山东省青岛市2021届高三下学期5月自主检测数学试题+答案

青岛市2021年高三自主检测

数学试题

2021.05

本试题卷共6页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合A={x∈N|y=log4(x3-8)},集合B={y∈N|y=2|x-1|,x∈R},则（A) ∩B=

A.(0,2]                    B.(-1,2]             C.{0,1,2}                 D.{1,2}

2.设i是虚数单位，若复数＝满足z(1+i)=2i,则复数z对应的点Z位于复平面的

A.第一象限           B.第二象限        C.第三象限           D.第四象限

3.设α,β是空间两个不同平面，a,b,c是空间三条不同直线，下列命题为真命题的是

A.若α//β,b//α,则b//β

B.若直线a与b相交，a//α,b//β,则α与β相交

C.若β⊥α,a//α,则a⊥β

D.若α⊥β,α∩β=a,bα,b⊥a,c⊥β,则b//c

4.行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：

＝a11a22-a21a12,已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝0,则

A.                           B.45               C.75             D.150

5.已知1<<,M=aa,N=ab,P=ba,则M,N,P的大小关系正确的为

A.N<M<P                 B. P<M<N             C. M<P<N           D.P<N<M

6.已知直线l:3x+my+3=0,曲线C:x2+y2+4x+2my+5=0,则下列说法正确的是

A.“m>1”是曲线C表示圆的充要条件

B.当m=3时，直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1

C.“m= -3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件

D.当m= -2时，曲线C与圆x2+y2=1有两个公共点

7.若将函数f(x)=2sin(2x+φ)(| φ|<) 的图象向左平移个单位后得到的图象关于y轴对称，则函数f(x)在［0, ]上的最大值为

A. 2               B.                      C.1                 D.

8.定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断，其导函数为f'(x),对任意正实数x恒有xf'(x)>2f(-x),若g(x)=x2f(x),则不等式g(log3(x2-1)+g(-1)<0的解集是

A.(0,2)                       B.(-2,2)                 C.(- ,2)           D.(-2,-1) ∪(1,2)

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.某鱼业养殖场新进1000尾鱼苗，测量其体长（单位：毫米），将所得数据分成6组，其分组及频数情况如下表：

已知在按以上6个分组做出的频率分布直方图中，［95,100)分组对应小矩形的高为0.01,

则下列说法正确的是

A.m=250

B.鱼苗体长在［90,100)上的频率为0.16

C.鱼苗体长的中位数一定落在区间［85,90)内

D.从这批鱼苗中有放回地连续抽取50次，每次一条，则所抽取鱼苗体长落在区间［80,90)

上的次数的期望为30

10.已知曲线C: =1,F1,F2分别为曲线C的左右焦点，则下列说法正确的是

A.若m= -3,则曲线C的两条渐近线所成的锐角为

B.若曲线C的离心率e=2,则m= -27

C.若m=3,则曲线C上不存在点P,使得∠F1PF2=

D.若m=3,P为C上一个动点，则ΔPF1F2面积的最大值为3

11.在平面直角坐标系中，A(t,),B(8-m,8-m),C(7-m,0),O为坐标原点，P为x轴上的动点，则下列说法正确的是

A. 的最小值为2

B.若t=1,m=4,则ΔABC的面积等于4

C.若t=1,m=4,则+的最小值为5

D.若t=sinθ,θe(0,π),且与的夹角α∈[0, ),则m∈(-∞,5)

12.在如图所示的几何体中，底面ABCD是边长为4的正方形，AA1,BG,CC1,DD1均与底面ABCD垂直，且AA1=CC1=DD1=2BG=4,点E,F分别为线段BC,CC1的中点，

则下列说法正确的是

A.直线A1G与ΔAEF所在平面相交

B.三棱锥C1-BCD的外接球的表面积为80元

C.点C到平面AEF的距离为

D.二面角C1-AD-B中，M∈平面C1AD,N∈平面BAD,P,Q为棱AD上不同两点，MP⊥AD,NQ⊥AD,若MP=PQ=2,NQ=1,则MN=

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。

13.某机械厂对一台自动化机床生产的标准零件尺寸进行统计发现，零件尺寸误差X近似服从

正态分布N(0,0.52)(误差单位：mm),已知尺寸误差的绝对值在0.5mm内的零件都是合格零件．若该机床在某一天共生产了5000个零件，则其中合格的零件总数为           ；

附：随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544.

14.若sin(α-)=,x∈(0, ),则cos2α=                   ;

15.若二项式（2-)n的展开式中所有项的二项式系数之和为64,则该展开式中的常数项

是                    ；

16.定义方程f(x)=f '(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)= x,h(x)=ln2x, φ(x)=sinx(0<x<π)的“新驻点”分别为α,β,γ,则α,β,γ的大小关系为             .

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(10分）

如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，点E在AA1上，且BE⊥EC1.

（1)证明：平面BCE⊥平面B1C1E;

（2)若AE=A1E,求二面角C1-B1E-C的余弦值．

18.(12分）

在ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ccosA=(b-a)cosC.

（1)若A=，点D在边AB上，AD=BC=1,求ΔBCD的外接圆的面积；

（2)若c=2,求ΔABC面积的最大值．

19.(12分）

一场科普知识竞答比赛由笔试和抢答两部分组成，若笔试和抢答满分均为100分，其中5名

选手的成绩如下表所示：

对于这5名选手，根据表中的数据，试解答下列两个小题：

（1)求y关于x的线性回归方程；

（2)现要从笔试成绩在90分或90分以上的选手中选出2名参加一项活动，以ξ表示选中的选

手中笔试和抢答成绩的平均分高于90分的人数，求随机变量ど的分布列及数学期望E(ξ).

附：

20.(12分）

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线C上不同两点M,N同时满足下列三个条件中的两个：

①|FM|+|FN|=|MN|;②|OM|=|ON|=|MN|=8;③直线MN的方程为y=6p.

（1)请分析说明两点M,N满足的是哪两个条件？并求抛物线C的标准方程；

（2)若直线l与抛物线C相切于点P,l与椭圆D: ＝1相交于A,B两点，l与直线

y= -交于点Q,以PQ为直径的圆与直线y= -交于Q,Z两点，求证：直线OZ经过线段AB的中点。

21.(12分）

已知函数f(x)=x-1nx+.

（1)求f(x)的最小值；

（2)若存在区间［a,b] [,+ ∞),使g(x)=x/(x)在［a,b]上的值域为［k(a+2),k(b+2)],

求实数k的取值范围。

22.(12分）

若数列{an}满足：对于任意n∈N+，只有有限个正整数m使得am<n成立，则记这样的

m的个数为(an)+.

（1)求数列{()+}的通项公式；

（2)在等比数列{bn}中，bn+1是函数fn(x)=

的极小值点，求b1的取值范围；

（3)求数列{((n2)+)+}的通项公式．