陕西省西安市第一中学2021届高三下学期5月练习：数学（文）试题+答案

这是一份陕西省西安市第一中学2021届高三下学期5月练习：数学（文）试题+答案，共25页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，函数的图象大致是，已知，，则“存在使得”是“”的等内容，欢迎下载使用。

2021年普通高等学校招生全国统一考试
文 科 数 学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则在复数平面的点位于第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
2．已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，已知为上一点，且满足，则（ ）
A． B． C． D．

5．已知的平均数为5，方差为1，则，，，，的平均数和方差分别为（ ）
A．11，3 B．11，4 C．10，1 D．10，4
6．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，则“存在使得”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，且，，则
C．若，且，则
D．若，，则


9．投两枚质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数之和为偶数”，记事件为“向上的点数之和为3的倍数”，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列说法中正确的个数有（ ）
①（）为等差数列；
②为等比数列；
③为等比数列；
④为等差数列；
⑤为等比数列．
A．2 B．3 C．4 D．5
11．已知直线与圆相交于两点，且这两个交点关于直线对称，则的值分别为（ ）
A． B． C． D．
12．已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，点是线段上一点，且，，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．下列三句话按“三段论”模式排列顺序是_________．
①（）是三角函数；②三角函数是周期函数；③（）是周期函数．
14．若函数的值域为，试确定的取值范围是___________．
15．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的周长的最大值是_________．
16．已知函数，若在上恒成立，则正实数的取值范围为_________．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知数列满足，．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）求数列的前项和．















18．（12分）某市为提高市民的安全意识，组织了一场知识竞赛，已知比赛共有2000位市民报名参加，其中男性1200人，现从参赛的市民当中采取分层抽样的方法随机抽取了100位市民进行调查，根据调查结果发现分数分布在450~950分之间，将结果绘制的市民分数频率分布直方图如图所示：

将分数不低于750分的得分者称为“高分选手”．
（1）求的值，并估计该市市民分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若样本中属于“高分选手”的女性有15人，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该市市民属于“高分选手”与“性别”有关？

属于“高分选手”
不属于“高分选手”
合计
男生



女生



合计



（参考公式：，期中）





















19．（12分）如图，四棱锥中，平面，四边形为正方形，点M、N分别为直线上的点，且满足．
（1）求证：平面；
（2）若，，求点到平面的距离．

















20．（12分）已知椭圆的方程为，且椭圆的短轴长为2，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点，点，若所在的直线与所在的直线关于轴对称，直线是否恒过定点，若是，求出该定点的坐标．





















21．（12分）已知函数（）．
（1）若函数在处取得极小值，求在点处的切线方程；
（2）当时，若，恒有，则实数的取值范围是多少？
























请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线的极坐标方程和直线的普通方程；
（2）过点，倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值．








23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）设函数的最小值为，若，，为正实数且，证明．




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2021年普通高等学校招生全国统一考试
文 科 数 学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则在复数平面的点位于第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【解析】，
所以复数在复数平面内对应的点为，位于第二象限，故选B．
2．已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】集合，
故其真子集的个数为个，故选A．
3．双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，
可得，
所以，解得，故选A．
4．在中，已知为上一点，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可得，
故选D．
5．已知的平均数为5，方差为1，则，，，，的平均数和方差分别为（ ）
A．11，3 B．11，4 C．10，1 D．10，4
【答案】B
【解析】
，


，
故选B．
6．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，
令，则，
故为上的奇函数，
故的图象关于对称，故排除C；
又当时，令，则，
故，故当时，，故排除D；
而，故排除A，
故选B．
7．已知，，则“存在使得”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为余弦函数的周期为，最大值为2，最小值为，
所以对于函数，，
若存在使得，
则当时，函数的值域为，∴；
另一方面，，不妨取，
则不存在，使得，
故“存在使得”是“”的充分不必要条件，
故选A．
8．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，且，，则
C．若，且，则
D．若，，则
【答案】C
【解析】A选项，当，，时，不能得出，故该选项不正确；
B选项，由题得或相交，所以该选项错误；
C选项，由题得，又，所以，所以该选项正确；
D选项，，时，，，不能得出，故该选项错误，
故选C．
9．投两枚质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数之和为偶数”，记事件为“向上的点数之和为3的倍数”，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】投两枚质地均匀的骰子总的可能发生的情况有种，
其中点数之和为偶数的可能情况有18种，
点数之和为3的倍数的可能情况为，，，，，，，，，，，，总共12种，
所以，，，故选B．
10．若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列说法中正确的个数有（ ）
①（）为等差数列；
②为等比数列；
③为等比数列；
④为等差数列；
⑤为等比数列．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】设数列的公差为，数列的公比为，
对于①：，故①正确；
对于②：，故②正确；
对于③：，故③正确；
对于④：不为定值，故④错误；
对于⑤：，故⑤正确，
所以正确的个数有4个，故选C．
11．已知直线与圆相交于两点，且这两个交点关于直线对称，则的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵直线与圆的两个交点关于直线对称，
∴直线经过圆心且直线与直线垂直，
∴，解得，故选B．
12．已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，点是线段上一点，且，，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，则，
由余弦定理得，
即，
所以，
因为，
所以，
整理得，即，整理得，
所以，，，故选B．

第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．下列三句话按“三段论”模式排列顺序是_________．
①（）是三角函数；②三角函数是周期函数；③（）是周期函数．
【答案】②①③
【解析】三段论为：大前提，小前提，结论，
所以排序为：②三角函数是周期函数；①（）是三角函数；③（）是周期函数．
故选②①③．
14．若函数的值域为，试确定的取值范围是___________．
【答案】
【解析】令，则；
令，解得或，
即或，解得或，
故的取值范围是．
15．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的周长的最大值是_________．
【答案】6
【解析】因为，
所以，即，
所以可得，所以，
解得，当且仅当时等号成立，
故，所以的周长的最大值为6．
16．已知函数，若在上恒成立，则正实数的取值范围为_________．
【答案】
【解析】因为，
易得为奇函数，且为增函数；
又因为，
所以在上恒成立在上恒成立，
所以在上恒成立，所以在上恒成立，
设，所以，且，
当时，，所以在上递增，所以，满足；
当时，令，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，这与矛盾，所以不满足，
综上可知：，故答案为．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知数列满足，．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）依题，在两边同时除以，
得，，
故数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）得，可得，
所以，
则数列的前项和为①，
所以②，
由①—②可得，
所以．
18．（12分）某市为提高市民的安全意识，组织了一场知识竞赛，已知比赛共有2000位市民报名参加，其中男性1200人，现从参赛的市民当中采取分层抽样的方法随机抽取了100位市民进行调查，根据调查结果发现分数分布在450~950分之间，将结果绘制的市民分数频率分布直方图如图所示：

将分数不低于750分的得分者称为“高分选手”．
（1）求的值，并估计该市市民分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若样本中属于“高分选手”的女性有15人，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该市市民属于“高分选手”与“性别”有关？

属于“高分选手”
不属于“高分选手”
合计
男生



女生



合计



（参考公式：，期中）
















【答案】（1），平均数670，中位数650，众数600；（2）填表见解析，有的把握认为．
【解析】（1）由题意知，
解得，
样本平均数为，
中位数650，众数600．
（2）由题可知，样本中男性60人，女性40人，属于“高分选手”的25人，其中女姓15人；得出以下列联表；

属于“高分选手”
不属于“高分选手”
合计
男生
10
50
60
女生
15
25
40
合计
25
75
100
，
所以有的把握认为该市市名属于“高分选手”与性别有关．
19．（12分）如图，四棱锥中，平面，四边形为正方形，点M、N分别为直线上的点，且满足．

（1）求证：平面；
（2）若，，求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）连接，∵，，
平面，平面，
平面．

（2） 设点到平面的距离为，点到平面的距离为，
∵，∴，
依题可得，
又平面，∴，
∴，
∵四边形为正方形，∴，
又平面，所以，
∵，∴平面，所以，
依题可得，∴，∴，
即点到平面的距离为．
20．（12分）已知椭圆的方程为，且椭圆的短轴长为2，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点，点，若所在的直线与所在的直线关于轴对称，直线是否恒过定点，若是，求出该定点的坐标．
【答案】（1）；（2）直线恒过定点，定点为．
【解析】（1）因为椭圆的离心率．
所以，即，
又椭圆的短轴长为2，所以，，
所以椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，，，
联立方程组，消去，得，
，即，
，，
因为所在的直线与所在的直线关于轴对称，
所以，
，
即，
得，
化简得，直线的方程为，
所以，直线恒过定点．

21．（12分）已知函数（）．
（1）若函数在处取得极小值，求在点处的切线方程；
（2）当时，若，恒有，则实数的取值范围是多少？
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，所以，
由题意可得，即，解得，
所以，
所以，，
所以在点处的切线方程为．
（2）当时，，
又，
不等式等价于，
可化为为，
令，
由题可得对，，当时，不等式恒成立，
即在上单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递减，所以，
所以，所以实数m的取值范围为．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线的极坐标方程和直线的普通方程；
（2）过点，倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）由曲线的参数方程，得曲线的普通方程为，即，
由极坐标与直角坐标的互化公式，，
得曲线的极坐标方程为，
直线的极坐标方程为．
（2）设，，
将直线的方程为（为参数）代入曲线的方程：，
得，
所以，
所以．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）设函数的最小值为，若，，为正实数且，证明．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由，
所以①；
②；
③，
综上所述：，
所以不等式的解集为．
（2）证明：∵，
∴函数的最小值为8，即，所以，
由，，为正实数，
∴，
当且仅当时，即，，时等号成立，
∴．