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2017年江苏省南通市中考数学试题(解析版)
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这是一份2017年江苏省南通市中考数学试题(解析版)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017年江苏省南通市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．在0、2、﹣1、﹣2这四个数中，最小的数为（ ）
A．0 B．2 C．﹣1 D．﹣2
2．近两年，中国倡导的“一带一路”为沿线国家创造了约180000个就业岗位，将180000用科学记数法表示为（ ）
A．1.8×105 B．1.8×104 C．0.18×106 D．18×104
3．下列计算，正确的是（ ）
A．a2﹣a=a B．a2•a3=a6 C．a9÷a3=a3 D．（a3）2=a6
4．如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）
6．如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为（ ）
A．4π B．6π C．12π D．16π
7．一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内即进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（L）与时间x（min）之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为（ ）
A．5L B．3.75L C．2.5L D．1.25L
9．已知∠AOB，作图．
步骤1：在OB上任取一点M，以点M为圆心，MO长为半径画半圆，分别交OA、OB于点P、Q；
步骤2：过点M作PQ的垂线交于点C；
步骤3：画射线OC．
则下列判断：① =；②MC∥OA；③OP=PQ；④OC平分∠AOB，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为（ ）
A．5 B．10 C．10 D．15
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
12．如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE= ．
13．四边形ABCD内接于圆，若∠A=110°，则∠C= 度．
14．若关于x的方程x2﹣6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为 ．
15．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD= 度．
16．甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做4个，甲做60个所用的时间比乙做40个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的个数为 ．
17．已知x=m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x=﹣m时，该多项式的值为 ．
18．如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（5，12），且与边BC交于点D．若AB=BD，则点D的坐标为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分）
19．（1）计算：|﹣4|﹣（﹣2）2+﹣（）0
（2）解不等式组．
20．先化简，再求值：（m+2﹣）•，其中m=﹣．
21．某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了50名学生，并统计他们平均每天的课外阅读时间t（单位：min），然后利用所得数据绘制成如下不完整的统计表．
课外阅读时间t
频数
百分比
10≤t＜30
4
8%
30≤t＜50
8
16%
50≤t＜70
a
40%
70≤t＜90
16
b
90≤t＜110
2
4%
合计
50
100%
请根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）a= ，b= ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）若全校有900名学生，估计该校有多少学生平均每天的课外阅读时间不少于50min？
22．不透明袋子中装有2个红球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出1个球不放回，再随机摸出1个球，求两次均摸到红球的概率．
23．热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100m，求这栋楼的高度（结果保留根号）．
24．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．
25．某学习小组在研究函数y=x3﹣2x的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分．
x
…
﹣4
﹣3.5
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
3.5
4
…
y
…
﹣
﹣
0
﹣
﹣
﹣
…
（1）请补全函数图象；
（2）方程x3﹣2x=﹣2实数根的个数为 ；
（3）观察图象，写出该函数的两条性质．
26．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．
（1）求证：四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长．
27．我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”．
（1）等边三角形“內似线”的条数为 ；
（2）如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是△ABC的“內似线”；
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“內似线”，求EF的长．
28．已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．
（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；
（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；
（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．
2017年江苏省南通市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．在0、2、﹣1、﹣2这四个数中，最小的数为（ ）
A．0 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【考点】18：有理数大小比较．
【分析】根据正数大于0，0大于负数，可得答案．
【解答】解：∵在0、2、﹣1、﹣2这四个数中只有﹣2＜﹣1＜0，0＜2
∴在0、2、﹣1、﹣2这四个数中，最小的数是﹣2．
故选：D．
2．近两年，中国倡导的“一带一路”为沿线国家创造了约180000个就业岗位，将180000用科学记数法表示为（ ）
A．1.8×105 B．1.8×104 C．0.18×106 D．18×104
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将180000用科学记数法表示为1.8×105，
故选：A．
3．下列计算，正确的是（ ）
A．a2﹣a=a B．a2•a3=a6 C．a9÷a3=a3 D．（a3）2=a6
【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方进行计算即可．
【解答】解：A、a2﹣a，不能合并，故A错误；
B、a2•a3=a5，故B错误；
C、a9÷a3=a6，故C错误；
D、（a3）2=a6，故D正确；
故选D．
4．如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
【解答】解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形．
故选A．
5．在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）
【考点】P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【解答】解：点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2），
故选：A．
6．如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为（ ）
A．4π B．6π C．12π D．16π
【考点】MP：圆锥的计算．
【分析】根据圆锥的底面半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．
【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×6=12π，
故选C．
7．一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【考点】WA：统计量的选择．
【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．
【解答】解：A、原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数扔为2，故A与要求不符；
B、原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数扔为2，故B与要求不符；
C、原来数据的众数是2，添加数字2后众数扔为2，故C与要求不符；
D、原来数据的方差==，
添加数字2后的方差==，故方差发生了变化．
故选：D．
8．一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内即进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（L）与时间x（min）之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为（ ）
A．5L B．3.75L C．2.5L D．1.25L
【考点】E6：函数的图象．
【分析】观察函数图象找出数据，根据“每分钟进水量=总进水量÷放水时间”算出每分钟的进水量，再根据“每分钟的出水量=每分钟的进水量﹣每分钟增加的水量”即可算出结论．
【解答】解：每分钟的进水量为：20÷4=5（升），
每分钟的出水量为：5﹣（30﹣20）÷（12﹣4）=3.75（升）．
故选：B．
9．已知∠AOB，作图．
步骤1：在OB上任取一点M，以点M为圆心，MO长为半径画半圆，分别交OA、OB于点P、Q；
步骤2：过点M作PQ的垂线交于点C；
步骤3：画射线OC．
则下列判断：① =；②MC∥OA；③OP=PQ；④OC平分∠AOB，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】N3：作图—复杂作图；M5：圆周角定理．
【分析】由OQ为直径可得出OA⊥PQ，结合MC⊥PQ可得出OA∥MC，结论②正确；根据平行线的性质可得出∠PAO=∠CMQ，结合圆周角定理可得出∠COQ=∠POQ=∠BOQ，进而可得出=，OC平分∠AOB，结论①④正确；由∠AOB的度数未知，不能得出OP=PQ，即结论③错误．综上即可得出结论．
【解答】解：∵OQ为直径，
∴∠OPQ=90°，OA⊥PQ．
∵MC⊥PQ，
∴OA∥MC，结论②正确；
①∵OA∥MC，
∴∠PAO=∠CMQ．
∵∠CMQ=2∠COQ，
∴∠COQ=∠POQ=∠BOQ，
∴=，OC平分∠AOB，结论①④正确；
∵∠AOB的度数未知，∠POQ和∠PQO互余，
∴∠POQ不一定等于∠PQO，
∴OP不一定等于PQ，结论③错误．
综上所述：正确的结论有①②④．
故选C．
10．如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为（ ）
A．5 B．10 C．10 D．15
【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；LB：矩形的性质．
【分析】作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，由对称结合矩形的性质可知：E′G′=AB=10、GG′=AD=5，利用勾股定理即可求出E′G的长度，进而可得出四边形EFGH周长的最小值．
【解答】解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示．
∵AE=CG，BE=BE′，
∴E′G′=AB=10，
∵GG′=AD=5，
∴E′G==5，
∴C四边形EFGH=2E′G=10．
故选B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x≥2 ．
【考点】72：二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
12．如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE= 4 ．
【考点】KX：三角形中位线定理．
【分析】易得DE是△ABC的中位线，那么DE应等于BC长的一半．
【解答】解：根据三角形的中位线定理，得：DE=BC=4．
故答案为4．
13．四边形ABCD内接于圆，若∠A=110°，则∠C= 70 度．
【考点】M6：圆内接四边形的性质．
【分析】根据圆内接四边形的性质计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠A=110°，
∴∠C=70°，
故答案为：70．
14．若关于x的方程x2﹣6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为 9 ．
【考点】AA：根的判别式．
【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣6）2﹣4c=0，然后解关于c的一次方程即可．
【解答】解：根据题意得△=（﹣6）2﹣4c=0，
解得c=9．
故答案为9．
15．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD= 30 度．
【考点】R2：旋转的性质．
【分析】根据旋转的性质可得∠BOD，再根据∠AOD=∠BOD﹣∠AOB计算即可得解．
【解答】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，
∴∠BOD=45°，
∴∠AOD=∠BOD﹣∠AOB=45°﹣15°=30°．
故答案为：30．
16．甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做4个，甲做60个所用的时间比乙做40个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的个数为 4 ．
【考点】B7：分式方程的应用．
【分析】设乙每小时做x个，则甲每小时做（x+4）个，甲做60个所用的时间为，乙做40个所用的时间为；根据甲做60个所用的时间比乙做40个所用的时间相等，列方程求解
【解答】解：设乙每小时做x个，则甲每小时做（x+4）个，甲做60个所用的时间为，乙做40个所用的时间为，
列方程为： =，
解得：x=4，
经检验：x=4是原分式方程的解，且符合题意，
则x+4=8．
答：乙每小时做4个．
故答案是：4．
17．已知x=m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x=﹣m时，该多项式的值为 ﹣1﹣4m ．
【考点】33：代数式求值．
【分析】利用整体代入的思想即可解决问题．
【解答】解：∵x=m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，
∴m2+2m+n2=﹣1，
∴m2+n2=﹣1﹣2m
∴x=﹣m时，多项式x2+2x+n2的值为m2﹣2m+n2=﹣1﹣4m，
故答案为﹣1﹣4m．
18．如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（5，12），且与边BC交于点D．若AB=BD，则点D的坐标为 （8，） ．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；L5：平行四边形的性质．
【分析】先根据点A（5，12），求得反比例函数的解析式为y=，可设D（m，），BC的解析式为y=x+b，把D（m，）代入，可得b=﹣m，进而得到BC的解析式为y=x+﹣m，据此可得OC=m﹣=AB，过D作DE⊥AB于E，过A作AF⊥OC于F，根据△DEB∽△AFO，可得DB=13﹣，最后根据AB=BD，得到方程m﹣=13﹣，进而求得D的坐标．
【解答】解：∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（5，12），
∴k=12×5=60，
∴反比例函数的解析式为y=，
设D（m，），
由题可得OA的解析式为y=x，AO∥BC，
∴可设BC的解析式为y=x+b，
把D（m，）代入，可得m+b=，
∴b=﹣m，
∴BC的解析式为y=x+﹣m，
令y=0，则x=m﹣，即OC=m﹣，
∴平行四边形ABCO中，AB=m﹣，
如图所示，过D作DE⊥AB于E，过A作AF⊥OC于F，则△DEB∽△AFO，
∴=，而AF=12，DE=12﹣，OA==13，
∴DB=13﹣，
∵AB=DB，
∴m﹣=13﹣，
解得m1=5，m2=8，
又∵D在A的右侧，即m＞5，
∴m=8，
∴D的坐标为（8，）．
故答案为：（8，）．
三、解答题（本大题共10小题，共96分）
19．（1）计算：|﹣4|﹣（﹣2）2+﹣（）0
（2）解不等式组．
【考点】CB：解一元一次不等式组；2C：实数的运算；6E：零指数幂．
【分析】（1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用乘方的意义计算，第三项化为最简二次根式，最后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果．
（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：（1）原式=4﹣4+3﹣1=2；
（2）
解不等式①得，x≥2，
解不等式②得，x＜4，
所以不等式组的解集是2≤x＜4．
20．先化简，再求值：（m+2﹣）•，其中m=﹣．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】此题的运算顺序：先括号里，经过通分，再约分化为最简，最后代值计算．
【解答】解：（m+2﹣）•，
=•，
=﹣•，
=﹣2（m+3）．
把m=﹣代入，得
原式=﹣2×（﹣+3）=﹣5．
21．某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了50名学生，并统计他们平均每天的课外阅读时间t（单位：min），然后利用所得数据绘制成如下不完整的统计表．
课外阅读时间t
频数
百分比
10≤t＜30
4
8%
30≤t＜50
8
16%
50≤t＜70
a
40%
70≤t＜90
16
b
90≤t＜110
2
4%
合计
50
100%
请根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）a= 20 ，b= 32% ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）若全校有900名学生，估计该校有多少学生平均每天的课外阅读时间不少于50min？
【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；W2：加权平均数．
【分析】（1）利用百分比=，计算即可；
（2）根据b的值计算即可；
（3）用一般估计总体的思想思考问题即可；
【解答】解：（1）∵总人数=50人，
∴a=50×40%=20，b=×100%=32%，
故答案为20，32%．
（2）频数分布直方图，如图所示．
（3）900×=648，
答：估计该校有648名学生平均每天的课外阅读时间不少于50min．
22．不透明袋子中装有2个红球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出1个球不放回，再随机摸出1个球，求两次均摸到红球的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】利用树状图得出所有符合题意的情况，进而理概率公式求出即可．
【解答】解：如图所示：
，
所有的可能有12种，符合题意的有2种，故两次均摸到红球的概率为： =．
23．热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100m，求这栋楼的高度（结果保留根号）．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】根据正切的概念分别求出BD、DC，计算即可．
【解答】解：在Rt△ADB中，∠BAD=45°，
∴BD=AD=100m，
在Rt△ADC中，CD=AD×tan∠DAC=100m
∴BC=m，
答：这栋楼的高度为m．
24．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．
【考点】MC：切线的性质；KQ：勾股定理．
【分析】连接OD，首先证明四边形OECD是矩形，从而得到BE的长，然后利用垂径定理求得BF的长即可．
【解答】解：连接OD，作OE⊥BF于点E．
∴BE=BF，
∵AC是圆的切线，
∴OD⊥AC，
∴∠ODC=∠C=∠OFC=90°，
∴四边形ODCF是矩形，
∵OD=OB=EC=2，BC=3，
∴BE=BC﹣EC=BC﹣OD=3﹣2=1，
∴BF=2BE=2．
25．某学习小组在研究函数y=x3﹣2x的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分．
x
…
﹣4
﹣3.5
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
3.5
4
…
y
…
﹣
﹣
0
﹣
﹣
﹣
…
（1）请补全函数图象；
（2）方程x3﹣2x=﹣2实数根的个数为 3 ；
（3）观察图象，写出该函数的两条性质．
【考点】H3：二次函数的性质；H2：二次函数的图象；HB：图象法求一元二次方程的近似根．
【分析】（1）用光滑的曲线连接即可得出结论；
（2）根据函数y=x3﹣2x和直线y=﹣2的交点的个数即可得出结论；
（3）根据函数图象即可得出结论．
【解答】解：（1）补全函数图象如图所示，
（2）如图1，
作出直线y=﹣2的图象，
由图象知，函数y=x3﹣2x的图象和直线y=﹣2有三个交点，
∴方程x3﹣2x=﹣2实数根的个数为3，
故答案为3；
（3）由图象知，
1、此函数在实数范围内既没有最大值，也没有最小值，
2、此函数在x＜﹣2和x＞2，y随x的增大而增大，
3、此函数图象过原点，
4、此函数图象关于原点对称．
26．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．
（1）求证：四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长．
【考点】LB：矩形的性质；KG：线段垂直平分线的性质；LA：菱形的判定与性质．
【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质证明QB=QE，由ASA证明△BOQ≌△EOP，得出PE=QB，证出四边形ABGE是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；
（2）根据三角形中位线的性质可得AE+BE=2OF+2OB=18，设AE=x，则BE=18﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得62+x2=（18﹣x）2，BE=10，得到OB=BE=5，设PE=y，则AP=8﹣y，BP=PE=y，在Rt△ABP中，根据勾股定理可得62+（8﹣y）2=y2，解得y=，在Rt△BOP中，根据勾股定理可得PO==，由PQ=2PO即可求解．
【解答】（1）证明：∵PQ垂直平分BE，
∴QB=QE，OB=OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PEO=∠QBO，
在△BOQ与△EOP中，
，
∴△BOQ≌△EOP（ASA），
∴PE=QB，
又∵AD∥BC，
∴四边形BPEQ是平行四边形，
又∵QB=QE，
∴四边形BPEQ是菱形；
（2）解：∵O，F分别为PQ，AB的中点，
∴AE+BE=2OF+2OB=18，
设AE=x，则BE=18﹣x，
在Rt△ABE中，62+x2=（18﹣x）2，
解得x=8，
BE=18﹣x=10，
∴OB=BE=5，
设PE=y，则AP=8﹣y，BP=PE=y，
在Rt△ABP中，62+（8﹣y）2=y2，解得y=，
在Rt△BOP中，PO==，
∴PQ=2PO=．
27．我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”．
（1）等边三角形“內似线”的条数为 3 ；
（2）如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是△ABC的“內似线”；[来源:学科网]
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“內似线”，求EF的长．
【考点】SO：相似形综合题．
【分析】（1）过等边三角形的内心分别作三边的平行线，即可得出答案；
（2）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=∠BDC，证出△BCD∽△ABC即可；
（3）分两种情况：①当==时，EF∥AB，由勾股定理求出AB==5，作DN⊥BC于N，则DN∥AC，DN是Rt△ABC的内切圆半径，求出DN=（AC+BC﹣AB）=1，由几啊平分线定理得出=，求出CE=，证明△CEF∽△CAB，得出对应边成比例求出EF=；
②当==时，同理得：EF=即可．
【解答】（1）解：等边三角形“內似线”的条数为3条；理由如下：
过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图1所示：
则△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，
∴MN、EF、GH是等边三角形ABC的內似线”；
故答案为：3；
（2）证明：∵AB=AC，BD=BC，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，
∴△BCD∽△ABC，
∴BD是△ABC的“內似线”；
（3）解：设D是△ABC的内心，连接CD，
则CD平分∠ACB，
∵EF是△ABC的“內似线”，
∴△CEF与△ABC相似；
分两种情况：①当==时，EF∥AB，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
作DN⊥BC于N，如图2所示：
则DN∥AC，DN是Rt△ABC的内切圆半径，
∴DN=（AC+BC﹣AB）=1，
∵CD平分∠ACB，
∴=，
∵DN∥AC，
∴=，即，
∴CE=，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，即，
解得：EF=；
②当==时，同理得：EF=；
综上所述，EF的长为．
28．已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．
（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；
（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；
（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）如图1，由条件可知△AOB为等边三角形，则可求得OA的长，在Rt△AOD中可求得AD和OD的长，可求得A点坐标，代入抛物线解析式可得a的值；
（2）如图2，作辅助线，构建平行线和相似三角形，根据CF∥BG，由A的横坐标为﹣4，得B的横坐标为1，所以A（﹣4，16a），B（1，a），证明△ADO∽△OEB，则，得a的值及B的坐标；
（3）如图3，设AC=nBC由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B（m，am2），则A（﹣mn，am2n2），分别根据两三角形相似计算DE和CO的长即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，∵抛物线y=ax2的对称轴是y轴，且AB∥x轴，
∴A与B是对称点，O是抛物线的顶点，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB=2，AB⊥OC，
∴AC=BC=1，∠BOC=30°，
∴OC=，
∴A（﹣1，），
把A（﹣1，）代入抛物线y=ax2（a＞0）中得：a=；
（2）如图2，过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y轴于F，
∵CF∥BG，
∴，
∵AC=4BC，
∴=4，
∴AF=4FG，
∵A的横坐标为﹣4，
∴B的横坐标为1，
∴A（﹣4，16a），B（1，a），
∵∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠BOE=90°，
∵∠AOD+∠DAO=90°，
∴∠BOE=∠DAO，
∵∠ADO=∠OEB=90°，
∴△ADO∽△OEB，
∴，
∴，
∴16a2=4，
a=±，
∵a＞0，
∴a=；
∴B（1，）；
（3）如图3，设AC=nBC，
由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，
则设B（m，am2），则A（﹣mn，am2n2），
∴AD=am2n2，
过B作BF⊥x轴于F，
∴DE∥BF，
∴△BOF∽△EOD，
∴==，
∴，
∴=，DE=am2n，
∴=，
∵OC∥AE，
∴△BCO∽△BAE，
∴，
∴=，
∴CO==am2n，
∴DE=CO．
2017年江苏省南通市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．在0、2、﹣1、﹣2这四个数中，最小的数为（ ）
A．0 B．2 C．﹣1 D．﹣2
2．近两年，中国倡导的“一带一路”为沿线国家创造了约180000个就业岗位，将180000用科学记数法表示为（ ）
A．1.8×105 B．1.8×104 C．0.18×106 D．18×104
3．下列计算，正确的是（ ）
A．a2﹣a=a B．a2•a3=a6 C．a9÷a3=a3 D．（a3）2=a6
4．如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）
6．如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为（ ）
A．4π B．6π C．12π D．16π
7．一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内即进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（L）与时间x（min）之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为（ ）
A．5L B．3.75L C．2.5L D．1.25L
9．已知∠AOB，作图．
步骤1：在OB上任取一点M，以点M为圆心，MO长为半径画半圆，分别交OA、OB于点P、Q；
步骤2：过点M作PQ的垂线交于点C；
步骤3：画射线OC．
则下列判断：① =；②MC∥OA；③OP=PQ；④OC平分∠AOB，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为（ ）
A．5 B．10 C．10 D．15
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
12．如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE= ．
13．四边形ABCD内接于圆，若∠A=110°，则∠C= 度．
14．若关于x的方程x2﹣6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为 ．
15．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD= 度．
16．甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做4个，甲做60个所用的时间比乙做40个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的个数为 ．
17．已知x=m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x=﹣m时，该多项式的值为 ．
18．如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（5，12），且与边BC交于点D．若AB=BD，则点D的坐标为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分）
19．（1）计算：|﹣4|﹣（﹣2）2+﹣（）0
（2）解不等式组．
20．先化简，再求值：（m+2﹣）•，其中m=﹣．
21．某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了50名学生，并统计他们平均每天的课外阅读时间t（单位：min），然后利用所得数据绘制成如下不完整的统计表．
课外阅读时间t
频数
百分比
10≤t＜30
4
8%
30≤t＜50
8
16%
50≤t＜70
a
40%
70≤t＜90
16
b
90≤t＜110
2
4%
合计
50
100%
请根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）a= ，b= ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）若全校有900名学生，估计该校有多少学生平均每天的课外阅读时间不少于50min？
22．不透明袋子中装有2个红球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出1个球不放回，再随机摸出1个球，求两次均摸到红球的概率．
23．热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100m，求这栋楼的高度（结果保留根号）．
24．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．
25．某学习小组在研究函数y=x3﹣2x的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分．
x
…
﹣4
﹣3.5
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
3.5
4
…
y
…
﹣
﹣
0
﹣
﹣
﹣
…
（1）请补全函数图象；
（2）方程x3﹣2x=﹣2实数根的个数为 ；
（3）观察图象，写出该函数的两条性质．
26．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．
（1）求证：四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长．
27．我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”．
（1）等边三角形“內似线”的条数为 ；
（2）如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是△ABC的“內似线”；
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“內似线”，求EF的长．
28．已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．
（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；
（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；
（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．
2017年江苏省南通市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．在0、2、﹣1、﹣2这四个数中，最小的数为（ ）
A．0 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【考点】18：有理数大小比较．
【分析】根据正数大于0，0大于负数，可得答案．
【解答】解：∵在0、2、﹣1、﹣2这四个数中只有﹣2＜﹣1＜0，0＜2
∴在0、2、﹣1、﹣2这四个数中，最小的数是﹣2．
故选：D．
2．近两年，中国倡导的“一带一路”为沿线国家创造了约180000个就业岗位，将180000用科学记数法表示为（ ）
A．1.8×105 B．1.8×104 C．0.18×106 D．18×104
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将180000用科学记数法表示为1.8×105，
故选：A．
3．下列计算，正确的是（ ）
A．a2﹣a=a B．a2•a3=a6 C．a9÷a3=a3 D．（a3）2=a6
【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方进行计算即可．
【解答】解：A、a2﹣a，不能合并，故A错误；
B、a2•a3=a5，故B错误；
C、a9÷a3=a6，故C错误；
D、（a3）2=a6，故D正确；
故选D．
4．如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
【解答】解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形．
故选A．
5．在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）
【考点】P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【解答】解：点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2），
故选：A．
6．如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为（ ）
A．4π B．6π C．12π D．16π
【考点】MP：圆锥的计算．
【分析】根据圆锥的底面半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．
【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×6=12π，
故选C．
7．一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【考点】WA：统计量的选择．
【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．
【解答】解：A、原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数扔为2，故A与要求不符；
B、原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数扔为2，故B与要求不符；
C、原来数据的众数是2，添加数字2后众数扔为2，故C与要求不符；
D、原来数据的方差==，
添加数字2后的方差==，故方差发生了变化．
故选：D．
8．一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内即进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（L）与时间x（min）之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为（ ）
A．5L B．3.75L C．2.5L D．1.25L
【考点】E6：函数的图象．
【分析】观察函数图象找出数据，根据“每分钟进水量=总进水量÷放水时间”算出每分钟的进水量，再根据“每分钟的出水量=每分钟的进水量﹣每分钟增加的水量”即可算出结论．
【解答】解：每分钟的进水量为：20÷4=5（升），
每分钟的出水量为：5﹣（30﹣20）÷（12﹣4）=3.75（升）．
故选：B．
9．已知∠AOB，作图．
步骤1：在OB上任取一点M，以点M为圆心，MO长为半径画半圆，分别交OA、OB于点P、Q；
步骤2：过点M作PQ的垂线交于点C；
步骤3：画射线OC．
则下列判断：① =；②MC∥OA；③OP=PQ；④OC平分∠AOB，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】N3：作图—复杂作图；M5：圆周角定理．
【分析】由OQ为直径可得出OA⊥PQ，结合MC⊥PQ可得出OA∥MC，结论②正确；根据平行线的性质可得出∠PAO=∠CMQ，结合圆周角定理可得出∠COQ=∠POQ=∠BOQ，进而可得出=，OC平分∠AOB，结论①④正确；由∠AOB的度数未知，不能得出OP=PQ，即结论③错误．综上即可得出结论．
【解答】解：∵OQ为直径，
∴∠OPQ=90°，OA⊥PQ．
∵MC⊥PQ，
∴OA∥MC，结论②正确；
①∵OA∥MC，
∴∠PAO=∠CMQ．
∵∠CMQ=2∠COQ，
∴∠COQ=∠POQ=∠BOQ，
∴=，OC平分∠AOB，结论①④正确；
∵∠AOB的度数未知，∠POQ和∠PQO互余，
∴∠POQ不一定等于∠PQO，
∴OP不一定等于PQ，结论③错误．
综上所述：正确的结论有①②④．
故选C．
10．如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为（ ）
A．5 B．10 C．10 D．15
【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；LB：矩形的性质．
【分析】作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，由对称结合矩形的性质可知：E′G′=AB=10、GG′=AD=5，利用勾股定理即可求出E′G的长度，进而可得出四边形EFGH周长的最小值．
【解答】解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示．
∵AE=CG，BE=BE′，
∴E′G′=AB=10，
∵GG′=AD=5，
∴E′G==5，
∴C四边形EFGH=2E′G=10．
故选B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x≥2 ．
【考点】72：二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
12．如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE= 4 ．
【考点】KX：三角形中位线定理．
【分析】易得DE是△ABC的中位线，那么DE应等于BC长的一半．
【解答】解：根据三角形的中位线定理，得：DE=BC=4．
故答案为4．
13．四边形ABCD内接于圆，若∠A=110°，则∠C= 70 度．
【考点】M6：圆内接四边形的性质．
【分析】根据圆内接四边形的性质计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠A=110°，
∴∠C=70°，
故答案为：70．
14．若关于x的方程x2﹣6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为 9 ．
【考点】AA：根的判别式．
【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣6）2﹣4c=0，然后解关于c的一次方程即可．
【解答】解：根据题意得△=（﹣6）2﹣4c=0，
解得c=9．
故答案为9．
15．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD= 30 度．
【考点】R2：旋转的性质．
【分析】根据旋转的性质可得∠BOD，再根据∠AOD=∠BOD﹣∠AOB计算即可得解．
【解答】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，
∴∠BOD=45°，
∴∠AOD=∠BOD﹣∠AOB=45°﹣15°=30°．
故答案为：30．
16．甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做4个，甲做60个所用的时间比乙做40个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的个数为 4 ．
【考点】B7：分式方程的应用．
【分析】设乙每小时做x个，则甲每小时做（x+4）个，甲做60个所用的时间为，乙做40个所用的时间为；根据甲做60个所用的时间比乙做40个所用的时间相等，列方程求解
【解答】解：设乙每小时做x个，则甲每小时做（x+4）个，甲做60个所用的时间为，乙做40个所用的时间为，
列方程为： =，
解得：x=4，
经检验：x=4是原分式方程的解，且符合题意，
则x+4=8．
答：乙每小时做4个．
故答案是：4．
17．已知x=m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x=﹣m时，该多项式的值为 ﹣1﹣4m ．
【考点】33：代数式求值．
【分析】利用整体代入的思想即可解决问题．
【解答】解：∵x=m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，
∴m2+2m+n2=﹣1，
∴m2+n2=﹣1﹣2m
∴x=﹣m时，多项式x2+2x+n2的值为m2﹣2m+n2=﹣1﹣4m，
故答案为﹣1﹣4m．
18．如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（5，12），且与边BC交于点D．若AB=BD，则点D的坐标为 （8，） ．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；L5：平行四边形的性质．
【分析】先根据点A（5，12），求得反比例函数的解析式为y=，可设D（m，），BC的解析式为y=x+b，把D（m，）代入，可得b=﹣m，进而得到BC的解析式为y=x+﹣m，据此可得OC=m﹣=AB，过D作DE⊥AB于E，过A作AF⊥OC于F，根据△DEB∽△AFO，可得DB=13﹣，最后根据AB=BD，得到方程m﹣=13﹣，进而求得D的坐标．
【解答】解：∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（5，12），
∴k=12×5=60，
∴反比例函数的解析式为y=，
设D（m，），
由题可得OA的解析式为y=x，AO∥BC，
∴可设BC的解析式为y=x+b，
把D（m，）代入，可得m+b=，
∴b=﹣m，
∴BC的解析式为y=x+﹣m，
令y=0，则x=m﹣，即OC=m﹣，
∴平行四边形ABCO中，AB=m﹣，
如图所示，过D作DE⊥AB于E，过A作AF⊥OC于F，则△DEB∽△AFO，
∴=，而AF=12，DE=12﹣，OA==13，
∴DB=13﹣，
∵AB=DB，
∴m﹣=13﹣，
解得m1=5，m2=8，
又∵D在A的右侧，即m＞5，
∴m=8，
∴D的坐标为（8，）．
故答案为：（8，）．
三、解答题（本大题共10小题，共96分）
19．（1）计算：|﹣4|﹣（﹣2）2+﹣（）0
（2）解不等式组．
【考点】CB：解一元一次不等式组；2C：实数的运算；6E：零指数幂．
【分析】（1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用乘方的意义计算，第三项化为最简二次根式，最后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果．
（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：（1）原式=4﹣4+3﹣1=2；
（2）
解不等式①得，x≥2，
解不等式②得，x＜4，
所以不等式组的解集是2≤x＜4．
20．先化简，再求值：（m+2﹣）•，其中m=﹣．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】此题的运算顺序：先括号里，经过通分，再约分化为最简，最后代值计算．
【解答】解：（m+2﹣）•，
=•，
=﹣•，
=﹣2（m+3）．
把m=﹣代入，得
原式=﹣2×（﹣+3）=﹣5．
21．某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了50名学生，并统计他们平均每天的课外阅读时间t（单位：min），然后利用所得数据绘制成如下不完整的统计表．
课外阅读时间t
频数
百分比
10≤t＜30
4
8%
30≤t＜50
8
16%
50≤t＜70
a
40%
70≤t＜90
16
b
90≤t＜110
2
4%
合计
50
100%
请根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）a= 20 ，b= 32% ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）若全校有900名学生，估计该校有多少学生平均每天的课外阅读时间不少于50min？
【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；W2：加权平均数．
【分析】（1）利用百分比=，计算即可；
（2）根据b的值计算即可；
（3）用一般估计总体的思想思考问题即可；
【解答】解：（1）∵总人数=50人，
∴a=50×40%=20，b=×100%=32%，
故答案为20，32%．
（2）频数分布直方图，如图所示．
（3）900×=648，
答：估计该校有648名学生平均每天的课外阅读时间不少于50min．
22．不透明袋子中装有2个红球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出1个球不放回，再随机摸出1个球，求两次均摸到红球的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】利用树状图得出所有符合题意的情况，进而理概率公式求出即可．
【解答】解：如图所示：
，
所有的可能有12种，符合题意的有2种，故两次均摸到红球的概率为： =．
23．热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100m，求这栋楼的高度（结果保留根号）．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】根据正切的概念分别求出BD、DC，计算即可．
【解答】解：在Rt△ADB中，∠BAD=45°，
∴BD=AD=100m，
在Rt△ADC中，CD=AD×tan∠DAC=100m
∴BC=m，
答：这栋楼的高度为m．
24．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．
【考点】MC：切线的性质；KQ：勾股定理．
【分析】连接OD，首先证明四边形OECD是矩形，从而得到BE的长，然后利用垂径定理求得BF的长即可．
【解答】解：连接OD，作OE⊥BF于点E．
∴BE=BF，
∵AC是圆的切线，
∴OD⊥AC，
∴∠ODC=∠C=∠OFC=90°，
∴四边形ODCF是矩形，
∵OD=OB=EC=2，BC=3，
∴BE=BC﹣EC=BC﹣OD=3﹣2=1，
∴BF=2BE=2．
25．某学习小组在研究函数y=x3﹣2x的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分．
x
…
﹣4
﹣3.5
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
3.5
4
…
y
…
﹣
﹣
0
﹣
﹣
﹣
…
（1）请补全函数图象；
（2）方程x3﹣2x=﹣2实数根的个数为 3 ；
（3）观察图象，写出该函数的两条性质．
【考点】H3：二次函数的性质；H2：二次函数的图象；HB：图象法求一元二次方程的近似根．
【分析】（1）用光滑的曲线连接即可得出结论；
（2）根据函数y=x3﹣2x和直线y=﹣2的交点的个数即可得出结论；
（3）根据函数图象即可得出结论．
【解答】解：（1）补全函数图象如图所示，
（2）如图1，
作出直线y=﹣2的图象，
由图象知，函数y=x3﹣2x的图象和直线y=﹣2有三个交点，
∴方程x3﹣2x=﹣2实数根的个数为3，
故答案为3；
（3）由图象知，
1、此函数在实数范围内既没有最大值，也没有最小值，
2、此函数在x＜﹣2和x＞2，y随x的增大而增大，
3、此函数图象过原点，
4、此函数图象关于原点对称．
26．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．
（1）求证：四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长．
【考点】LB：矩形的性质；KG：线段垂直平分线的性质；LA：菱形的判定与性质．
【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质证明QB=QE，由ASA证明△BOQ≌△EOP，得出PE=QB，证出四边形ABGE是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；
（2）根据三角形中位线的性质可得AE+BE=2OF+2OB=18，设AE=x，则BE=18﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得62+x2=（18﹣x）2，BE=10，得到OB=BE=5，设PE=y，则AP=8﹣y，BP=PE=y，在Rt△ABP中，根据勾股定理可得62+（8﹣y）2=y2，解得y=，在Rt△BOP中，根据勾股定理可得PO==，由PQ=2PO即可求解．
【解答】（1）证明：∵PQ垂直平分BE，
∴QB=QE，OB=OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PEO=∠QBO，
在△BOQ与△EOP中，
，
∴△BOQ≌△EOP（ASA），
∴PE=QB，
又∵AD∥BC，
∴四边形BPEQ是平行四边形，
又∵QB=QE，
∴四边形BPEQ是菱形；
（2）解：∵O，F分别为PQ，AB的中点，
∴AE+BE=2OF+2OB=18，
设AE=x，则BE=18﹣x，
在Rt△ABE中，62+x2=（18﹣x）2，
解得x=8，
BE=18﹣x=10，
∴OB=BE=5，
设PE=y，则AP=8﹣y，BP=PE=y，
在Rt△ABP中，62+（8﹣y）2=y2，解得y=，
在Rt△BOP中，PO==，
∴PQ=2PO=．
27．我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”．
（1）等边三角形“內似线”的条数为 3 ；
（2）如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是△ABC的“內似线”；[来源:学科网]
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“內似线”，求EF的长．
【考点】SO：相似形综合题．
【分析】（1）过等边三角形的内心分别作三边的平行线，即可得出答案；
（2）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=∠BDC，证出△BCD∽△ABC即可；
（3）分两种情况：①当==时，EF∥AB，由勾股定理求出AB==5，作DN⊥BC于N，则DN∥AC，DN是Rt△ABC的内切圆半径，求出DN=（AC+BC﹣AB）=1，由几啊平分线定理得出=，求出CE=，证明△CEF∽△CAB，得出对应边成比例求出EF=；
②当==时，同理得：EF=即可．
【解答】（1）解：等边三角形“內似线”的条数为3条；理由如下：
过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图1所示：
则△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，
∴MN、EF、GH是等边三角形ABC的內似线”；
故答案为：3；
（2）证明：∵AB=AC，BD=BC，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，
∴△BCD∽△ABC，
∴BD是△ABC的“內似线”；
（3）解：设D是△ABC的内心，连接CD，
则CD平分∠ACB，
∵EF是△ABC的“內似线”，
∴△CEF与△ABC相似；
分两种情况：①当==时，EF∥AB，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
作DN⊥BC于N，如图2所示：
则DN∥AC，DN是Rt△ABC的内切圆半径，
∴DN=（AC+BC﹣AB）=1，
∵CD平分∠ACB，
∴=，
∵DN∥AC，
∴=，即，
∴CE=，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，即，
解得：EF=；
②当==时，同理得：EF=；
综上所述，EF的长为．
28．已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．
（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；
（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；
（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）如图1，由条件可知△AOB为等边三角形，则可求得OA的长，在Rt△AOD中可求得AD和OD的长，可求得A点坐标，代入抛物线解析式可得a的值；
（2）如图2，作辅助线，构建平行线和相似三角形，根据CF∥BG，由A的横坐标为﹣4，得B的横坐标为1，所以A（﹣4，16a），B（1，a），证明△ADO∽△OEB，则，得a的值及B的坐标；
（3）如图3，设AC=nBC由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B（m，am2），则A（﹣mn，am2n2），分别根据两三角形相似计算DE和CO的长即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，∵抛物线y=ax2的对称轴是y轴，且AB∥x轴，
∴A与B是对称点，O是抛物线的顶点，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB=2，AB⊥OC，
∴AC=BC=1，∠BOC=30°，
∴OC=，
∴A（﹣1，），
把A（﹣1，）代入抛物线y=ax2（a＞0）中得：a=；
（2）如图2，过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y轴于F，
∵CF∥BG，
∴，
∵AC=4BC，
∴=4，
∴AF=4FG，
∵A的横坐标为﹣4，
∴B的横坐标为1，
∴A（﹣4，16a），B（1，a），
∵∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠BOE=90°，
∵∠AOD+∠DAO=90°，
∴∠BOE=∠DAO，
∵∠ADO=∠OEB=90°，
∴△ADO∽△OEB，
∴，
∴，
∴16a2=4，
a=±，
∵a＞0，
∴a=；
∴B（1，）；
（3）如图3，设AC=nBC，
由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，
则设B（m，am2），则A（﹣mn，am2n2），
∴AD=am2n2，
过B作BF⊥x轴于F，
∴DE∥BF，
∴△BOF∽△EOD，
∴==，
∴，
∴=，DE=am2n，
∴=，
∵OC∥AE，
∴△BCO∽△BAE，
∴，
∴=，
∴CO==am2n，
∴DE=CO．
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