2021届高三第二次联考数学（文）试卷含答案

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一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合，，则（ B ）
A． B． C． D．
2．设复数的共轭复数为，为虚数单位，复数在复平面内对应的点为，则（ B）
A． B． C． D．
3．如图，在棱长都为1的直棱柱中，，三棱锥的体积为（ C ）
A．B．C．D．
4．连续掷两次骰子，以先后得到的点数，为点的坐标，那么点在椭圆内部的概率是（ B ）
A．B．C．D．
5．某个国家某种病毒传播的中期，感染人数和时间（单位：天）在天里的散点图如图所示，下面四个回归方程类型中最适宜作为感染人数和时间的回归方程类型的是（ B ）
A．B．C．D．
6．已知关于方程有两个不同的实数解，则实数k的取值范围是（ B ）
A．B．C．D．
7．已知数列的前项和为，且，，则（ D ）
A．255B．63C．128D．127
8．若，则（ B ）
A．B．1C．D．3
9．为了寻找满足(是大于的常数)的最小正整数，设计了如图所示的程序框图，则①、②中填写的内容依次是（ B ）
A．，输出 B．，输出
C．，输出 D．，输出
10. 设，将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到函数的图象.若在区间上单调递增，在区间上单调递减，则（ C ）
A．，B．，C．D．3
11．设、分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是( D )
A．B．C．D．
12.已知函数，，实数，满足，若，，使得成立，则的最大值为（ A ）
A．1B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若实数、满足则的最小值为______．
14.已知向量，，且，则__________.
15．已知公比不等于1的等比数列和公差不等于0的等差数列满足，，则__________.
16. 已知点，，在半径为5的球面上，且，，为球面上的动点，则三棱锥体积的最大值为_________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17．如图，在四边形中，，，.
（1）求；
（2）若，求周长的最大值.
解：（1）在中，， ┄┄┄┄2分
利用正弦定理得：，
┄┄┄┄4分
又为钝角，为锐角， ┄┄┄┄6分
（2）在中，由余弦定理得
解得：或（舍去） ┄┄┄┄8分
在中，，设
由余弦定理得，即
整理得：，又 ┄┄┄┄6分
利用基本不等式得：，即， ┄┄┄┄10分
即，当且仅当时，等号成立，即，
所以
所以周长的最大值为12 ┄┄┄┄12分
18.截止到2021年，全国大部分省市已经进入了新高考改革模式，新高考模式为语文数学英语三门必选，然后从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中任选3门，
（1）某学生由于非常喜欢历史，因此该学生决定三门选修课中的历史必选，剩下的两门从化学，生物，政治，地理四门学科中任选两门，假设该学生选择这四门学科中的任意一门是等可能性的，请问该学生所选的三门学科中既有文科又有理科的概率（物理化学生物为理科，政治历史地理为文科）？
（2）为了解学生的选科情况，某学校统计，在总共800名学生中，有300人选择了历史，其中男生有120人；未选历史的学生中男生有280人，请问能否有99.9%的把握认为选择历史学科与性别有关？
参考数据：，其中.
解：（1）用分别表示化学生物政治地理四个学科，该学生从中任选两门的所有可能结果有：,,,,,共6种，其中满足既有文科又有理科的结果有,,,,,共5种，所以 ┄┄┄┄6分
(2) 列二联表如下：
┄┄┄┄8分
┄┄┄┄10分
所以有99.9%的把握认为选择历史学科与性别有关。 ┄┄┄┄12分
19．点，分别是正方形的边，的中点，点在边上，且，沿图中的虚线，，将，，折起使，，三点重合，重合后的点记为点，如图.
（1）证明：；
（2）若正方形的边长为，求点到平面的距离.
解：（1）因为是正方形，
所以折起后有，.
又，交于点，
所以平面.
又平面，
所以. ┄┄┄┄6分
（2）设点到平面的距离为，
因为，
所以，
所以点到平面的距离为.
又，，两两垂直，
所以平面.
因为，，
所以.
而， ┄┄┄┄9分
所以，
解得，
所以点到平面的距离为. ┄┄┄┄12分
20．已知函数.
（1）当时，判断函数的单调性；
（2）已知对任意恒成立，求的取值范围.
解：（1）当时，
在上单调递增 ┄┄┄┄5分
（2）
┄┄┄┄7分
令
令
在在上单调递增
又
时，即，单调递减
时，即，单调递增
┄┄┄┄11分
┄┄┄┄12分
21．已知开口向右的抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）经过焦点的直线与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线的切线并交于点，求三角形面积的最小值。
解：（1）设抛物线的方程为，将坐标代入方程得，①
又，② ┄┄┄┄2分
由①，②解得，所以抛物线的方程为． ┄┄┄┄4分
（II）设的方程为，
联立方程
┄┄┄┄6分
直线的方程为
直线的方程为 ┄┄┄┄7分
联立直线、的方程解得
┄┄┄┄9分
点到直线的距离，
， ┄┄┄┄10分
所以的面积
， ┄┄┄┄11分
当且仅当时取等号，
综上，面积的最小值为4. ┄┄┄┄12分
(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．(10分)选修4-4：坐标系与参数方程
直线的参数方程为，曲线C的极坐标方程，
（1）写出直线l的普通方程与曲线C直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于两点A,B，若点，求的值.
解：（1），代入第二个方程得到，所以直线l方程为； ┄┄┄┄2分
根据，代入曲线C的极坐标方程，得到曲线C直角坐标方程为
． ┄┄┄┄5分
（2）将直线l的参数方程化为，代入曲线C： ┄┄┄┄7分
得设A、B两点在直线l中对应的参数为，则
，， ┄┄┄┄8分
所以 ┄┄┄┄10分
23．．(10分)选修4-5：不等式选讲
已知不等式的解集为
（1）求，的值；
（2）若，ab+mn=0，求的最小值.
解：（1）当时，由可得，解得，此时；
当时，由可得，解得，此时；
当时，由可得，解得，此时.
综上所述，不等式的解集为，则，； ┄┄┄┄5分
（2）由（1）可得
所以
， ┄┄┄┄9分
当且仅当，即，时，等号成立，
的最小值为4. ┄┄┄┄10分
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
选历史
不选历史
合计
男生
120
280
400
女生
180
220
400
合计
300
500
800