二项式系数和为，C错误；令，可得展开式所有项的系数和为256，D正确．

11．ABD【详解】因为，所以，所以，所以，所以A正确．因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以，所以B正确．因为，所以，所以C错误．因为，所以，所以，所以D正确．

12．BC【详解】设，依题意，，所以，，，．

三、填空题

答案：

13．1      14．8      15．252      16．

详解：

13．1【详解】因为，所以，又因为是奇函数，所以．

14．8【详解】，所以除以9

的余数即为8除以9的余数，即为8．

15．252【详解】．

16．【详解】依题意，的值域是，所以函数能取到所有正数．因为，所以当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增．所以当时，取得最小值，若使能取到所有正数，只需，所以．

四、解答题

17．解：（1）因为，所以，------------------------------------1分

所以切线的方程为，----------------------------------2分

整理得．…………3分

（2）在切线的方程中，令，可得----------------------------------4分

令，可得．…………5分

因为，所以，----------------------------------6分

所以，----------------------------------7分

所以当时，，所以在上单调递增；----------------------------------8分

当时，，所以在上单调递减．……9分

所以当时，取得极大值也是它的最大值．…………10分

18．解：（1）依题意，，所以，…1分所以，----------------------------------2分

所以估计参加劳动技能过关考核的人数为．…………3分

（2）依题意，的可能取值分别为0，20，40，60，80，100．…………4分

因为，----------------------------------5分

，----------------------------------6分

，----------------------------------7分

，----------------------------------8分

，----------------------------------9分

．…………10分

所以的分布列为：

----------------------------------11分

．…………12分

19．19．解：（1）函数的定义域为．…………1分

当时，，，由，解得

或．……3分

当变化时，的变化情况如下表：

所以当时，取得极大值；当时，取得极小值．……6分

（2），…7分

设，它的图象是开口向上，对称轴为直线

，且在轴上的截距为的抛物线，观察图象，可知欲使只有一个极值点，只需，且

．…………9分

不等式可化为，可化为，解得，所以原

不等式的解集为．…………12分

20.解：（1）因为，…………2分

所以

．…………4分

…………5分

所以关于的经验回归方程，…………6分

把代入，得，所以预测6月份不依规行驶的次数约为13．…………7分

（2）零假设为：依规行驶与年龄无关．

根据列联表中的数据，经计算得到．…………9分

根据小概率值的独立性检验，推断不成立，，即认为依规行驶与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．…………11分

不依规行驶者中老年人和青年人的频率分别为，可见老年人约是青年人的3倍，所以老年人更好违规行驶．…………12分

21解：（1）依题意，可得的可能取值为1，，因为，---2分

所以．…………3分

（2）依题意，所以，…………4分

所以，把代入并整理得．…………5分

设，…………6分

则，…………7分

所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．

…………8分

所以当时，取得极小值，也是它的最小值．…………10分

又因为，．

所以当，；当时，．…………11分

所以当时，应采用混合检测；当时，应采用逐份检测．…………12分

22．解：（1）函数的定义域为．

因为，--------------------------1分

所以，--------------------------2分

所以当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增．…3分

则当时取得极小值，也是它的最小值，

所以，所以，--------------------------4分

则在上单调递增．…………5分

（2）因为，所以不妨设，所以要证，只需证．…………6分

因为，所以只需证，只需证，只需证．…………7分

设，

则，--------------------------8分

则，--------------------------9分

所以当时，，在上单调递减，则，--------------------------10分

所以在上单调递增，则，，--------------------------11分

即，所以．…………12分