沪科版九年级上册数学 第一学期期末测试卷

这是一份初中数学沪科版九年级上册本册综合课后测评，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1.2sin 60°的值等于( )
A．1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D．2
2．下列函数属于二次函数的是( )
A．y＝2x－1 B．y＝x2＋2x－3
C．y＝eq \f(1,x2)＋3 D．y＝eq \f(5,x)
3．抛物线y＝3x2－3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为( )
A．y＝3(x－3)2－3 B．y＝3x2
C．y＝3(x＋3)2－3 D．y＝3x2－6
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝eq \r(5)，AC＝eq \r(15)，则∠A＝( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
5．若点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)都是反比例函数y＝－eq \f(1,x)图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是( )
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2
C．x2＜x1＜x3 D．x2＜x3＜x1
6．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶9，则S△BDE与S△CDE的比是( )
A．1∶3 B．1∶2
C．1∶4 D．1∶9
7．下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：
那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是( )
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
8．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论中正确的是( )
A．abc＞0 B．2a－b＝0
C．2a＋b＝0 D．a－b＋c＞0

(第8题) (第9题)
9．如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A2 020A2 021，过点A1、A2、A3、…、A2 020、A2 021分别作x轴的垂线与反比例函数y＝eq \f(2,x)(x≠0)的图象相交于点P1、P2、P3、…、P2 020、P2 021，得直角三角形OP1A1、A1P2A2、A2P3A3、…、A2 020P2 021A2 021，并设其面积分别为S1、S2、S3、…、S2 020、S2 021，则S2 021的值为( )
A. eq \f(1,2 020) B. eq \f(1,2 021) C. eq \f(1,1 010) D. eq \f(2,2 021)
10．如图，正方形ABCD的边长为3 cm，动点P从B点出发以3 cm/s的速度沿着边BC→CD→DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，则y关于x的函数图象是( )

二、填空题(每题5分，共20分)
11．若抛物线y＝ax2＋k与y＝3x2的形状和开口方向相同，且其顶点坐标是(0，1)，则其表达式为____________________．
12．若eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)＝eq \f(e,f)＝2，且b＋d＋f＝4，则a＋c＋e＝________．
13．已知α是锐角，若sin α＝cs 15°，则α＝________°.
14．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝2 cm，AB＝7 cm，BC＝3 cm，试在AB边上确定P的位置，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似，则AP的长是__________________________．
三、(每题8分，共16分)
15．计算：2cs 45°－tan 60°＋sin 30°－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2) )).
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠BDC＝45°，BD＝10eq \r(2)，AB＝20.
(1)求BC的长；
(2)求AC的长；
(3)求∠A的大小．
四、(每题8分，共16分)
17．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c与x的一些对应值如表：
(1)根据表格中的数据，确定二次函数的表达式；
(2)补全表格中空白处的对应值并利用表格，用五点作图法，在图中画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象；(不必重新列表)
(3)根据图象回答：
①当1≤x≤4时，求y的取值范围；
②当x取何值时，y＞0?
18．如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°，现有一架长为6 m的梯子AB，当梯子底端离墙面的距离AC＝2 m时，此时人是否能够安全地使用这架梯子？(参考数据：sin 50°≈0.77，cs 50°≈0.64，sin 75°≈0.97，cs 75°≈0.26)
五、(每题10分，共20分)
19．如图，已知△ABD∽△ACE.求证：
(1)∠DAE＝∠BAC；
(2)△DAE∽△BAC.
20．如图，已知A(－4，2)，B(n，－4)是一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝eq \f(m,x) (m≠0)的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象写出使一次函数的函数值小于反比例函数的函数值的x的取值范围．
六、(12分)
21．如图，图中的小方格是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点O；
(2)求出△ABC与△A′B′C′的相似比；
(3)以点O为位似中心，在图中画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比等于3∶2.

七、(12分)
22．某公司生产a型活动板房的成本是每个425元．图①表示a型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4 m，宽AB＝3 m，抛物线的最高点E到BC的距离为4 m.
(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2＋m(k≠0)表示．求该抛物线的函数表达式；
(2)现将a型活动板房改造为b型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM＝2 m，求每个b型活动板房的成本是多少？(每个b型活动板房的成本＝每个a型活动板房的成本＋一扇窗户FGMN的成本)
(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的b型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个b型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售b型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？
八、(14分)
23．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°.
(1)求证：△PAB∽△PBC；
(2)求证：PA＝2PC；
(3)若点P到三角形的三边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证：h12＝h2·h3.
答案
一、1．C
2．B 点拨：A.y＝2x－1是一次函数，故A错误；B.y＝x2＋2x－3是二次函数，故B正确；C.y＝eq \f(1,x2)＋3中自变量x的指数为－2，故C错误；D.y＝eq \f(5,x)是反比例函数，故D错误．故选B.
3．A
4．D 点拨：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝eq \r(5)，AC＝eq \r(15)，
∴tan A＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(\r(5),\r(15))＝eq \f(\r(3),3).
又∵tan 30°＝eq \f(\r(3),3)，
∴∠A＝30°.故选D.
5．D 点拨：∵反比例函数y＝－eq \f(1,x)中k＝－1＜0，
∴此函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵y1＜0＜y2＜y3，
∴点(x1，y1)在第四象限，(x2，y2)、(x3，y3)两点均在第二象限，
∴x2＜x3＜x1.故选D.
6．B 点拨：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA.
又S△DOE∶S△COA＝1∶9，
∴eq \f(DE,AC)＝eq \f(1,3).
∵DE∥AC，
∴eq \f(BE,BC)＝eq \f(DE,AC)＝eq \f(1,3)，
∴eq \f(BE,CE)＝eq \f(1,2)，
∴S△BDE与S△CDE的比是1∶2.故选B.
7．C
8．C 点拨：A.由抛物线的开口向下知a＜0，∵对称轴为直线x＝－eq \f(b,2a)＞0，a＜0，∴a、b异号，即b＞0.
∵由图象知抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，
∴abc＜0，故本选项不符合题意；
B．∵a＜0，b＞0，
∴2a－b＜0，故本选项不符合题意；
C．由图象可知，对称轴是直线x＝1，
∴－eq \f(b,2a)＝1，
∴2a＋b＝0，故本选项符合题意；
D．根据图象的对称性可知当x＝－1时，y＜0，即a－b＋c＜0，故本选项不符合题意，故选C.
9．B 点拨：因为OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5，所以由k的几何意义得，
S1＝1，S2＝eq \f(1,2)S1＝eq \f(1,2)，
S3＝eq \f(1,3)S1＝eq \f(1,3)，
S4＝eq \f(1,4)S1＝eq \f(1,4)，
S5＝eq \f(1,5)S1＝eq \f(1,5)，…
依次类推：Sn的值为eq \f(1,n).
当n＝2 021时，S2 021＝eq \f(1,2 021).
故选B.
10．C 点拨：由题意可得BQ＝x.
①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP＝3x，
则△BPQ的面积＝eq \f(1,2)BP·BQ，
即y＝eq \f(1,2)·3x·x＝eq \f(3,2)x2，故A选项错误；
②1＜x≤2时，P点在CD边上，
则△BPQ的面积＝eq \f(1,2)BQ·BC，
即y＝eq \f(1,2)·x·3＝ eq \f(3,2)x，故B选项错误；
③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP＝9－3x，
则△BPQ的面积＝eq \f(1,2)AP·BQ，
即y＝eq \f(1,2)·(9－3x)·x＝eq \f(9,2)x－eq \f(3,2)x2，故D选项错误．故选C.
二、11．y＝3x2＋1
12．8 点拨：由eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)＝eq \f(e,f)＝2及等比性质知，eq \f(a＋c＋e,b＋d＋f)＝eq \f(a＋c＋e,4)＝2，
∴a＋c＋e＝8.
故答案为8.
13．75 点拨：∵sin α＝cs 15°，
∴α＝90°－15°＝75°.
故答案为75.
14.eq \f(14,5) cm或1 cm或6 cm
点拨：设AP＝x，则BP＝7－x.
∵AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠B＝∠A＝90°.
当∠APD＝∠BPC时，△APD∽△BPC，
∴eq \f(AP,BP)＝eq \f(AD,BC)，即eq \f(x,7－x)＝eq \f(2,3)，
解得x＝eq \f(14,5)；
当∠APD＝∠BCP时，△APD∽△BCP，
∴eq \f(AP,BC)＝eq \f(AD,PB)，即eq \f(x,3)＝eq \f(2,7－x)，解得x＝1或x＝6.
综上所述，当AP的长为eq \f(14,5) cm或1 cm或6 cm时，以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似．故答案为eq \f(14,5) cm或1 cm或6 cm.
三、15．解：原式＝2×eq \f(\r(2),2)－eq \r(3)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,2)＝eq \r(2)－eq \r(3).
16．解：(1)在Rt△BCD中，
∵sin ∠BDC＝eq \f(BC,BD)，∴BC＝BD·sin ∠BDC＝10eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝10.
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝20，BC＝10，
∴AC＝eq \r(AB2－BC2)＝10eq \r(3).
(3)在Rt△ABC中，sin A＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(1,2)，
又∵∠A为锐角，∴∠A＝30°.
四、17.解：(1)∵由表格可知，x＝0时，y＝3；x＝2时，y＝－1；x＝4时，y＝3，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＝3，,4a＋2b＋c＝－1，,16a＋4b＋c＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－4，,c＝3.))
∴二次函数的表达式为y＝x2－4x＋3.
(2)补全表格：
函数图象如图所示：
(3)①由(2)的函数图象可知，当 1≤x≤4时，y的取值范围是－1≤y≤3；
②由函数图象可知，当x＜1或x＞3时，y＞0.
18．解：在Rt△ABC中，
∵cs α＝eq \f(AC,AB)，
∴AC＝AB·cs α，
当α＝50°时，AC＝AB·cs 50°≈6×0.64＝3.84(m)，
当α＝75°时，AC＝AB·cs 75°≈6×0.26＝1.56(m)．
即要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子底端离墙面的距离应该在1.56 m～3.84 m之间，故当梯子底端离墙面的距离AC＝2 m时，人能够安全地使用这架梯子．
五、19.证明：(1)∵△ABD∽△ACE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＋∠BAE＝∠BAE＋∠CAE，
∴∠DAE＝∠BAC.
(2)∵△ABD∽△ACE，
∴eq \f(AD,AE)＝eq \f(AB,AC)，
∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC).
又∵∠DAE＝∠BAC，
∴△DAE∽△BAC.
20．解：(1)把A(－4，2)代入y＝eq \f(m,x)中，得m＝－8，
则反比例函数的表达式是y＝－eq \f(8,x).
把(n，－4)代入y＝－eq \f(8,x)，得n＝2，
则点B的坐标是(2，－4)．
把A(－4，2)，B(2，－4)代入y＝kx＋b，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－4k＋b＝2，,2k＋b＝－4，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－1，,b＝－2，))
则一次函数的表达式是y＝－x－2.
(2)由图象及(1)可知使一次函数的函数值小于反比例函数的函数值的x的取值范围是－4＜x＜0或x＞2.
六、21．解：(1)如图所示，点O即为所求．
(2)△ABC与△A′B′C′的相似比为eq \f(OA,OA′)＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2).
(3)如图所示，△A2B2C2即为所求．
七、22．解：(1)∵AD＝4 m，
∴D(2，0)．
由题意知EH＝4 m，OH＝AB＝3 m，
∴EO＝EH－OH＝4－3＝1(m)，
∴E(0，1)．
把点D(2，0)，E(0，1)的坐标代入y＝kx2＋m，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0＝4k＋m，,1＝m，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(1,4)，,m＝1，))
∴该抛物线的函数表达式为y＝－eq \f(1,4)x2＋1.
(2)∵GM＝2 m，
∴OM＝OG＝1 m，
当x＝1时，y＝－eq \f(1,4)×12＋1＝eq \f(3,4)，
∴Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,4)))，
∴MN＝eq \f(3,4) m，
∴S长方形FGMN＝MN·GM＝eq \f(3,4)×2＝eq \f(3,2)(m2)，
∴每个b型活动板房的成本是
425＋eq \f(3,2)×50＝500(元)．
(3)根据题意，得
w＝(n－500)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(100＋\f(20（650－n）,10)))＝－2(n－600)2＋20 000，
∵每月最多能生产160个b型活动板房，
∴100＋eq \f(20（650－n）,10)≤160，解得n≥620，∵－2＜0，
∴当n≥620时，w随n的增大而减小，
∴当n＝620时，w有最大值，W最大值＝19 200.
答：公司将销售单价定为620元时，每月销售b型活动板房所获利润最大，最大利润是19 200元．
八、23．证明：(1)∵∠ACB＝90°，
AC＝BC，
∴∠ABC＝45°＝∠PBA＋∠PBC.
又∵∠APB＝135°，
∴∠PAB＋∠PBA＝45°，
∴∠PBC＝∠PAB.
又∵∠APB＝∠BPC＝135°，
∴△PAB∽△PBC.
(2)∵△PAB∽△PBC，
∴eq \f(PA,PB)＝eq \f(PB,PC)＝eq \f(AB,BC).
在Rt△ABC中，AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(2)BC，
∴ eq \f(AB,BC)＝eq \r(2)，
∴PB＝eq \r(2)PC，PA＝eq \r(2)PB，
∴PA＝2PC.
(3)如图，过点P作PD⊥BC交BC于点D，PE⊥AC交AC于点E，PF⊥AB交AB于点F，
∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3.
∵∠CPB＋∠APB＝135°＋135°＝270°，
∴∠APC＝360°－270°＝90°，
∴∠EAP＋∠ACP＝90°.
又∵∠ACB＝∠ACP＋∠PCD＝90°，
∴∠EAP＝∠PCD.
又∵∠AEP＝∠CDP＝90°，
∴Rt△AEP∽Rt△CDP，
∴eq \f(PE,DP)＝eq \f(AP,PC)＝2，
即eq \f(h3,h2)＝2，
∴h3＝2h2.
∵△PAB∽△PBC，
∴eq \f(h1,h2)＝eq \f(AB,BC)＝eq \r(2)，∴h1＝eq \r(2)h2，
∴h12＝2h22＝2h2·h2＝h2h3，
即h12＝h2·h3.
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
－1
－0.49
0.04
0.59
1.16
x
…
－1
0
1
2
3
4
…
y＝ax2＋bx＋c
…
3
－1
3
…
x
…
－1
0
1
2
3
4
…
y＝ax2＋bx＋c
…
8
3
0
－1
0
3
…