2021届高考数学金榜押题卷(二)(新高考版)
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2021届高考数学金榜押题卷(二)(新高考版)【满分:150分】一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合,则( )A. B. C. D.2.已知i是虚数单位,设复数,其中,则的值为( )A. B. C. D.3.《九章算术》第三章“哀分”中有如下问题:“今有甲持钱四百八十,乙持钱三百,丙持钱二百二十,凡三人俱出关,关税百钱,欲以钱数多少衰出之,问乙出几何?”其意为:“今有甲带了480钱,乙带了300钱,丙带了220钱,三人一起出关,共需要交关税100钱,依照钱的多少按比例出钱”,则乙应出( )A.50 B.32 C.31 D.304.已知,则a,b,c的大小关系为( )A. B. C. D.5.已知首项为2的等比数列的前n项和为,若,则( )A.0 B.1 C.2 D.36.已知直线与曲线相切,则的最小值是( )
A. B. C. D.7.如图,正方体中,分别为棱的中点,则异面直线DE与AF所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.8.已知函数在区间上恰有3个零点,则的取值范围是( )A. B. C. D.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.已知,设所成的角为,则( )
A. B. C. D.10.十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若实数,则下列不等式不一定成立的是( )A. B. C. D.11.在平面直角坐标系xOy中,点在抛物线上,抛物线的焦点为F,延长MF与抛物线相交于点N,则下列结论正确的是( )A.抛物线的准线方程为 B.C.的面积为 D.12.已知函数,则下列说法正确的有( )A.是偶函数B.是周期函数C.在区间上,有且只有一个极值点D.过点作曲线的切线,有且仅有3条三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知,若,则_________.14.的展开式中的系数为_____________.15.已知三棱锥中,点A在平面BCD上的射影与点D重合,.若,则三棱锥的外接球的体积为____________.16.已知双曲线的右焦点为F,左顶点为A,过点F作C的一条渐近线的垂线,垂足为M.若,则C的离心率为_______________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在①;②;③这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并作答.在中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,_______________.(1)求角A;(2)若的面积为,求的周长.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.(12分)已知数列的前n项和,满足,数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足:,且为数列的前n项和,求.19.(12分)如图所示,在四棱锥中,底面ABCD是直角梯形,分别是棱BC,PC的中点,且.(1)求证:平面平面FED;(2)若点P在平面ABCD内的射影H恰为AB的中点,设,求二面角的余弦值.20.(12分)随着手机游戏的发展,在给社会带来经济利益的同时,也使许多人深陷其中,从而产生一些负面的影响.A,B两所学校为了解学生每天玩游戏的时间,各自抽取了100名学生进行调查,得到的数据如表所示:A学校日游戏时间(单位:min)人数1014162018139B学校日游戏时间(单位:min)人数371020252015(1)以样本估计总体,计算A学校学生日游戏时间的平均数以及B学校学生日游戏时间的中位数.(2)为了调查家长对孩子玩游戏的态度,学校相关领导随机抽取了200名男性家长和200名女性家长进行调查,并将所得结果统计如表所示,判断是否有99.9%的把握认为家长对孩子玩游戏的态度与家长性别有关? 认为学生可以适度游戏认为学生不该玩游戏男性家长13664女性家长16139附:,其中.0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.82821.(12分)已知椭圆的离心率,原点到过点的直线的距离是.(1)求椭圆C的方程;(2)如果直线交椭圆C于不同的两点E,F,且E,F都在以B为圆心的圆上,求实数k的值.22.(12分)已知函数.(1)若曲线在处的切线与直线平行,求实数k的值;(2)若对于任意,且恒成立,求实数k的取值范围.
答案以及解析一、单项选择题1.答案:A解析:,即,解得,所以,所以,故选A.2.答案:D解析:因为,所以,所以.故选D.3.答案:D解析:根据分层抽样原理,抽样比例为,所以乙应交关税为钱.故选D.4.答案:C解析:,所以a,b,c的大小关系为,故选C.5.答案:C解析:设等比数列的公比为.因为,所以,解得,所以.故选C.6.答案:A解析:由得,则单调递减,故直线与曲线只有一个切点,设切点为,则曲线在点P处的切线方程为,即,所以,则,设,则,易知在上单调递减,在上单调递增,所以当时,取得最小值,为,即的最小值为.7.答案:A解析:如图,取的中点N,连接EN,FN,AN,由E,N分别为,的中点,则且,在正方体中且,所以且,所以四边形ANED为平行四边形,所以,则(或其补角)为异面直线DE与AF所成角.设正方体的棱长为2,则在中,,所以故选A.
8.答案:D解析:由,可得,函数在区间上恰有3个零点,等价于函数在区间上恰有3个零点,故,解得.故选D.二、多项选择题9.答案:ABD解析:因为所成的角为,故选项C错误;由题意得,所以,故选项A正确;,故选项B,D正确.故选ABD.10.答案:ACD解析:对于选项A:当时,满足,此时,故A不一定成立;对于选项B:因为,所以,即,所以一定成立,故B一定成立;对于选项C:当时,满足,此时,故C不一定成立;对于选项D:当时,满足,此时,故D不一定成立.故选ACD.11.答案:AD解析:点在抛物线上,
,焦点为,
准线为,A正确,因为,故,故直线MF为:,
联立或,B错误;,D正确;
的面积为,故C错误.故选AD.
12.答案:ACD解析:对于选项A:因为函数的定义域为R,显然,所以函数是偶函数,故A正确.对于选项B:若是周期函数,则存在非零常数T,使得,令,则,因为,所以,则且.则且,故不存在非零常数T,使得,故B错误.对于选项C:,令,则.当时,,故单调递减.又,故在上有且仅有一个解,故有且只有一个极值点,故C正确.对于选项D:设切点的坐标为,则切线方程为,将代入,得,解得或.若,则切线方程为;若,则切线方程为,故D正确.故选ACD.三、填空题13.答案:.解析:由题可知,即.14.答案:112解析:的展开式的通项,令,解得,故所求系数为.15.答案:解析:如图,设的外接圆圆心为,半径为r,三棱锥的外接球球心为O,半径为R,则平面BCD,故.在中,由正弦定理得,故,则.故球O的体积.16.答案:解析:如图所示,双曲线的右焦点,左顶点.由双曲线的对称性不妨取渐近线方程为,则过点且与直线垂直的直线FM的方程为.联立解得,即.作于点N,在中,由,可得,整理得,所以,整理得,即,解得或(舍去),故双曲线C的离心率为.四、解答题17.答案:(1)选择①:因为,所以由正弦定理可得,即,则由余弦定理可得,所以.因为,所以,即.因为,所以.选择②:由,得,即,由正弦定理得.由余弦定理得.因为,所以.选择③:由,结合正弦定理得.因为,所以,则,所以.因为,所以,故.因为,所以.(2)由(1)知.因为,所以.由余弦定理得,,即,所以,所以的周长为.18.答案:(1),①
当时,,解得;
当时,②
①-②,得,即,
数列是首项为1,公比为2的等比数列,
从而.
.
(2)由(1)得,
①
,②
①-②,得
.
.19.答案:(1)是BC的中点,.,四边形ABED是平行四边形,.又平面平面平面PAB.分别是棱BC,PC的中点,.又平面平面平面PAB.是平面FED内两条相交直线,平面平面FED.(2)连接HE,AE,AC.点P在平面ABCD内的射影H恰为AB的中点,平面ABCD,.由是BC的中点,,得,,则.故以H为坐标原点,HB,HE,HP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则.设平面CEF的法向量,,即令,得.平面平面平面EFD的一个法向量为.由图可知二面角的平面角为锐角,设二面角的平面角为,则,二面角的余弦值为.20.答案:(1)A学校学生日游戏时间的平均数为(min).B学校学生日游戏时间的中位数为( min).(2)由已知可得2×2列联表: 认为学生可以适度游戏认为学生不该玩游戏合计男性家长13664200女性家长16139200合计297103400则,所以没有99.9%的把握认为家长对孩子玩游戏的态度与家长性别有关.21.答案:(1)因为,所以.原点到直线的距离,解得.故椭圆C的方程为.(2)由题意联立消去y整理得,可知.设的中点,则.因为E,F都在以B为圆心的圆上,且,所以,所以,即,即.又因为,所以,解得.经检验,满足题意.22.答案:(1)由题意得,又曲线在处的切线与直线平行,所以,解得.(2)因为,所以.记,因为,且,所以在上单调递增.所以在上恒成立且等号不恒成立,即在上恒成立且等号不恒成立.记,则.令,解得(舍去)当时,单调递减,当时,单调递增,所以在上,当时,取得最小值,,所以,故实数k的取值范围为.
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