2021届高考数学金榜押题卷（三）（新高考版）

这是一份2021届高考数学金榜押题卷（三）（新高考版），共18页。
【满分：150分】
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则( )
A.B.C.D.
2.为纯虚数（i是虚数单位），则为( )
A.3B.2C.1D.
3.函数的大致图象为( )
A.B.
C.D.
4.教育改革的核心是课程改革，新课程改革的核心理念就是教育以人为本，即一切为了每一位学生的发展.为满足新课程的三维目标要求，某校开设A类选修课4门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有( )
A.24种B.48种C.32种D.64种
5.黄金分割点是指将一条线段分为两部分，使得较长部分与整体线段的长的比值为的点.利用线段上的两个黄金分割点可以作出正五角星，如图所示，已知C，D为AB的两个黄金分割点，研究发现如下规律：.若是顶角为的等腰三角形，则( )
A.B.C.D.
6.已知函数，若，则的大小关系是( )
A.B.C.D.
7.已知函数为的导函数，若方程有两个不同的根，则实数k的取值范围为( )
A.B.C.D.
8.已知球O是正四面体SABC的外接球，E为线段BC的中点，过点E的平面与球O形成的截面面积的最小值为，则正四面体SABC的体积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.为了更好地支持中小型企业的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下列选项中正确的是( )
A.
B.样本数据落在区间的频率为0.4
C.如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策
D.样本的中位数为480万元
10.下列四个条件中，能成为的充分不必要条件的是( )
A.B.C.D.
11.已知函数，下列结论正确的是( )
A.
B.
C.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象
D.当时，若恰有两个解，则
12.椭圆C的两个焦点为，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，若，则( )
A.B.椭圆方程为
C.的面积为D.的周长为6
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.如图所示的平行四边形ABCD中，为DC的中点，则____________.
14.已知为等差数列的前n项和，且，则当取最大值时，n的值为_______________.
15.函数满足且，当时，，则________________.
16.已知过抛物线的焦点F且互相垂直的直线分别交抛物线于点A，B和点C，D，线段AB，CD的中点分别为P，Q，则的最小值为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.
问题：已知等差数列为递增数列，其前n项和为，且___________.在数列的前20项中，是否存在两项（且），使得成等比数列.若存在，求出m，t的值；若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（12分）在中，角的对边分别为，且.
（1）求A的大小；
（2）若且的面积为，求a以及外接圆的面积.
19.（12分）如图，S是以平行四边形ABCD的边AD为直径的半圆弧上一点，，，，且E为AD的中点.
（1）求证：平面平面SAD；
（2）求二面角的正弦值.
20.（12分）在现代空战中，战斗机常使用空对空导弹攻击对方战机，在实际演习中空对空导弹的命中率大约为70%，由于飞行员的综合素质和空战经验不同，不同的飞行员使用空对空导弹击中对方战机的概率也不尽相同.在一次空战演习中，红方的甲、乙两名飞行员各自发射一枚空对空导弹，击中蓝方战机的概率分别为和，两名飞行员各携带4枚空对空导弹.
（1）甲飞行员单独攻击蓝方一架战机，连续发射导弹进攻，各次进攻结果相互独立，一旦击中或导弹用完便停止进攻，求甲飞行员在停止进攻时使用的导弹数不超过3枚的概率.
（2）一个蓝方机群由8架战机组成若甲、乙共同攻击（机群各战机均在攻击范围之内，每枚导弹只攻击其中架战机，甲、乙不同时攻击一架战机），一轮攻击中，每人只有两次进攻机会，记一轮攻击中击中的蓝方机战机数为X，求X的分布列与期望.
21.（12分）已知双曲线C的方程为，离心，顶点到渐近线的距离为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）设P是双曲线C上的点，A，B两点在双曲线C的渐近线上，且分别位于第一，二象限，若，求面积的取值范围.
22.（12分）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程.
（2）若，求证：当时，.
答案以及解析
一、单项选择题
1.答案：B
解析：由题意知，集合.
2.答案：C
解析：为纯虚数，，故，故故选C.
3.答案：C
解析：由题可知，函数的定义域为且为偶函数，所以其图象关于y轴对称，可排除选项A；当时，可排除选项B，D.故选C.
4.答案：B
解析：分两种情况：第一种，选择1门A类选修课和2门B类选修课，有种选法；第二种，选择2门A类选修课和1门B类选修课，有种选法，故共有48种选法.故选B.
5.答案：A
解析：由题意得在正五角星中，C，D为AB的两个黄金分割点，易知.因为，所以，故不妨设则在中，，从而.
6.答案：D
解析：由题意知函数的定义域为R，且，所以为R上的奇函数，易知在R上单调递增.令，则为R上的偶函数，且在上单调递增.又，所以，故选D.
7.答案：C
解析：由题意知由有两个不同的根得有两个大于0的根，即当时，直线与函数的图象有两个交点.令，得所以当时，当时，于是在上单调递减，在上单调递增，又当时所以数形结合可得实数k的取值范围为，故选C.
8.答案：D
解析：易知平面时，截面面积最小.如图记外接球的半径为R，截面面积最小时截面圆的半径为外接圆的圆心为，则，则.由可得，则，解得.则正四面体SABC的体积，故选D.
二、多项选择题
9.答案：ACD
解析：由，
得，所以A正确；
样本数据落在区间的频率为，所以B错误；
样本数据落在区间的频率为，所以C正确；
样本数据落在区间的频率为0.3，落在区间的频率为0.55，所以中位数在区间内，故中位数为（万元），所以D正确.
故选ACD.
10.答案：ACD
解析：对于A，若，则，则，反之，当时得不出，故选项A正确；对于B，当时，若，则，故B错误；对于C，若，由，可得，反之得不出，故C正确；对于D，在单调递减，若，则，反之得不出，故D正确；故选ACD.
11.答案：ABD
解析：，故选项A正确；
因为，所以，故选项B正确；将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，故选项C错误；当时，，由图可知，若恰有两个解，则，故选项D正确.故选ABD.
12.答案：AC
解析：设椭圆的标准方程为，易知，
设，则，
由椭圆的定义可得，
，
，不妨设点A是椭圆的下顶点，
，
，
，解得，
椭圆方程为B选项不正确.
A选项正确.
直线的方程为，
联立消去y，得或，
C选项正确.
的周长为D选项不正确.故选AC.
三、填空题
13.答案：18
解析：
.
14.答案：7
解析：设数列的公差为d，则由题意得解得则.又当时，取得最大值.
15.答案：
解析：的图象关于直线对称. 的图象关于点对称. 为周期函数，周期，且.当时，，则.
16.答案：32
解析：由题意知直线的斜率均存在且不为零，，因此可设直线的方程为，则直线的方程为.由，消去x，得.设，则，所以，将其代入直线的方程，得，故点，所以，同理可得，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为32.
四、解答题
17.答案：设等差数列的公差为.
选条件①：
由得
解得，
所以.
因为成等比数列，
所以，即，
所以.
因为，所以.
又，所以，所以.
又为3的倍数，且，
所以或
因为，所以.
选条件②：
因为，
所以，
即，
整理得，所以，
所以.
因为成等比数列，
所以，即，
所以.
因为，
所以.
又，所以，所以.
又为3的倍数，且，
所以或
因为，所以.
选条件③：
因为，
所以，
整理得，
解得（舍去），
所以.
因为成等比数列，
所以，即，
所以.
因为，所以.
又，所以，所以.
又为5的倍数，且，
所以.
因为，所以不存在m，t满足题意.
18.答案：(1)由，得，
即，
由余弦定理得；
又，
所以.
(2)由（1）可得，
所以
又因为，
所以；
所以的面积为，
解得；
由正弦定理(R为外接圆的半径)，
所以，
解得；
所以；
所以外接圆的面积为.
综上知外接圆面积为.
19.答案：（1）因为S是以平行四边形ABCD的边AD为直径的半圆弧上一点，
所以，所以.
因为E为AD的中点，所以.
由题可知，所以.
因为，所以为正三角形，所以，且.
则，所以.
因为平面SAD，所以平面SAD.
因为平面SBE，所以平面平面SAD.
（2）由（1）知，平面平面ABCD，所以平面平面ABCD.以E为坐标原点，以EA，EB所在直线分别为x轴，y轴，以过点E且与平面ABCD垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以.
设平面SBD的法向量为，
则即
取，则，则.
设平面SDC的法向量为，
则即
取，则，则，
所以，
故二面角的正弦值为.
20.答案：（1）记甲飞行员发射的第枚导弹击中蓝方战机为事件，甲飞行员在停止进攻时使用的导弹数不超过3枚为事件M，
则，
所以
.
（2）由题意可得X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
则，
，
，
，
.
所以X的分布列为
期望.
21.答案：(1)由题意知，一条渐近线方程，
可知两式相乘有，又
故.
故双曲线C的方程为.
(2)由(1)知，渐近线方程为，故设
，因为，
故
将点代入双曲线方程有，
化简得.
故
因为，由对勾函数性质得，
故
22.答案：（1），
曲线在点处的切线方程为，整理得.
（2）要证当时，，
即证当时，.
当时，恒成立，，
故有.
若证得，即可证得.
下面证明.
不等式两侧同时除以可将不等式转化为，
令，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增.
当时，，
故当时，.
X
0
1
2
3
4
P