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2021年江西省初中名校中考数学阶段性测评试卷（二）
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这是一份2021年江西省初中名校中考数学阶段性测评试卷（二），共33页。试卷主要包含了范围内，，对称轴为直线x＝1，其中正确的结论有个等内容，欢迎下载使用。
2021年江西省初中名校中考数学阶段性测评试卷（二）
一．选择题（满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x﹣3y+1 B．3x+y＝z C．x2﹣5x＝1 D．x2﹣+2＝0
2．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．随机事件发生的概率大于或等于0，小于或等于1
B．可以通过大量重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率
C．必然事件发生的概率为1
D．一组数据的中位数，就是这组数据中间的一个数或者中间两个数的平均数
3．（3分）关于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．函数图象分别位于第二、四象限
B．函数图象关于原点成中心对称
C．函数图象经过点（﹣6，﹣2）
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
4．（3分）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过9A，那么用电器的可变电阻应控制在（ ）范围内．
A．R≥4Ω B．R≤4Ω C．R≥9Ω D．R≤9Ω
5．（3分）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，下列条件中：
①∠1＝∠A，②＝，③∠B+∠2＝90°，④∠BAC：∠ABC：∠ACB＝3：4：5，⑤AC•BD＝AD•CD，⑥∠1+∠2＝∠A+∠B．
一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论：
①abc＞0；
②4a+2b+c＞0；
③一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝3，x2＝﹣1；
④2a+c＜0．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（满分18分，每小题3分）
7．（3分）若＝＝＝2，且b+d+f＝4，则a+c+e＝ ．
8．（3分）如果任意选择一对有序整数（m，n），其中|m|≤1，|n|≤2，每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的，那么关于x的方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根的概率是 ．
9．（3分）设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 ．
10．（3分）由于新能源汽车越来越多，为了解决充电难的问题，现对一面积为12000m2的矩形停车场进行改造，将该矩形停车场的长减少20m，减少的这部分区域用于修建电动汽车充电桩，原停车场的剩余部分就变成了正方形，则原停车场的长是 m．
11．（3分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有井径5尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸．问井深几何？”意思是：如图，井径BE＝5尺，立木高AB＝5尺，BD＝4寸＝0.4尺，则井深x为 尺．
12．（3分）如图，P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝2，PC＝2，则△ABC的边长为 ．
三．解答题
13．解方程：x2+2x＝1．
14．如图，矩形ABCD中，BC＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形A′B′C′D'．设旋转角为α，此时点B′恰好落在边AD上，连接B'B．
（1）当B'恰好是AD中点时，此时α＝ ；
（2）若∠AB'B＝75°，求旋转角α及AB的长．
15．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设两个实数根是x1和x2，且x1+x2﹣2x1x2＝2，则k的值为 ．
16．（6分）请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）如图1，抛物线l与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，作出抛物线的对称轴EF；
（2）如图2，抛物线l1，l2交于点P且关于直线MN对称，两抛物线分别交x轴于点A，B和点C，D，作出直线MN．
17．（6分）在一个不透明的盒子中，放入2个红球，1个黄球和1个白球．这些球除颜色外都相同．
（1）第一次摸出一个球后放回盒子中，搅匀后第二次再摸出一个球，请用画树状图法求出两次都摸到红球的概率；
（2）直接写出“一次同时摸出两个红球”的概率．
18．（6分）网瘾低龄化问题已引起社会各界的高度关注．有关部门在全国范围内对12～35岁的网瘾人群进行简单随机抽样调查并得到如图，期中30～35岁的网瘾人数占样本人数的20%．
（1）请把图中缺失的数据、图形补充完整；
（2）若12～35岁网瘾人数约为4000人，请你根据图中数据估计网瘾人群中12～17岁的网瘾人数．
四．解答题
19．（8分）某超市购进一批时令水果，成本为10元/千克，根据市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价m（元/千克）与时间x（天）之间的函数关系式为m＝x+20（1≤x≤30，x为整数），且其日销售量y（千克）与时间x（天）之间的函数关系如图所示：
（1）求每天销售这种水果的利润W（元）与x（天）之间的函数关系式；
（2）问哪一天销售这种水果的利润最大？最大日销售利润为多少？
20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点C（0，2），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，a）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）一次函数y＝x+b的图象与x轴交于B点，求△ABO的面积；
（3）设M是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，N是直线AB上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．
21．（8分）在矩形ABCD中，点E是对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE交AB于点F．
（1）如图1，当DE＝DA时，求证：AF＝EF；
（2）如图2，点E在运动过程中的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图3，若点F为AB的中点，连接DF交AC于点G，将△GEF沿EF翻折得到△HEF，连接DH交EF于点K，当AD＝2，CD＝2时，求KH的长．
五．解答题
22．（9分）如图，点O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B和P（m，n）是函数y＝（k＞0，x＞0）在第一象限内图象上的点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E，F，正方形OABC的面积为9，矩形OAGF的面积为S．
（1）求点B的坐标和k值；
（2）当S＝时，求点P的坐标；
（3）写出S与m之间的函数表达式．
23．（9分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O为对角线AC的中点，动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，点P运动速度为每秒2个单位长度，点Q运动速度为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止运动，连接PQ，设点P运动时间为t（t＞0）秒．
（1）cos∠BAC＝ ．
（2）当PQ⊥AC时，求t的值．
（3）求△QOP的面积S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围．
（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC的某个顶点时，请直接写出t的值．
六．解答题
24．（12分）如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，A，C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴，x轴的交点，点B在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）动点P在线段AD上从点A至点D运动，同时动点Q在线段AC上从点C到点A运动，两点都是以每秒1个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．
①当△APQ是直角三角形时，求P的坐标；
②四边形PDCQ的面积是否有最小值？若有，求出面积的最小值和点P的坐标；若没有，请说明理由．
2021年江西省初中名校中考数学阶段性测评试卷（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x﹣3y+1 B．3x+y＝z C．x2﹣5x＝1 D．x2﹣+2＝0
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
【解答】解：A、它不是方程，故此选项不符合题意；
B、该方程是三元一次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、该方程不是整式方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．随机事件发生的概率大于或等于0，小于或等于1
B．可以通过大量重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率
C．必然事件发生的概率为1
D．一组数据的中位数，就是这组数据中间的一个数或者中间两个数的平均数
【分析】根据概率的意义及中位数的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、随机事件发生的概率大于0，小于1，故原命题错误，符合题意；
B、可以通过大量重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率，说法正确，不符合题意；
C、必然事件发生的概率为1，正确，不符合题意；
D、一组数据的中位数，就是这组数据中间的一个数或者中间两个数的平均数，正确，不符合题意，
故选：A．
3．（3分）关于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．函数图象分别位于第二、四象限
B．函数图象关于原点成中心对称
C．函数图象经过点（﹣6，﹣2）
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对C进行判断；根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断．
【解答】解：反比例函数y＝﹣，k＝12＜0，
A、函数图象分别位于第二、四象限，故本选项说法正确；
B、函数图象关于原点成中心对称，故本选项说法正确；
C、函数图象经过点（﹣6，2），故本选项说法不正确；
D、当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故本选项说法正确；
故选：C．
4．（3分）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过9A，那么用电器的可变电阻应控制在（ ）范围内．
A．R≥4Ω B．R≤4Ω C．R≥9Ω D．R≤9Ω
【分析】根据函数的图象即可得到结论．
【解答】解：由物理知识可知：I＝，
由图象可知点（9，4）在反比例函数的图象上，
当I≤9时，由R≥4，
故选：A．
5．（3分）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，下列条件中：
①∠1＝∠A，②＝，③∠B+∠2＝90°，④∠BAC：∠ABC：∠ACB＝3：4：5，⑤AC•BD＝AD•CD，⑥∠1+∠2＝∠A+∠B．
一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由题意根据直角三角形的判定及相似三角形的判定方法，对各选项一一分析可得出答案．
【解答】解：①∵∠A+∠2＝90°，∠1＝∠A，
∴∠1+∠2＝90°，
即△ABC为直角三角形，故①符合题意；
②∵CD2＝AD•DB，
∴，
∵∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴∠1＝∠A，
∵∠A+∠2＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
即∠ACB＝90°，故②符合题意；
③∵∠B+∠2＝90°，∠B+∠1＝90°，
∴∠1＝∠2，
即无法得到两角和为90°，故③不符合题意；
④∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°（三角形的内角和是180°），
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
∴△ABC不是直角三角形；故④不符合题意；
⑤由三角形的相似无法推出AC•BD＝AD•CD成立，所以△ABC不是直角三角形，故⑤不符合题意．
⑥∵∠1+∠2＝∠A+∠B，∠1+∠2+∠A+∠B＝180°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形；故⑥符合题意．
故一定能确定△ABC为直角三角形的条件有①②⑥．
故选：C．
6．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论：
①abc＞0；
②4a+2b+c＞0；
③一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝3，x2＝﹣1；
④2a+c＜0．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可．
【解答】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x＝1＞0，因此a、b异号，所以b＞0，抛物线与y轴交点在正半轴，因此c＞0，所以abc＜0，故①不正确；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故②正确；
抛物线与x轴交点（3，0），对称轴为x＝1．因此另一个交点坐标为（﹣1，0），即方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝3，x2＝﹣1，故③正确；
抛物线与x轴交点（﹣1，0），所以a﹣b+c＝0，又x＝﹣＝1，有2a+b＝0，所以3a+c＝0，而a＜0，因此2a+c＞0，故④不正确；
故选：B．
二．填空题（满分18分，每小题3分）
7．（3分）若＝＝＝2，且b+d+f＝4，则a+c+e＝ 8 ．
【分析】根据等比性质，可得答案．
【解答】解：＝＝＝2，
由等比性质，得，
a+c+e＝8．
故答案为：8．
8．（3分）如果任意选择一对有序整数（m，n），其中|m|≤1，|n|≤2，每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的，那么关于x的方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根的概率是 ．
【分析】首先确定m，n的值，推出有序整数对（m，n）共有：3×5＝15（种），由方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根，则需△＝n2﹣4m＝0，有（0，0），（1，2），（1﹣2）三种可能，由此可以求出方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根的概率．
【解答】解：∵|m|≤1，|n|≤2，
∴m＝0，±1，
n＝0，±1，±2，
∴有序整数（m，n）共有3×5＝15（种），
∵方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根，
则需：△＝n2﹣4m＝0，
有（0，0），（1，2），（1﹣2）三种可能，
∴关于x的方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根的概率是＝．
故答案为．
9．（3分）设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 1000 ．
【分析】由于m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n＝﹣1，并且m2+m﹣1001＝0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果
【解答】解：∵m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
并且m2+m﹣1001＝0，
∴m2+m＝1001，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝1001﹣1＝1000．
故答案为：1000．
10．（3分）由于新能源汽车越来越多，为了解决充电难的问题，现对一面积为12000m2的矩形停车场进行改造，将该矩形停车场的长减少20m，减少的这部分区域用于修建电动汽车充电桩，原停车场的剩余部分就变成了正方形，则原停车场的长是 120 m．
【分析】设出原来矩形的长，然后表示出原来矩形的宽，根据题意列出方程求解即可．
【解答】解：设原矩形的长为x米，则宽为（x﹣20）米，根据题意得：
x（x﹣20）＝12000，
解得：x＝120或x＝﹣100（舍去），
故答案为：120．
11．（3分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有井径5尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸．问井深几何？”意思是：如图，井径BE＝5尺，立木高AB＝5尺，BD＝4寸＝0.4尺，则井深x为 57.5 尺．
【分析】根据题意可知△ABD∽△ACF，根据相似三角形的性质可求AC，进一步得到井深．
【解答】解：∵BD∥CF，
∴△ABD∽△ACF，
∴AB：AC＝BD：CF，
即5：AC＝0.4：5，
解得AC＝62.5，
∴BC＝AC﹣AB＝62.5﹣5＝57.5尺．
故答案为：57.5．
12．（3分）如图，P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝2，PC＝2，则△ABC的边长为 2 ．
【分析】作BH⊥PC于H，如图，根据等边三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝60°，于是可把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD，如图，根据旋转的性质得CD＝AP＝4，BD＝BP＝2，∠PBD＝60°，则可判断△PBD为等边三角形，所以PD＝PB＝2，∠BPD＝60°，然后利用勾股定理的逆定理可证明△PCD为直角三角形，∠CPD＝90°，易得∠BPC＝150°，利用平角等于有∠BPH＝30°，再利用勾股定理求出BC即可．
【解答】解：作BH⊥PC于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∴把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD，如图，
∴CD＝AP＝4，BD＝BP＝2，∠PBD＝60°，
∴△PBD为等边三角形，
∴PD＝PB＝2，∠BPD＝60°，
在△PDC中，PC＝2，PD＝2，CD＝4，
∴PC2+PD2＝CD2，
∴△PCD为直角三角形，∠CPD＝90°，
∴∠BPC＝∠BPD+∠CPD＝150°，
∴∠BPH＝30°，
在Rt△PBH中，∠BPH＝30°，PB＝2，
∴BH＝PB＝，PH＝BH＝3，
∴CH＝PC+PH＝2+3＝5，
在Rt△BCH中，BC2＝BH2+CH2＝（）2+52＝28，
∴BC＝2，
故答案为：2
三．解答题
13．解方程：x2+2x＝1．
【分析】方程左右两边同时加上1，则左边是完全平方式，右边是常数，再利用直接开平方法即可求解．
【解答】解：∵x2+2x＝1，
∴x2+2x+1＝1+1，
∴（x+1）2＝2，
∴x+1＝，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
14．如图，矩形ABCD中，BC＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形A′B′C′D'．设旋转角为α，此时点B′恰好落在边AD上，连接B'B．
（1）当B'恰好是AD中点时，此时α＝ 60° ；
（2）若∠AB'B＝75°，求旋转角α及AB的长．
【分析】（1）由矩形的性质得出AD＝BC＝4，∠BCD＝∠D＝90°，当B'恰好是AD中点时，B'D＝AD＝2，得出B'D＝BC，证出∠B'CD＝30°，求出∠BCB'°＝60°即可；
（2）由平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠CB'B＝∠CBB'＝75°，由三角形内角和定理得出∠BCB'＝30°，即旋转角α为30°；作B'E⊥BC于E，由含30°角的直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，∠BCD＝∠D＝90°，
当B'恰好是AD中点时，B'D＝AD＝2，
∴B'D＝BC，
∴∠B'CD＝30°，
∴∠BCB'＝90°﹣30°＝60°，
即当B'恰好是AD中点时，此时α＝60°；
故答案为：60°；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CBB'＝∠AB'B＝75°，
由旋转的性质得：CB＝CB'，
∴∠CB'B＝∠CBB'＝75°，
∴∠BCB'＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
即旋转角α为30°；
作B'E⊥BC于E，如图所示：
则AB＝B'E＝CB'＝2．
15．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设两个实数根是x1和x2，且x1+x2﹣2x1x2＝2，则k的值为 ﹣1 ．
【分析】（1）根据一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，可得△＞0，从而可以求得k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系和x1+x2﹣2x1x2＝2，可以求得k的值．
【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4（k﹣1）＞0，
解得k＜2，
即k的取值范围是k＜2；
（2）∵一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根是x1和x2，
∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，
∵x1+x2﹣2x1x2＝2，
∴﹣2﹣2（k﹣1）＝2，
∴k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
16．（6分）请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）如图1，抛物线l与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，作出抛物线的对称轴EF；
（2）如图2，抛物线l1，l2交于点P且关于直线MN对称，两抛物线分别交x轴于点A，B和点C，D，作出直线MN．
【分析】（1）连接AC，BD交于点F，作直线AD，直线BC交于点E，作直线EF即可．
（2）作直线PA，PD交抛物线于H，G，作直线AH，直线DG交于点M，作直线PM即可，直线MN即为所求．
【解答】解：（1）如图1所示，直线EF即为所求．
（2）如图2所示，直线MN即为所求．
17．（6分）在一个不透明的盒子中，放入2个红球，1个黄球和1个白球．这些球除颜色外都相同．
（1）第一次摸出一个球后放回盒子中，搅匀后第二次再摸出一个球，请用画树状图法求出两次都摸到红球的概率；
（2）直接写出“一次同时摸出两个红球”的概率．
【分析】（1）画树状图，共有16个等可能的结果，两次都摸到红球的结果有4个，再由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12个等可能的结果，“一次同时摸出两个红球”的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有16个等可能的结果，两次都摸到红球的结果有4个，
∴两次都摸到红球的概率为＝；
（2）画树状图如下：
共有12个等可能的结果，“一次同时摸出两个红球”的结果有2个，
∴“一次同时摸出两个红球”的概率为＝．
18．（6分）网瘾低龄化问题已引起社会各界的高度关注．有关部门在全国范围内对12～35岁的网瘾人群进行简单随机抽样调查并得到如图，期中30～35岁的网瘾人数占样本人数的20%．
（1）请把图中缺失的数据、图形补充完整；
（2）若12～35岁网瘾人数约为4000人，请你根据图中数据估计网瘾人群中12～17岁的网瘾人数．
【分析】（1）先求出被调查的总人数，再根据四个年龄段的人数之和等于总人数求出12～17岁的人数，从而补全图形；
（2）先求出12～17岁人数所占百分比，再用总人数乘以所求百分比即可．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为480÷20%＝2400（人），
∴12～17岁的人数为2400﹣600﹣576﹣480＝744（人），
补全图形如下：
（2）744÷2400×100%＝31%，
4000×31%＝1240（人），
∴若12～35岁网瘾人数约为4000人，则根据图中数据估计网瘾人群中12～17岁的网瘾人数是1240．
四．解答题
19．（8分）某超市购进一批时令水果，成本为10元/千克，根据市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价m（元/千克）与时间x（天）之间的函数关系式为m＝x+20（1≤x≤30，x为整数），且其日销售量y（千克）与时间x（天）之间的函数关系如图所示：
（1）求每天销售这种水果的利润W（元）与x（天）之间的函数关系式；
（2）问哪一天销售这种水果的利润最大？最大日销售利润为多少？
【分析】（1）由题意设销售数量y＝kx+b（k≠0）用待定系数法求得y关于x的函数关系式，再根据利润W等于销售数量y千克乘以每千克水果的利润（m﹣10）元，可得答案；
（2）根据（1）中所得的W关于x的二次函数解析式，利用二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
【解答】解：（1）由题意设销售数量y＝kx+b（k≠0），
把（10，55），（26，39）代入函数解析式得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+65，
∴W＝y（m﹣10）
＝（﹣x+65）（x+20﹣10）
＝﹣x2+x+650（1≤x≤30，x为整数）．
∴每天销售这种水果的利润W（元）与x（天）之间的函数关系式为W＝﹣x2+x+650（1≤x≤30，x为整数）；
（2）∵W＝﹣x2+x+650，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝22.5，
∵a＝﹣＜0，1≤x≤30，x为整数，
∴当x＝22或x＝23时，W取得最大值，
最大值为：
（﹣22+65）（×22+10）
＝43×21
＝903（元）．
∴第22或23天销售这种水果的利润最大，最大日销售利润为903元．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点C（0，2），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，a）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）一次函数y＝x+b的图象与x轴交于B点，求△ABO的面积；
（3）设M是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，N是直线AB上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．
【分析】（1）将点C代入直线y＝x+b中求出b，进而得出直线AB的解析式，进而求出点A的坐标，再代入双曲线的表达式中，即可得出结论；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）设成点M，N坐标，分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点C（0，2）在直线y＝x+b上，
∴b＝2，
∴一次函数的表达式为y＝x+2；
∵点A（1，a）在直线y＝x+2上，
∴a＝3，
∴点A（1，3），
∵点A（1，3）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）在y＝x+2中，令y＝0，得x＝﹣2，令x＝0，得y＝2，
∴B（﹣2，0），C（0，2），
∴△ABO的面积＝S△AOC+S△BOC＝+＝1+2＝3；
（3）由（2）知，直线AB的表达式为y＝x+2，反比例函数的表达式为y＝，
设点M（m，），N（n，n+2），
若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，
则①以OC和MN为对角线时，
∴＝0，＝，
∴m＝，n＝﹣或m＝﹣（此时，点M不在第一象限，舍去），n＝，
∴N（﹣，﹣+2），
②以CN和OM为对角线时，
∴＝，＝，
∴m＝n＝﹣2+或m＝n＝﹣2﹣（此时，点M不在第一象限，舍去），
∴N（﹣2+，），
③以CM和ON为对角线时，
∴，＝，
∴m＝n＝或m＝n＝﹣（此时，点M不在第一象限，舍去），
∴N（，2+），
即满足条件的点N的坐标为（﹣，﹣+2）或（﹣2+，）或（，2+）．
21．（8分）在矩形ABCD中，点E是对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE交AB于点F．
（1）如图1，当DE＝DA时，求证：AF＝EF；
（2）如图2，点E在运动过程中的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图3，若点F为AB的中点，连接DF交AC于点G，将△GEF沿EF翻折得到△HEF，连接DH交EF于点K，当AD＝2，CD＝2时，求KH的长．
【分析】（1）连接DF，证明Rt△DAF≌Rt△DEF（HL），由全等三角形的性质得出AF＝EF；
（2）如图，过点E作EM⊥AD于点M，过点E作EN⊥AB于点N，证明△EAM∽△CAD，得出比例线段①，证明△DME∽△FNE，得出比例线段，由①②可得，则可得出结论；
（3）连接GH交EF于点I，由勾股定理求出DF的长，证明△AGF∽△CGD，由相似三角形的性质得出，则，由折叠的性质可知GI＝IH，GH⊥EF，证明△GFI∽△DFE，由相似三角形的性质得出，证明△DEK∽△HIK，由相似三角形的性质得出＝，由勾股定理可求出答案．
【解答】（1）证明：如图，连接DF，在矩形ABCD中，∠DAF＝90°，
又∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∵AD＝DE，DF＝DF，
∴Rt△DAF≌Rt△DEF（HL），
∴AF＝EF；
（2）解：的值不变；
如图，过点E作EM⊥AD于点M，过点E作EN⊥AB于点N，
∴四边形ANEM是矩形，
∴EN＝AM，
∵∠EAM＝∠CAD，∠EMA＝∠CDA．
∴△EAM∽△CAD，
∴，即，
∵∠DEF＝∠MEN＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
又∵∠DME＝∠ENF＝90°，
∴△DME∽△FNE，
∴，
由①②可得，
∵AD与DC的长度不变，
∴的长度不变；
（3）连接GH交EF于点I，
∵点F是AB的中点，
∴AF＝，
在Rt△ADF中，DF＝＝＝，
由（2）知＝，
∴DE＝EF，
在Rt△DEF中，EF＝，DE＝，
又∵AB∥DC，
∴△AGF∽△CGD，
∴，
∴，
由折叠的性质可知GI＝IH，GH⊥EF，
又∵DE⊥EF，
∴GH∥DE，
∴△GFI∽△DFE，
∴，
∴EI＝＝，GI＝IH＝，
又∵GH∥DE，
∴△DEK∽△HIK，
∴＝，
∴KI＝＝，
∴HK＝＝．
五．解答题
22．（9分）如图，点O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B和P（m，n）是函数y＝（k＞0，x＞0）在第一象限内图象上的点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E，F，正方形OABC的面积为9，矩形OAGF的面积为S．
（1）求点B的坐标和k值；
（2）当S＝时，求点P的坐标；
（3）写出S与m之间的函数表达式．
【分析】（1）根据反比例函数中正方形的面积与反比例系数的关系，即可求得反比例函数解析式，进而求得B的坐标；
（2）根据矩形的面积公式以及反比例函数系数k的几何意义求得即可；
（3）根据矩形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）∵正方形OABC的面积为9，
∴正方形OABC的边长为3，即OA＝3，AB＝3，
∴B点坐标为（3，3）．
又∵点B是函数y＝的图象上的一点，
∴k＝3×3＝9；
（2）∵P（m，n），则FG＝3，AG＝n，
∴S＝3n＝；
∴n＝，
∵P是函数y＝图象上的点，
∴m＝9，
∴m＝6，
∴P（6，）；
（3）S＝3n．
∵P的纵坐标是n＝，
∴S＝3×＝，
即S＝（m≥3）．
23．（9分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O为对角线AC的中点，动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，点P运动速度为每秒2个单位长度，点Q运动速度为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止运动，连接PQ，设点P运动时间为t（t＞0）秒．
（1）cos∠BAC＝ ．
（2）当PQ⊥AC时，求t的值．
（3）求△QOP的面积S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围．
（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC的某个顶点时，请直接写出t的值．
【分析】（1）先由勾股定理求出AC＝10，再由锐角三角函数定义求解即可；
（2）由题意得：BQ＝t，AP＝2t，则AQ＝6﹣t，由锐角三角函数定义得cos∠QAP＝＝，即＝，解得t＝即可；
（3）过Q作QE⊥AC于E，先证△AEQ∽△ABC，求出QE＝（6﹣t），再分两种情况，由三角形面积公式求解即可；
（4）分三种情况：①当线段PQ的垂直平分线经过点C时；②当线段PQ的垂直平分线经过点B时；③当线段PQ的垂直平分线经过点A时；由线段垂直平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC＝＝＝10，
∴cos∠BAC＝＝＝，
故答案为：；
（2）由题意得：BQ＝t，AP＝2t，则AQ＝6﹣t，
当PQ⊥AC时，∠APQ＝90°，
∴cos∠QAP＝＝，
即＝，
解得：t＝，
即当PQ⊥AC时，t的值为；
（3）过Q作QE⊥AC于E，如图1所示：
则∠AEQ＝90°＝∠ABC，
又∵∠QAE＝∠CAB，
∴△AEQ∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得：QE＝（6﹣t），
∵点O为对角线AC的中点，
∴AO＝AC＝5，
若P与O重合时，则AP＝AO＝5，
∴2t＝5，
∴t＝，
若P与C重合时，则AP＝AC＝10，
∴2t＝10，
∴t＝5，
当点P在线段AO上时，OP＝5﹣2t，
则△QOP的面积S＝OP×QE＝×（5﹣2t）×（6﹣t）＝t2﹣t+12，
即S＝t2﹣t+12（0≤t＜）；
当点P在线段CO上时，OP＝2t﹣5，
则△QOP的面积S＝OP×QE＝×（2t﹣5）×（6﹣t）＝﹣t2+t﹣12，
即S＝﹣t2+t﹣12（＜t≤5）；
（4）分三种情况：
①当线段PQ的垂直平分线经过点C时，连接QC，如图2所示：
PC＝QC＝10﹣2t，
在Rt△QBC中，由勾股定理得：QC2＝BC2+BQ2，
即（10﹣2t）2＝82+t2，
解得：t＝或t＝（舍去），
∴t＝；
②当线段PQ的垂直平分线经过点B时，BQ＝BP＝t，
过点P作PG⊥BC于G，连接BP，如图3所示：
则PG∥AB，
∴△PCG∽△ACB，
∴＝＝，
即＝＝，
解得：PG＝（10﹣2t）＝6﹣t，CG＝（10﹣2t），
∴BG＝8﹣（10﹣2t）＝t，
在Rt△BPG中，由勾股定理得：BP2＝BG2+PG2，
即t2＝（t）2+（6﹣t）2，此方程无解；
③当线段PQ的垂直平分线经过点A时，如图4所示：
则AQ＝AP，
即6﹣t＝2t，
解得：t＝2；
综上所述，当线段PQ的垂直平分线经过△ABC的某个顶点时，t的值为或2．
六．解答题
24．（12分）如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，A，C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴，x轴的交点，点B在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）动点P在线段AD上从点A至点D运动，同时动点Q在线段AC上从点C到点A运动，两点都是以每秒1个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．
①当△APQ是直角三角形时，求P的坐标；
②四边形PDCQ的面积是否有最小值？若有，求出面积的最小值和点P的坐标；若没有，请说明理由．
【分析】（1）求出A、C坐标，再由△ABC是以BC为底边的等腰三角形和四边形ABCD能构成平行四边形求出B、D坐标即可求二次函数的表达式；
（2）①△APQ是等腰直角三角形，分两种情况讨论；
②用t表示出四边形PDCQ的面积，再求最小值即可．
【解答】解：（1）∵A，C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴，x轴的交点，
在一次函数y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝3，
∴A（0，3），C（3，0），
∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，
∴OC＝OB＝3，B（﹣3，0），
∵四边形ABCD能构成平行四边形，
∴AD＝BC＝6，D（6，3），
∵点B、D在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，
∴，解得b＝﹣，c＝﹣17，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣x﹣17；
（2）①设运动时间是t秒，则AQ＝AC﹣CQ＝3﹣t，AP＝t，
∵A（0，3），C（3，0），∠AOC＝90°，
∴∠ACO＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CAD＝45°，
若△APQ是直角三角形，则△APQ是等腰直角三角形，
分两种情况：
（一）∠APC＝90°，如答图1：
∴AQ＝AP，
∴3﹣t＝t，解得t＝6﹣3，
∴P（6﹣3，3），
（二）∠AQP＝90°，如答图2：
∴AP＝AQ，
∴t＝（3﹣t），解得t＝6﹣6，
∴P（6﹣6，3），
综上所述，当△APQ是直角三角形时，P的坐标是（6﹣3，3）或（6﹣6，3），
（3）过Q作QM⊥AD于M，如答图3：
∵A（0，3），B（﹣3，0），C（3，0），ABCD是平行四边形，
∴S△ACD＝S△ABC＝×6×3＝9，
而CM＝AC•sin45°＝（3﹣t）•＝3﹣t，
∴S△APQ＝×t×（3﹣t）＝﹣t2+t，
∴S四边形PDCQ＝S△ACD﹣S△APQ＝9﹣（﹣t2+t）＝t2﹣t+9，
当t＝＝时，S四边形PDCQ最小为，
此时P（，3）．
2021年江西省初中名校中考数学阶段性测评试卷（二）
一．选择题（满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x﹣3y+1 B．3x+y＝z C．x2﹣5x＝1 D．x2﹣+2＝0
2．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．随机事件发生的概率大于或等于0，小于或等于1
B．可以通过大量重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率
C．必然事件发生的概率为1
D．一组数据的中位数，就是这组数据中间的一个数或者中间两个数的平均数
3．（3分）关于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．函数图象分别位于第二、四象限
B．函数图象关于原点成中心对称
C．函数图象经过点（﹣6，﹣2）
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
4．（3分）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过9A，那么用电器的可变电阻应控制在（ ）范围内．
A．R≥4Ω B．R≤4Ω C．R≥9Ω D．R≤9Ω
5．（3分）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，下列条件中：
①∠1＝∠A，②＝，③∠B+∠2＝90°，④∠BAC：∠ABC：∠ACB＝3：4：5，⑤AC•BD＝AD•CD，⑥∠1+∠2＝∠A+∠B．
一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论：
①abc＞0；
②4a+2b+c＞0；
③一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝3，x2＝﹣1；
④2a+c＜0．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（满分18分，每小题3分）
7．（3分）若＝＝＝2，且b+d+f＝4，则a+c+e＝ ．
8．（3分）如果任意选择一对有序整数（m，n），其中|m|≤1，|n|≤2，每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的，那么关于x的方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根的概率是 ．
9．（3分）设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 ．
10．（3分）由于新能源汽车越来越多，为了解决充电难的问题，现对一面积为12000m2的矩形停车场进行改造，将该矩形停车场的长减少20m，减少的这部分区域用于修建电动汽车充电桩，原停车场的剩余部分就变成了正方形，则原停车场的长是 m．
11．（3分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有井径5尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸．问井深几何？”意思是：如图，井径BE＝5尺，立木高AB＝5尺，BD＝4寸＝0.4尺，则井深x为 尺．
12．（3分）如图，P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝2，PC＝2，则△ABC的边长为 ．
三．解答题
13．解方程：x2+2x＝1．
14．如图，矩形ABCD中，BC＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形A′B′C′D'．设旋转角为α，此时点B′恰好落在边AD上，连接B'B．
（1）当B'恰好是AD中点时，此时α＝ ；
（2）若∠AB'B＝75°，求旋转角α及AB的长．
15．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设两个实数根是x1和x2，且x1+x2﹣2x1x2＝2，则k的值为 ．
16．（6分）请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）如图1，抛物线l与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，作出抛物线的对称轴EF；
（2）如图2，抛物线l1，l2交于点P且关于直线MN对称，两抛物线分别交x轴于点A，B和点C，D，作出直线MN．
17．（6分）在一个不透明的盒子中，放入2个红球，1个黄球和1个白球．这些球除颜色外都相同．
（1）第一次摸出一个球后放回盒子中，搅匀后第二次再摸出一个球，请用画树状图法求出两次都摸到红球的概率；
（2）直接写出“一次同时摸出两个红球”的概率．
18．（6分）网瘾低龄化问题已引起社会各界的高度关注．有关部门在全国范围内对12～35岁的网瘾人群进行简单随机抽样调查并得到如图，期中30～35岁的网瘾人数占样本人数的20%．
（1）请把图中缺失的数据、图形补充完整；
（2）若12～35岁网瘾人数约为4000人，请你根据图中数据估计网瘾人群中12～17岁的网瘾人数．
四．解答题
19．（8分）某超市购进一批时令水果，成本为10元/千克，根据市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价m（元/千克）与时间x（天）之间的函数关系式为m＝x+20（1≤x≤30，x为整数），且其日销售量y（千克）与时间x（天）之间的函数关系如图所示：
（1）求每天销售这种水果的利润W（元）与x（天）之间的函数关系式；
（2）问哪一天销售这种水果的利润最大？最大日销售利润为多少？
20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点C（0，2），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，a）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）一次函数y＝x+b的图象与x轴交于B点，求△ABO的面积；
（3）设M是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，N是直线AB上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．
21．（8分）在矩形ABCD中，点E是对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE交AB于点F．
（1）如图1，当DE＝DA时，求证：AF＝EF；
（2）如图2，点E在运动过程中的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图3，若点F为AB的中点，连接DF交AC于点G，将△GEF沿EF翻折得到△HEF，连接DH交EF于点K，当AD＝2，CD＝2时，求KH的长．
五．解答题
22．（9分）如图，点O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B和P（m，n）是函数y＝（k＞0，x＞0）在第一象限内图象上的点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E，F，正方形OABC的面积为9，矩形OAGF的面积为S．
（1）求点B的坐标和k值；
（2）当S＝时，求点P的坐标；
（3）写出S与m之间的函数表达式．
23．（9分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O为对角线AC的中点，动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，点P运动速度为每秒2个单位长度，点Q运动速度为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止运动，连接PQ，设点P运动时间为t（t＞0）秒．
（1）cos∠BAC＝ ．
（2）当PQ⊥AC时，求t的值．
（3）求△QOP的面积S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围．
（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC的某个顶点时，请直接写出t的值．
六．解答题
24．（12分）如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，A，C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴，x轴的交点，点B在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）动点P在线段AD上从点A至点D运动，同时动点Q在线段AC上从点C到点A运动，两点都是以每秒1个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．
①当△APQ是直角三角形时，求P的坐标；
②四边形PDCQ的面积是否有最小值？若有，求出面积的最小值和点P的坐标；若没有，请说明理由．
2021年江西省初中名校中考数学阶段性测评试卷（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x﹣3y+1 B．3x+y＝z C．x2﹣5x＝1 D．x2﹣+2＝0
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
【解答】解：A、它不是方程，故此选项不符合题意；
B、该方程是三元一次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、该方程不是整式方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．随机事件发生的概率大于或等于0，小于或等于1
B．可以通过大量重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率
C．必然事件发生的概率为1
D．一组数据的中位数，就是这组数据中间的一个数或者中间两个数的平均数
【分析】根据概率的意义及中位数的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、随机事件发生的概率大于0，小于1，故原命题错误，符合题意；
B、可以通过大量重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率，说法正确，不符合题意；
C、必然事件发生的概率为1，正确，不符合题意；
D、一组数据的中位数，就是这组数据中间的一个数或者中间两个数的平均数，正确，不符合题意，
故选：A．
3．（3分）关于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．函数图象分别位于第二、四象限
B．函数图象关于原点成中心对称
C．函数图象经过点（﹣6，﹣2）
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对C进行判断；根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断．
【解答】解：反比例函数y＝﹣，k＝12＜0，
A、函数图象分别位于第二、四象限，故本选项说法正确；
B、函数图象关于原点成中心对称，故本选项说法正确；
C、函数图象经过点（﹣6，2），故本选项说法不正确；
D、当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故本选项说法正确；
故选：C．
4．（3分）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过9A，那么用电器的可变电阻应控制在（ ）范围内．
A．R≥4Ω B．R≤4Ω C．R≥9Ω D．R≤9Ω
【分析】根据函数的图象即可得到结论．
【解答】解：由物理知识可知：I＝，
由图象可知点（9，4）在反比例函数的图象上，
当I≤9时，由R≥4，
故选：A．
5．（3分）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，下列条件中：
①∠1＝∠A，②＝，③∠B+∠2＝90°，④∠BAC：∠ABC：∠ACB＝3：4：5，⑤AC•BD＝AD•CD，⑥∠1+∠2＝∠A+∠B．
一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由题意根据直角三角形的判定及相似三角形的判定方法，对各选项一一分析可得出答案．
【解答】解：①∵∠A+∠2＝90°，∠1＝∠A，
∴∠1+∠2＝90°，
即△ABC为直角三角形，故①符合题意；
②∵CD2＝AD•DB，
∴，
∵∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴∠1＝∠A，
∵∠A+∠2＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
即∠ACB＝90°，故②符合题意；
③∵∠B+∠2＝90°，∠B+∠1＝90°，
∴∠1＝∠2，
即无法得到两角和为90°，故③不符合题意；
④∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°（三角形的内角和是180°），
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
∴△ABC不是直角三角形；故④不符合题意；
⑤由三角形的相似无法推出AC•BD＝AD•CD成立，所以△ABC不是直角三角形，故⑤不符合题意．
⑥∵∠1+∠2＝∠A+∠B，∠1+∠2+∠A+∠B＝180°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形；故⑥符合题意．
故一定能确定△ABC为直角三角形的条件有①②⑥．
故选：C．
6．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论：
①abc＞0；
②4a+2b+c＞0；
③一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝3，x2＝﹣1；
④2a+c＜0．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可．
【解答】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x＝1＞0，因此a、b异号，所以b＞0，抛物线与y轴交点在正半轴，因此c＞0，所以abc＜0，故①不正确；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故②正确；
抛物线与x轴交点（3，0），对称轴为x＝1．因此另一个交点坐标为（﹣1，0），即方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝3，x2＝﹣1，故③正确；
抛物线与x轴交点（﹣1，0），所以a﹣b+c＝0，又x＝﹣＝1，有2a+b＝0，所以3a+c＝0，而a＜0，因此2a+c＞0，故④不正确；
故选：B．
二．填空题（满分18分，每小题3分）
7．（3分）若＝＝＝2，且b+d+f＝4，则a+c+e＝ 8 ．
【分析】根据等比性质，可得答案．
【解答】解：＝＝＝2，
由等比性质，得，
a+c+e＝8．
故答案为：8．
8．（3分）如果任意选择一对有序整数（m，n），其中|m|≤1，|n|≤2，每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的，那么关于x的方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根的概率是 ．
【分析】首先确定m，n的值，推出有序整数对（m，n）共有：3×5＝15（种），由方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根，则需△＝n2﹣4m＝0，有（0，0），（1，2），（1﹣2）三种可能，由此可以求出方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根的概率．
【解答】解：∵|m|≤1，|n|≤2，
∴m＝0，±1，
n＝0，±1，±2，
∴有序整数（m，n）共有3×5＝15（种），
∵方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根，
则需：△＝n2﹣4m＝0，
有（0，0），（1，2），（1﹣2）三种可能，
∴关于x的方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根的概率是＝．
故答案为．
9．（3分）设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 1000 ．
【分析】由于m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n＝﹣1，并且m2+m﹣1001＝0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果
【解答】解：∵m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
并且m2+m﹣1001＝0，
∴m2+m＝1001，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝1001﹣1＝1000．
故答案为：1000．
10．（3分）由于新能源汽车越来越多，为了解决充电难的问题，现对一面积为12000m2的矩形停车场进行改造，将该矩形停车场的长减少20m，减少的这部分区域用于修建电动汽车充电桩，原停车场的剩余部分就变成了正方形，则原停车场的长是 120 m．
【分析】设出原来矩形的长，然后表示出原来矩形的宽，根据题意列出方程求解即可．
【解答】解：设原矩形的长为x米，则宽为（x﹣20）米，根据题意得：
x（x﹣20）＝12000，
解得：x＝120或x＝﹣100（舍去），
故答案为：120．
11．（3分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有井径5尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸．问井深几何？”意思是：如图，井径BE＝5尺，立木高AB＝5尺，BD＝4寸＝0.4尺，则井深x为 57.5 尺．
【分析】根据题意可知△ABD∽△ACF，根据相似三角形的性质可求AC，进一步得到井深．
【解答】解：∵BD∥CF，
∴△ABD∽△ACF，
∴AB：AC＝BD：CF，
即5：AC＝0.4：5，
解得AC＝62.5，
∴BC＝AC﹣AB＝62.5﹣5＝57.5尺．
故答案为：57.5．
12．（3分）如图，P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝2，PC＝2，则△ABC的边长为 2 ．
【分析】作BH⊥PC于H，如图，根据等边三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝60°，于是可把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD，如图，根据旋转的性质得CD＝AP＝4，BD＝BP＝2，∠PBD＝60°，则可判断△PBD为等边三角形，所以PD＝PB＝2，∠BPD＝60°，然后利用勾股定理的逆定理可证明△PCD为直角三角形，∠CPD＝90°，易得∠BPC＝150°，利用平角等于有∠BPH＝30°，再利用勾股定理求出BC即可．
【解答】解：作BH⊥PC于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∴把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD，如图，
∴CD＝AP＝4，BD＝BP＝2，∠PBD＝60°，
∴△PBD为等边三角形，
∴PD＝PB＝2，∠BPD＝60°，
在△PDC中，PC＝2，PD＝2，CD＝4，
∴PC2+PD2＝CD2，
∴△PCD为直角三角形，∠CPD＝90°，
∴∠BPC＝∠BPD+∠CPD＝150°，
∴∠BPH＝30°，
在Rt△PBH中，∠BPH＝30°，PB＝2，
∴BH＝PB＝，PH＝BH＝3，
∴CH＝PC+PH＝2+3＝5，
在Rt△BCH中，BC2＝BH2+CH2＝（）2+52＝28，
∴BC＝2，
故答案为：2
三．解答题
13．解方程：x2+2x＝1．
【分析】方程左右两边同时加上1，则左边是完全平方式，右边是常数，再利用直接开平方法即可求解．
【解答】解：∵x2+2x＝1，
∴x2+2x+1＝1+1，
∴（x+1）2＝2，
∴x+1＝，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
14．如图，矩形ABCD中，BC＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形A′B′C′D'．设旋转角为α，此时点B′恰好落在边AD上，连接B'B．
（1）当B'恰好是AD中点时，此时α＝ 60° ；
（2）若∠AB'B＝75°，求旋转角α及AB的长．
【分析】（1）由矩形的性质得出AD＝BC＝4，∠BCD＝∠D＝90°，当B'恰好是AD中点时，B'D＝AD＝2，得出B'D＝BC，证出∠B'CD＝30°，求出∠BCB'°＝60°即可；
（2）由平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠CB'B＝∠CBB'＝75°，由三角形内角和定理得出∠BCB'＝30°，即旋转角α为30°；作B'E⊥BC于E，由含30°角的直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，∠BCD＝∠D＝90°，
当B'恰好是AD中点时，B'D＝AD＝2，
∴B'D＝BC，
∴∠B'CD＝30°，
∴∠BCB'＝90°﹣30°＝60°，
即当B'恰好是AD中点时，此时α＝60°；
故答案为：60°；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CBB'＝∠AB'B＝75°，
由旋转的性质得：CB＝CB'，
∴∠CB'B＝∠CBB'＝75°，
∴∠BCB'＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
即旋转角α为30°；
作B'E⊥BC于E，如图所示：
则AB＝B'E＝CB'＝2．
15．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设两个实数根是x1和x2，且x1+x2﹣2x1x2＝2，则k的值为 ﹣1 ．
【分析】（1）根据一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，可得△＞0，从而可以求得k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系和x1+x2﹣2x1x2＝2，可以求得k的值．
【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4（k﹣1）＞0，
解得k＜2，
即k的取值范围是k＜2；
（2）∵一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根是x1和x2，
∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，
∵x1+x2﹣2x1x2＝2，
∴﹣2﹣2（k﹣1）＝2，
∴k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
16．（6分）请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）如图1，抛物线l与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，作出抛物线的对称轴EF；
（2）如图2，抛物线l1，l2交于点P且关于直线MN对称，两抛物线分别交x轴于点A，B和点C，D，作出直线MN．
【分析】（1）连接AC，BD交于点F，作直线AD，直线BC交于点E，作直线EF即可．
（2）作直线PA，PD交抛物线于H，G，作直线AH，直线DG交于点M，作直线PM即可，直线MN即为所求．
【解答】解：（1）如图1所示，直线EF即为所求．
（2）如图2所示，直线MN即为所求．
17．（6分）在一个不透明的盒子中，放入2个红球，1个黄球和1个白球．这些球除颜色外都相同．
（1）第一次摸出一个球后放回盒子中，搅匀后第二次再摸出一个球，请用画树状图法求出两次都摸到红球的概率；
（2）直接写出“一次同时摸出两个红球”的概率．
【分析】（1）画树状图，共有16个等可能的结果，两次都摸到红球的结果有4个，再由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12个等可能的结果，“一次同时摸出两个红球”的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有16个等可能的结果，两次都摸到红球的结果有4个，
∴两次都摸到红球的概率为＝；
（2）画树状图如下：
共有12个等可能的结果，“一次同时摸出两个红球”的结果有2个，
∴“一次同时摸出两个红球”的概率为＝．
18．（6分）网瘾低龄化问题已引起社会各界的高度关注．有关部门在全国范围内对12～35岁的网瘾人群进行简单随机抽样调查并得到如图，期中30～35岁的网瘾人数占样本人数的20%．
（1）请把图中缺失的数据、图形补充完整；
（2）若12～35岁网瘾人数约为4000人，请你根据图中数据估计网瘾人群中12～17岁的网瘾人数．
【分析】（1）先求出被调查的总人数，再根据四个年龄段的人数之和等于总人数求出12～17岁的人数，从而补全图形；
（2）先求出12～17岁人数所占百分比，再用总人数乘以所求百分比即可．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为480÷20%＝2400（人），
∴12～17岁的人数为2400﹣600﹣576﹣480＝744（人），
补全图形如下：
（2）744÷2400×100%＝31%，
4000×31%＝1240（人），
∴若12～35岁网瘾人数约为4000人，则根据图中数据估计网瘾人群中12～17岁的网瘾人数是1240．
四．解答题
19．（8分）某超市购进一批时令水果，成本为10元/千克，根据市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价m（元/千克）与时间x（天）之间的函数关系式为m＝x+20（1≤x≤30，x为整数），且其日销售量y（千克）与时间x（天）之间的函数关系如图所示：
（1）求每天销售这种水果的利润W（元）与x（天）之间的函数关系式；
（2）问哪一天销售这种水果的利润最大？最大日销售利润为多少？
【分析】（1）由题意设销售数量y＝kx+b（k≠0）用待定系数法求得y关于x的函数关系式，再根据利润W等于销售数量y千克乘以每千克水果的利润（m﹣10）元，可得答案；
（2）根据（1）中所得的W关于x的二次函数解析式，利用二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
【解答】解：（1）由题意设销售数量y＝kx+b（k≠0），
把（10，55），（26，39）代入函数解析式得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+65，
∴W＝y（m﹣10）
＝（﹣x+65）（x+20﹣10）
＝﹣x2+x+650（1≤x≤30，x为整数）．
∴每天销售这种水果的利润W（元）与x（天）之间的函数关系式为W＝﹣x2+x+650（1≤x≤30，x为整数）；
（2）∵W＝﹣x2+x+650，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝22.5，
∵a＝﹣＜0，1≤x≤30，x为整数，
∴当x＝22或x＝23时，W取得最大值，
最大值为：
（﹣22+65）（×22+10）
＝43×21
＝903（元）．
∴第22或23天销售这种水果的利润最大，最大日销售利润为903元．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点C（0，2），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，a）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）一次函数y＝x+b的图象与x轴交于B点，求△ABO的面积；
（3）设M是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，N是直线AB上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．
【分析】（1）将点C代入直线y＝x+b中求出b，进而得出直线AB的解析式，进而求出点A的坐标，再代入双曲线的表达式中，即可得出结论；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）设成点M，N坐标，分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点C（0，2）在直线y＝x+b上，
∴b＝2，
∴一次函数的表达式为y＝x+2；
∵点A（1，a）在直线y＝x+2上，
∴a＝3，
∴点A（1，3），
∵点A（1，3）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）在y＝x+2中，令y＝0，得x＝﹣2，令x＝0，得y＝2，
∴B（﹣2，0），C（0，2），
∴△ABO的面积＝S△AOC+S△BOC＝+＝1+2＝3；
（3）由（2）知，直线AB的表达式为y＝x+2，反比例函数的表达式为y＝，
设点M（m，），N（n，n+2），
若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，
则①以OC和MN为对角线时，
∴＝0，＝，
∴m＝，n＝﹣或m＝﹣（此时，点M不在第一象限，舍去），n＝，
∴N（﹣，﹣+2），
②以CN和OM为对角线时，
∴＝，＝，
∴m＝n＝﹣2+或m＝n＝﹣2﹣（此时，点M不在第一象限，舍去），
∴N（﹣2+，），
③以CM和ON为对角线时，
∴，＝，
∴m＝n＝或m＝n＝﹣（此时，点M不在第一象限，舍去），
∴N（，2+），
即满足条件的点N的坐标为（﹣，﹣+2）或（﹣2+，）或（，2+）．
21．（8分）在矩形ABCD中，点E是对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE交AB于点F．
（1）如图1，当DE＝DA时，求证：AF＝EF；
（2）如图2，点E在运动过程中的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图3，若点F为AB的中点，连接DF交AC于点G，将△GEF沿EF翻折得到△HEF，连接DH交EF于点K，当AD＝2，CD＝2时，求KH的长．
【分析】（1）连接DF，证明Rt△DAF≌Rt△DEF（HL），由全等三角形的性质得出AF＝EF；
（2）如图，过点E作EM⊥AD于点M，过点E作EN⊥AB于点N，证明△EAM∽△CAD，得出比例线段①，证明△DME∽△FNE，得出比例线段，由①②可得，则可得出结论；
（3）连接GH交EF于点I，由勾股定理求出DF的长，证明△AGF∽△CGD，由相似三角形的性质得出，则，由折叠的性质可知GI＝IH，GH⊥EF，证明△GFI∽△DFE，由相似三角形的性质得出，证明△DEK∽△HIK，由相似三角形的性质得出＝，由勾股定理可求出答案．
【解答】（1）证明：如图，连接DF，在矩形ABCD中，∠DAF＝90°，
又∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∵AD＝DE，DF＝DF，
∴Rt△DAF≌Rt△DEF（HL），
∴AF＝EF；
（2）解：的值不变；
如图，过点E作EM⊥AD于点M，过点E作EN⊥AB于点N，
∴四边形ANEM是矩形，
∴EN＝AM，
∵∠EAM＝∠CAD，∠EMA＝∠CDA．
∴△EAM∽△CAD，
∴，即，
∵∠DEF＝∠MEN＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
又∵∠DME＝∠ENF＝90°，
∴△DME∽△FNE，
∴，
由①②可得，
∵AD与DC的长度不变，
∴的长度不变；
（3）连接GH交EF于点I，
∵点F是AB的中点，
∴AF＝，
在Rt△ADF中，DF＝＝＝，
由（2）知＝，
∴DE＝EF，
在Rt△DEF中，EF＝，DE＝，
又∵AB∥DC，
∴△AGF∽△CGD，
∴，
∴，
由折叠的性质可知GI＝IH，GH⊥EF，
又∵DE⊥EF，
∴GH∥DE，
∴△GFI∽△DFE，
∴，
∴EI＝＝，GI＝IH＝，
又∵GH∥DE，
∴△DEK∽△HIK，
∴＝，
∴KI＝＝，
∴HK＝＝．
五．解答题
22．（9分）如图，点O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B和P（m，n）是函数y＝（k＞0，x＞0）在第一象限内图象上的点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E，F，正方形OABC的面积为9，矩形OAGF的面积为S．
（1）求点B的坐标和k值；
（2）当S＝时，求点P的坐标；
（3）写出S与m之间的函数表达式．
【分析】（1）根据反比例函数中正方形的面积与反比例系数的关系，即可求得反比例函数解析式，进而求得B的坐标；
（2）根据矩形的面积公式以及反比例函数系数k的几何意义求得即可；
（3）根据矩形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）∵正方形OABC的面积为9，
∴正方形OABC的边长为3，即OA＝3，AB＝3，
∴B点坐标为（3，3）．
又∵点B是函数y＝的图象上的一点，
∴k＝3×3＝9；
（2）∵P（m，n），则FG＝3，AG＝n，
∴S＝3n＝；
∴n＝，
∵P是函数y＝图象上的点，
∴m＝9，
∴m＝6，
∴P（6，）；
（3）S＝3n．
∵P的纵坐标是n＝，
∴S＝3×＝，
即S＝（m≥3）．
23．（9分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O为对角线AC的中点，动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，点P运动速度为每秒2个单位长度，点Q运动速度为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止运动，连接PQ，设点P运动时间为t（t＞0）秒．
（1）cos∠BAC＝ ．
（2）当PQ⊥AC时，求t的值．
（3）求△QOP的面积S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围．
（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC的某个顶点时，请直接写出t的值．
【分析】（1）先由勾股定理求出AC＝10，再由锐角三角函数定义求解即可；
（2）由题意得：BQ＝t，AP＝2t，则AQ＝6﹣t，由锐角三角函数定义得cos∠QAP＝＝，即＝，解得t＝即可；
（3）过Q作QE⊥AC于E，先证△AEQ∽△ABC，求出QE＝（6﹣t），再分两种情况，由三角形面积公式求解即可；
（4）分三种情况：①当线段PQ的垂直平分线经过点C时；②当线段PQ的垂直平分线经过点B时；③当线段PQ的垂直平分线经过点A时；由线段垂直平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC＝＝＝10，
∴cos∠BAC＝＝＝，
故答案为：；
（2）由题意得：BQ＝t，AP＝2t，则AQ＝6﹣t，
当PQ⊥AC时，∠APQ＝90°，
∴cos∠QAP＝＝，
即＝，
解得：t＝，
即当PQ⊥AC时，t的值为；
（3）过Q作QE⊥AC于E，如图1所示：
则∠AEQ＝90°＝∠ABC，
又∵∠QAE＝∠CAB，
∴△AEQ∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得：QE＝（6﹣t），
∵点O为对角线AC的中点，
∴AO＝AC＝5，
若P与O重合时，则AP＝AO＝5，
∴2t＝5，
∴t＝，
若P与C重合时，则AP＝AC＝10，
∴2t＝10，
∴t＝5，
当点P在线段AO上时，OP＝5﹣2t，
则△QOP的面积S＝OP×QE＝×（5﹣2t）×（6﹣t）＝t2﹣t+12，
即S＝t2﹣t+12（0≤t＜）；
当点P在线段CO上时，OP＝2t﹣5，
则△QOP的面积S＝OP×QE＝×（2t﹣5）×（6﹣t）＝﹣t2+t﹣12，
即S＝﹣t2+t﹣12（＜t≤5）；
（4）分三种情况：
①当线段PQ的垂直平分线经过点C时，连接QC，如图2所示：
PC＝QC＝10﹣2t，
在Rt△QBC中，由勾股定理得：QC2＝BC2+BQ2，
即（10﹣2t）2＝82+t2，
解得：t＝或t＝（舍去），
∴t＝；
②当线段PQ的垂直平分线经过点B时，BQ＝BP＝t，
过点P作PG⊥BC于G，连接BP，如图3所示：
则PG∥AB，
∴△PCG∽△ACB，
∴＝＝，
即＝＝，
解得：PG＝（10﹣2t）＝6﹣t，CG＝（10﹣2t），
∴BG＝8﹣（10﹣2t）＝t，
在Rt△BPG中，由勾股定理得：BP2＝BG2+PG2，
即t2＝（t）2+（6﹣t）2，此方程无解；
③当线段PQ的垂直平分线经过点A时，如图4所示：
则AQ＝AP，
即6﹣t＝2t，
解得：t＝2；
综上所述，当线段PQ的垂直平分线经过△ABC的某个顶点时，t的值为或2．
六．解答题
24．（12分）如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，A，C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴，x轴的交点，点B在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）动点P在线段AD上从点A至点D运动，同时动点Q在线段AC上从点C到点A运动，两点都是以每秒1个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．
①当△APQ是直角三角形时，求P的坐标；
②四边形PDCQ的面积是否有最小值？若有，求出面积的最小值和点P的坐标；若没有，请说明理由．
【分析】（1）求出A、C坐标，再由△ABC是以BC为底边的等腰三角形和四边形ABCD能构成平行四边形求出B、D坐标即可求二次函数的表达式；
（2）①△APQ是等腰直角三角形，分两种情况讨论；
②用t表示出四边形PDCQ的面积，再求最小值即可．
【解答】解：（1）∵A，C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴，x轴的交点，
在一次函数y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝3，
∴A（0，3），C（3，0），
∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，
∴OC＝OB＝3，B（﹣3，0），
∵四边形ABCD能构成平行四边形，
∴AD＝BC＝6，D（6，3），
∵点B、D在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，
∴，解得b＝﹣，c＝﹣17，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣x﹣17；
（2）①设运动时间是t秒，则AQ＝AC﹣CQ＝3﹣t，AP＝t，
∵A（0，3），C（3，0），∠AOC＝90°，
∴∠ACO＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CAD＝45°，
若△APQ是直角三角形，则△APQ是等腰直角三角形，
分两种情况：
（一）∠APC＝90°，如答图1：
∴AQ＝AP，
∴3﹣t＝t，解得t＝6﹣3，
∴P（6﹣3，3），
（二）∠AQP＝90°，如答图2：
∴AP＝AQ，
∴t＝（3﹣t），解得t＝6﹣6，
∴P（6﹣6，3），
综上所述，当△APQ是直角三角形时，P的坐标是（6﹣3，3）或（6﹣6，3），
（3）过Q作QM⊥AD于M，如答图3：
∵A（0，3），B（﹣3，0），C（3，0），ABCD是平行四边形，
∴S△ACD＝S△ABC＝×6×3＝9，
而CM＝AC•sin45°＝（3﹣t）•＝3﹣t，
∴S△APQ＝×t×（3﹣t）＝﹣t2+t，
∴S四边形PDCQ＝S△ACD﹣S△APQ＝9﹣（﹣t2+t）＝t2﹣t+9，
当t＝＝时，S四边形PDCQ最小为，
此时P（，3）．
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