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2021年重庆市九龙坡区中考数学一诊复习试卷 （解析版）
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这是一份2021年重庆市九龙坡区中考数学一诊复习试卷 （解析版），共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年重庆市九龙坡区中考数学一诊复习试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．下列各数中，﹣3的倒数是（ ）
A．3 B． C． D．﹣3
2．下列四个标志图中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，是由棱长都相等的四个小正方体组成的几何体．该几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．计算（4b）2正确的是（ ）
A．16b B．8b2 C．4b2 D．16b2
5．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知AB：DE＝1：3，且△ABC的周长为4，则△DEF的周长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．36
6．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠C＝63°，则∠DAB等于（ ）
A．27° B．54° C．37° D．63°
7．按如图所示的运算程序，能使输出结果为33的是（ ）
A．a＝3，b＝4 B．a＝2，b＝4 C．a＝4，b＝3 D．a＝5，b＝4
8．如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（ ）
A．7 B．6 C．﹣2 D．0
9．重庆实验外国语学校某数学兴趣小组，想测量华岩寺内七佛塔的高度，他们在点C处测得七佛塔顶部A处的仰角为45°，再沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡CD向上走了5.2米到达点D，此时测得七佛塔顶部A的仰角为37°，七佛塔AB所在平台高度EF为0.8米，则七佛塔AB的高约为（ ）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
A．20.8 B．21.6 C．23.2 D．24
10．若关于x的分式方程＝2有非负整数解，关于y的不等式组有且只有4个整数解，则所有符合条件的a的和是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2
11．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地．设甲、乙两车距A地的路程为y千米，甲车行驶的时间为x小时，y与x之间的关系如图所示，对于以下说法：①甲车从A地到达B地的行驶时间为2小时；②甲车返回时，y与x之间的关系式是y＝﹣100x+550；③甲车返回时用了3个小时；④乙车到达A地时，甲车距A地的路程是170千米．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
12．如图，在等腰△AOB中，AO＝AB，顶点A为反比例函数（其中x＞0）图象上的一点，点B在x轴正半轴上，过点B作BC⊥OB，交反比例函数的图象于点C，连接OC交AB于点D，若，则△BCD的面积为（ ）
A． B．6 C． D．5
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上。
13．2021年1月中旬石家庄市出现新冠病毒疫情反复后，全市立即启用了核酸检测信息统一平台，满足常态化核酸检测和短时间、大规模核酸检测要求．目前，通过该平台累计采样超过1280000人次，数据1280000用科学记数法可以表示为 ．
14．计算：＝ ．
15．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是 ．
16．如图，在矩形ABCD中，∠DBC＝30°，DC＝4，E为AD上一点，以点D为圆心，以DE为半径画弧，交BC于点F，若CF＝CD，则图中的阴影部分面积为 （结果保留π）．
17．如图，在△ABC中，点D是线段AB上的一点，过点D作DE∥AC交AC于点E，将△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，且点C恰好为线段B'D的中点，若B'C＝3，且tanB＝，则线段BE的长度为 ．
18．为了抵抗病毒的侵袭，某学校组织教师到社区卫生服务中心接种新冠病毒疫苗，由于疫苗数量有限，所以要分批进行接种．初中三个年级都有教师参加第一批疫苗接种，其中初一年级和初三年级参加疫苗接种的教师人数之比是3：4．第二批疫苗到货后，三个年级新增接种人数之比是5：6：2．增加后，初二年级接种总人数占这三个年级接种总人数之和的，并且增加后，初二和初三年级新增接种人数之和是这两个年级接种总人数之和的，则这三个年级第一批接种总人数与第二批接种总人数之比为 ．
三、解答题：（本大题共8个小题，19至25题每题10分，26题8分，共78分）解答时都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．计算：
（1）（2x﹣3）（2x+3）﹣（2x﹣1）2；
（2）．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．
（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．
①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；
②过点D作BC的垂线，垂足为点E．
（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．
21．为了解七年级学生的数学计算能力，我校对全体七年级同学进行了数学速算与巧算水平测试，数学组陈老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（满分100）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．50≤x＜60，B．60≤x＜70，C．70≤x＜80，D．80≤x＜90，E．90≤x≤100），绘制了如下不完整的统计图表：
（Ⅰ）收集、整理数据
20名男生的数学成绩分别为：
76，77，95，88，50，89，89，97，99，93，97，89，65，87，68，89，78，88，98，88
女生数学成绩在C组和D组的分别为：
73，74，74，74，74，76，83，88，89
（Ⅱ）分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：
成绩
平均数
中位数
众数
男生
85
88.5
b
女生
81.8
a
74
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）①补全频数分布直方图；
②填空：a＝ ，b＝ ；
（2）根据以上数据，你认为七年级学生是男生的数学计算成绩更好还是女生的数学计算成绩更好？判断并说明理由（一条理由即可）．
（3）如果我校七年级有男生900名，女生600名，请估计七年级数学计算成绩不低于80分的学生人数．
22．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，现在就一类特殊的函数展开探索：y＝x+，探索函数图象和性质过程如下：
x
…
﹣6
﹣4
﹣2
﹣1
﹣0.5
0.5
1
n
4
6
…
y
…
﹣
m
﹣4
﹣5
﹣
5
4
5
…
（1）上表是该函数y与自变量x的几组对应值，则a＝ ，m＝ ，n＝ ；
（2）如图，在平面直角坐标系中，已经描出了表中部分点，请根据描出的点画出该函数图象；
（3）由函数图象，写出该函数的一条性质： ；
（4）请在同一个平面直角坐标系中画出函数y＝2x的图象，并直接写出不等式x+≤2x的解集： ．
23．元宵节又称为灯节，是中国的传统节日之一．为庆祝元宵节，九龙坡区政府决定在彩云湖公园举办为期三天的元宵灯会．某经销商抓住商机销售元宵灯会中的“兔子灯”和“孔雀灯”，第一次果断购进“兔子灯”和“孔雀灯”共500个．其中“兔子灯”每个进价50元，售价100元；“孔雀灯”每个进价80元，售价100元．
（1）该经销商由于启动资金不足，第一次购进“兔子灯”和“孔雀灯”的金额不得超过34000元，则“兔子灯”至少购进多少个？
（2）灯会观看的人特别多，“兔子灯”和“孔雀灯”一经上市，十分抢手，该经销商决定第二次购进这两种商品，它们的进价不变．“兔子灯”的进货量在（1）的最少进货量基础上增加了2m%，售价比第一次提高了m%．“孔雀灯”的售价和第一次相同，进货量为300个．灯会最后一天，由于担心“孔雀灯”滞销，经销商在销售了90%的“孔雀灯”后决定降价促销，剩余“孔雀灯”全部五折出售．结果第二次销售完后，该经销商获利27000元，求m的值．
24．一个正整数p能写成p＝（m+n）（m﹣n）（m、n均为正整数，且m≠n），则称p为“平方差数”，m、n为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若m2+n2最大，则称m、n为p的最佳平方差变形，此时F（p）＝m2+n2．例如：24＝（7+5）（7﹣5）＝（5+1）（5﹣1），因为72+52＞52+12，所以7和5是24的最佳平方差变形，所以F（24）＝74．
（1）F（32）＝ ；
（2）若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x，y（1≤x≤y≤7），q为“平方差数”且x+y能被7整除，求F（q）的最小值．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C．
（1）求该抛物线解析式；
（2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）向右平移经过点Q，得到新抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），点E在新抛物线的对称轴上，是否存在平面内一点F，使得A，P，E，F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
26．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥CD交AE于点F，连接OF．以OF为直角边作Rt△OFG，其中∠OFG＝90°，连接AG．
（1）如图1，若∠EAB＝30°，OA＝2，AB＝6，则求CE的长度；
（2）如图2，若CF＝CD，∠FGO＝45°，求证：EC＝AG+2EF；
（3）如图3，动点P从点A运动到点D（不与点A、点D重合），连接FP，过点P作FP的垂线，又过点D作AD的垂线交FP的垂线于点Q，点A'是点A关于FP的对称点，连接A'Q．若AE＝2EC，FG＝2OF，EF＝1，AG＝，则在动点P的运动过程中，直接写出A'Q的最小值．
参考答案
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．下列各数中，﹣3的倒数是（ ）
A．3 B． C． D．﹣3
【分析】根据倒数定义，相乘得1的两个数互为倒数，即可得出答案．
解：∵相乘得1的两个数互为倒数，且﹣3×﹣＝1，
∴﹣3的倒数是﹣．
故选：B．
2．下列四个标志图中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
3．如图，是由棱长都相等的四个小正方体组成的几何体．该几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
解：从上面看，是一行3个小正方形，
故选：A．
4．计算（4b）2正确的是（ ）
A．16b B．8b2 C．4b2 D．16b2
【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
解：（4b）2＝16b2．
故选：D．
5．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知AB：DE＝1：3，且△ABC的周长为4，则△DEF的周长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．36
【分析】根据相似三角形的性质计算，得到答案．
解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，
∵AB：DE＝1：3，△ABC的周长为4，
∴△DEF的周长＝4×3＝12，
故选：B．
6．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠C＝63°，则∠DAB等于（ ）
A．27° B．54° C．37° D．63°
【分析】由圆周角定理可得∠ABD＝90°，即可求解．
解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵＝，
∴∠C＝∠D＝63°，
∴∠DAB＝90°﹣63°＝27°，
故选：A．
7．按如图所示的运算程序，能使输出结果为33的是（ ）
A．a＝3，b＝4 B．a＝2，b＝4 C．a＝4，b＝3 D．a＝5，b＝4
【分析】把各自的值代入运算程序中计算得到结果，即可作出判断．
解：A、把a＝3，b＝4代入运算程序中得：
∵a＜b，
∴y＝3a+2＝11，不符合题意；
B、把a＝2，b＝4代入运算程序中得：
∵a＜b，
∴y＝3a+2＝8，不符合题意；
C、把a＝4，b＝3代入运算程序中得：
∵a＞b，
∴y＝2b2+1＝19，不符合题意；
D、把a＝5，b＝4代入运算程序中得：
∵a＞b，
∴y＝2b2+1＝33，符合题意，
故选：D．
8．如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（ ）
A．7 B．6 C．﹣2 D．0
【分析】根据方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，得到α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，将α2+β﹣2αβ变形为α+β+2﹣2αβ后代入即可求值．
解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，
∴α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，
∴α2+β﹣2αβ＝α+2+β﹣2αβ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7，
故选：A．
9．重庆实验外国语学校某数学兴趣小组，想测量华岩寺内七佛塔的高度，他们在点C处测得七佛塔顶部A处的仰角为45°，再沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡CD向上走了5.2米到达点D，此时测得七佛塔顶部A的仰角为37°，七佛塔AB所在平台高度EF为0.8米，则七佛塔AB的高约为（ ）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
A．20.8 B．21.6 C．23.2 D．24
【分析】根据题意可得，∠AHC＝90°，∠ACH＝45°，AH＝HC，根据DN：NC＝i＝1：2.4，CD＝5.2，可得DN＝2，CN＝4.8，设DG⊥AB，垂足为G，在Rt△ADG中，∠ADG＝37°，根据锐角三角函数即可求出AB的大约高度．
解：根据题意可知：
∠AHC＝90°，∠ACH＝45°，
∴AH＝HC，
∵DN：NC＝i＝1：2.4，CD＝5.2米，
∴DN＝2米，CN＝4.8米，
设DG⊥AB，垂足为G，
在Rt△ADG中，∠ADG＝37°，
∵AG＝AB﹣GB＝AB﹣（DN﹣EF）＝AB﹣1.2，
又DG＝NH＝CN+HC＝4.8+AH＝4.8+AB+0.8＝AB+5.6，
∴tan∠ADG＝，
∴×（5.6+AB）≈AB﹣1.2，
解得AB＝21.6（米），
答：碧津塔AB的高约为21.6米．
故选：B．
10．若关于x的分式方程＝2有非负整数解，关于y的不等式组有且只有4个整数解，则所有符合条件的a的和是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2
【分析】不等式组变形后，根据不等式组有4个整数解确定出a的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有非负整数解，确定出满足条件a的值，进而求出之和．
解：解不等式组，
得，
∵不等式组有且只有4个整数解，
∴1＜≤2，
∴﹣3＜a≤1．
解分式方程，
得x＝3﹣a，
∵x＝3﹣a为非负整数，
∴﹣3＜a≤1，
∴a＝﹣2或﹣1或0或1，
∵a＝1时，x＝2，原分式方程无解，故将a＝1舍去，
∴所有满足条件的a的值之和是﹣2﹣1+0＝﹣3，
故选：A．
11．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地．设甲、乙两车距A地的路程为y千米，甲车行驶的时间为x小时，y与x之间的关系如图所示，对于以下说法：①甲车从A地到达B地的行驶时间为2小时；②甲车返回时，y与x之间的关系式是y＝﹣100x+550；③甲车返回时用了3个小时；④乙车到达A地时，甲车距A地的路程是170千米．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【分析】根据路程、速度、时间之间的关系，以及待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质等知识，即可一一判断．
解：①300÷（180÷1.5）＝2.5（小时），所以甲车从A地到达B地的行驶时间是2.5小时，故①错误；
②设甲车返回时y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式是y＝﹣100x+550，故②正确；
③5.5﹣2.5＝3，
∴甲车返回时用了3个小时，故③正确；
④乙车的速度为（300﹣180）÷1.5＝80（千米/小时），
300÷80＝3.75，
x＝3.75时，y＝﹣100×3.75+550＝175千米，
所以乙车到达A地时甲车距A地的路程是175千米，故④错误，
所以②③正确，
故选：B．
12．如图，在等腰△AOB中，AO＝AB，顶点A为反比例函数（其中x＞0）图象上的一点，点B在x轴正半轴上，过点B作BC⊥OB，交反比例函数的图象于点C，连接OC交AB于点D，若，则△BCD的面积为（ ）
A． B．6 C． D．5
【分析】本题通过过点A作AH⊥x轴于点H，进而求出AH＝12，进而求出反比例函数的解析式，在通过平行线分线段成比例定理求出EH＝3，AE＝9，设CD＝2x，则DE＝3x，CE＝OE＝5x，OC＝10x，进而求出面积即可．
解：过点A作AH⊥x轴于点H，AH交OC于点E，
∵OA＝AB，AH⊥OB，
∴2OH＝2BH＝OB＝8，OH＝BH＝4，
∵OA＝4＝，
∴AH＝12，
∵A（4，12），
∴k＝4×12＝48，
∴，
∵OB＝8，
∴C（8，6），
∵AH⊥x轴，BC⊥x轴，
∴AH∥BC，
由平行线分线段成比例得：，OE＝CE，，
∴EH＝3，AE＝AH﹣EH＝9，，
设CD＝2x，则DE＝3x，CE＝OE＝5x，OC＝10x．
∴，
所以三角形BCD的面积．
故选：C．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上。
13．2021年1月中旬石家庄市出现新冠病毒疫情反复后，全市立即启用了核酸检测信息统一平台，满足常态化核酸检测和短时间、大规模核酸检测要求．目前，通过该平台累计采样超过1280000人次，数据1280000用科学记数法可以表示为 1.28×106 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：将数据1280000用科学记数表示为1.28×106．
故答案为：1.28×106．
14．计算：＝ 3+3 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
解：原式＝3+2+1
＝3+3．
故答案为：3+3．
15．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是 ．
【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可．
解：列表如下
1
2
4
8
1
2
4
8
2
2
8
16
4
4
8
32
8
8
16
32
由表知，共有12种等可能结果，其中两次取出的小球上数字之积等于8的有4种结果，
所以两次取出的小球上数字之积等于8的概率为＝，
故答案为：．
16．如图，在矩形ABCD中，∠DBC＝30°，DC＝4，E为AD上一点，以点D为圆心，以DE为半径画弧，交BC于点F，若CF＝CD，则图中的阴影部分面积为 16﹣4π﹣8 （结果保留π）．
【分析】由矩形和含30°直角三角形的性质求出∠EDF的度数和AD的长度，由勾股定理求出DF，再求出矩形ABCD的面积，扇形DEF的面积，三角形DCF的面积，最后根据面积的和差即可求出阴影部分面积．
解：连接DF，
∵ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝∠ADC＝90°，AD∥BC，AB＝CD＝4，
∴∠ADB＝∠DBC＝30°，
∴BD＝2AB＝8，
∴AD＝AB＝4，
在Rt△CDF中，CF＝CD＝4，
∴∠CDF＝∠CFD＝45°，DF2＝CD2+CF2＝32，
∴∠EDF＝90°﹣45°＝45°，
∴S阴影＝S矩形ABCD﹣S扇形DEF﹣S△DCF＝AD•CD﹣﹣CD•CF＝4×4﹣﹣×4×4＝16﹣4π﹣8，
故答案为：16﹣4π﹣8．
17．如图，在△ABC中，点D是线段AB上的一点，过点D作DE∥AC交AC于点E，将△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，且点C恰好为线段B'D的中点，若B'C＝3，且tanB＝，则线段BE的长度为 10 ．
【分析】过点E作EH⊥DB′于H，设CH＝x．利用平行线分线段成比例定理，构建方程解决问题即可．
解：过点E作EH⊥DB′于H，设CH＝x．
由题意，CD＝DB′＝3，BD＝CB′＝6，
在Rt△B′EH中，tan∠B′＝tan∠B＝，
∴＝，
∴EH＝（x+3），
∵EH∥BD，
∴＝，
∴＝，
解得x＝，
∴EH＝2，B′H＝4，
∴BE＝EB′＝＝＝10．
故答案为：10．
18．为了抵抗病毒的侵袭，某学校组织教师到社区卫生服务中心接种新冠病毒疫苗，由于疫苗数量有限，所以要分批进行接种．初中三个年级都有教师参加第一批疫苗接种，其中初一年级和初三年级参加疫苗接种的教师人数之比是3：4．第二批疫苗到货后，三个年级新增接种人数之比是5：6：2．增加后，初二年级接种总人数占这三个年级接种总人数之和的，并且增加后，初二和初三年级新增接种人数之和是这两个年级接种总人数之和的，则这三个年级第一批接种总人数与第二批接种总人数之比为 36：13 ．
【分析】可设增加前初一年级参加疫苗接种的教师为3x人，则增加前初三年级参加疫苗接种的教师为4x人，设增加前初二年级参加疫苗接种的教师为y人，新增初一年级参加疫苗接种的教师为5z人，新增初二年级参加疫苗接种的教师为6z人，新增初三年级参加疫苗接种的教师为2z人，根据增加后，初二年级接种总人数占这三个年级接种总人数之和的，并且增加后，初二和初三年级新增接种人数之和是这两个年级接种总人数之和的，可得x＝2z，y＝22z，进一步求得这三个年级第一批接种总人数与第二批接种总人数之比．
解：设增加前初一年级参加疫苗接种的教师为3x人，则增加前初三年级参加疫苗接种的教师为4x人，设增加前初二年级参加疫苗接种的教师为y人，新增初一年级参加疫苗接种的教师为5z人，新增初二年级参加疫苗接种的教师为6z人，新增初三年级参加疫苗接种的教师为2z人，依题意有
＝①，
＝②，
由①得3y＝28x+10z，
由②得y＝30z﹣4x，
则x＝2z，y＝22z，
则＝＝．
故这三个年级第一批接种总人数与第二批接种总人数之比为36：13．
故答案为：36：13．
三、解答题：（本大题共8个小题，19至25题每题10分，26题8分，共78分）解答时都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．计算：
（1）（2x﹣3）（2x+3）﹣（2x﹣1）2；
（2）．
【分析】（1）根据平方差公式、完全平方公式可以解答本题；
（2）根据分式的加法和除法可以解答本题．
解：（1）（2x﹣3）（2x+3）﹣（2x﹣1）2
＝4x2﹣9﹣4x2+4x﹣1
＝4x﹣10；
（2）
＝
＝
＝
＝x﹣2．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．
（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．
①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；
②过点D作BC的垂线，垂足为点E．
（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．
【分析】（1）利用基本作图，先画出CD平分∠ACB，然后作DE⊥BC于E；
（2）利用CD平分∠ACB得到∠BCD＝45°，再判断△CDE为等腰直角三角形，所以DE＝CE，然后证明△BDE∽△BAC，从而利用相似比计算出DE．
解：（1）如图，DE为所作；
（2）∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB＝45°，
∵DE⊥BC，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴DE＝CE，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴DE＝．
21．为了解七年级学生的数学计算能力，我校对全体七年级同学进行了数学速算与巧算水平测试，数学组陈老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（满分100）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．50≤x＜60，B．60≤x＜70，C．70≤x＜80，D．80≤x＜90，E．90≤x≤100），绘制了如下不完整的统计图表：
（Ⅰ）收集、整理数据
20名男生的数学成绩分别为：
76，77，95，88，50，89，89，97，99，93，97，89，65，87，68，89，78，88，98，88
女生数学成绩在C组和D组的分别为：
73，74，74，74，74，76，83，88，89
（Ⅱ）分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：
成绩
平均数
中位数
众数
男生
85
88.5
b
女生
81.8
a
74
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）①补全频数分布直方图；
②填空：a＝ 79.5 ，b＝ 89 ；
（2）根据以上数据，你认为七年级学生是男生的数学计算成绩更好还是女生的数学计算成绩更好？判断并说明理由（一条理由即可）．
（3）如果我校七年级有男生900名，女生600名，请估计七年级数学计算成绩不低于80分的学生人数．
【分析】（1）①求出男生在80～90这组的频数即可；②根据中位数、众数的意义求解即可；
（2）从平均数、中位数、众数方面比较得出答案；
（3）求出男、女生成绩在80分及以上的人数即可．
解：（1）①20﹣1﹣2﹣3﹣6＝8（人），补全频数分布直方图如图所示：
②将20名女生的数学成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为＝79.5（分），因此中位数是79.5，即a＝79.5；
20名男生的数学成绩出现次数最多的是89分，共出现4次，因此众数是89，即b＝89；
（2）男生的计算能力更好，理由：男生的计算成绩的平均数、中位数、众数均比女生的高；
（3）900×+600×＝930（人），
答：七年级数学计算成绩不低于80分的学生人数大约有930人．
22．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，现在就一类特殊的函数展开探索：y＝x+，探索函数图象和性质过程如下：
x
…
﹣6
﹣4
﹣2
﹣1
﹣0.5
0.5
1
n
4
6
…
y
…
﹣
m
﹣4
﹣5
﹣
5
4
5
…
（1）上表是该函数y与自变量x的几组对应值，则a＝ 4 ，m＝ ﹣5 ，n＝ 2 ；
（2）如图，在平面直角坐标系中，已经描出了表中部分点，请根据描出的点画出该函数图象；
（3）由函数图象，写出该函数的一条性质： 该函数图象关于原点对称 ；
（4）请在同一个平面直角坐标系中画出函数y＝2x的图象，并直接写出不等式x+≤2x的解集： ﹣2≤x＜0或x≥2 ．
【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特征即可得到答案；
（2）描点、连线即可得到答案；
（3）从函数的对称性、增减性、最值等角度去描述函数的性质；
（4）数形结合即可得到答案．
解：（1）x＝﹣1时，y＝﹣5，
∴﹣1﹣a＝﹣5，
∴a＝4．
∴，
令x＝﹣4，得m＝﹣5，
令y＝4，得n＝2，
故答案为：4；﹣5；2．
（2）图象如图所示：
（3）该函数图象关于原点对称；当x＞2时，随x的增大而增大；当x＜﹣2时，随x的增大而增大，
（答案不唯一，写出一条即可）．
（4）图象如图所示；﹣2≤x＜0或x≥2．
解：两个函数的交点坐标为（﹣2，﹣4）和（2，4），数形结合可知不等式的解集为﹣2≤x＜0或x≥2．
故答案为：﹣2≤x＜0或x≥2．
23．元宵节又称为灯节，是中国的传统节日之一．为庆祝元宵节，九龙坡区政府决定在彩云湖公园举办为期三天的元宵灯会．某经销商抓住商机销售元宵灯会中的“兔子灯”和“孔雀灯”，第一次果断购进“兔子灯”和“孔雀灯”共500个．其中“兔子灯”每个进价50元，售价100元；“孔雀灯”每个进价80元，售价100元．
（1）该经销商由于启动资金不足，第一次购进“兔子灯”和“孔雀灯”的金额不得超过34000元，则“兔子灯”至少购进多少个？
（2）灯会观看的人特别多，“兔子灯”和“孔雀灯”一经上市，十分抢手，该经销商决定第二次购进这两种商品，它们的进价不变．“兔子灯”的进货量在（1）的最少进货量基础上增加了2m%，售价比第一次提高了m%．“孔雀灯”的售价和第一次相同，进货量为300个．灯会最后一天，由于担心“孔雀灯”滞销，经销商在销售了90%的“孔雀灯”后决定降价促销，剩余“孔雀灯”全部五折出售．结果第二次销售完后，该经销商获利27000元，求m的值．
【分析】（1）设“兔子灯”购进x个，则“孔雀灯”购进（500﹣x）个，根据总价＝单价×数量，结合第一次购进“兔子灯”和“孔雀灯”的金额不得超过34000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；
（2）根据利润＝销售收入﹣进货成本，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：（1）设“兔子灯”购进x个，则“孔雀灯”购进（500﹣x）个，
依题意得：50x+80（500﹣x）≤34000，
解得：x≥200．
答：“兔子灯”至少购进200个．
（2）依题意得：100（1+m%）×200（1+2m%）+100×300×90%+100×0.5×300×（1﹣90%）﹣50×200（1+2m%）﹣80×300＝27000，
整理得：m2+100m﹣3125＝0，
解得：m1＝25，m2＝﹣125（不合题意，舍去）．
答：m的值为25．
24．一个正整数p能写成p＝（m+n）（m﹣n）（m、n均为正整数，且m≠n），则称p为“平方差数”，m、n为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若m2+n2最大，则称m、n为p的最佳平方差变形，此时F（p）＝m2+n2．例如：24＝（7+5）（7﹣5）＝（5+1）（5﹣1），因为72+52＞52+12，所以7和5是24的最佳平方差变形，所以F（24）＝74．
（1）F（32）＝ 130 ；
（2）若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x，y（1≤x≤y≤7），q为“平方差数”且x+y能被7整除，求F（q）的最小值．
【分析】（1）32＝（9+7）（9﹣7）＝（6+2）（6﹣2），根据F（q）的定义即可得到答案；
（2）根据题意对x、y的取值进行分类讨论，再根据F（q）的定义即可得到答案．
解：（1）130；
解析：32＝（9+7）（9﹣7）＝（6+2）（6﹣2）．
∵92+72＞62+22，
∴F（32）＝92+72＝130，
故答案为：130．
（2）∵x+y能被7整除，1≤x≤y≤7，
∴x+y＝7或x+y＝14，
∴或或或，
当x＝1，y＝6时，q＝16＝（5+3）（5﹣3），F（q）＝52+32＝34；
当x＝2，y＝5时，q＝25＝（13+12）（13﹣12），F（q）＝132+122＝313；
当x＝3，y＝4时，q＝34，此时q不是平方差数，不符合题意；
当x＝7，y＝7时，q＝77＝（39+38）（39﹣38）＝（9+2）（9﹣2），
∵392+382＞92+22，
∴F（q）＝392+382＝2965．
∵34＜313＜2965，
∴F（q）的最小值为34．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C．
（1）求该抛物线解析式；
（2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）向右平移经过点Q，得到新抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），点E在新抛物线的对称轴上，是否存在平面内一点F，使得A，P，E，F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）如图，连接BC，OP，设P（m，m2﹣m﹣2）．由CQ∥PB，推出S△PBQ＝S△PBC＝S△POC+S△POB﹣S△OBC＝×2×m+×4×（﹣m2+m+2）﹣×2×4＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，利用二次函数的性质求解即可．
（3）如图2中，过点P作PH⊥AB于H，过点P作新抛物线的对称轴l的垂线垂足为J，设直线l与x轴的交点为T，过点A作AE⊥AP交新抛物线的对称轴于E′，可得矩形AE′F′P．利用特殊三角形的性质求出点E′的坐标，再利用平移的性质，可得结论．过点P作PE⊥PA，交直线l于E，可得矩形APEF，过点P作PJ⊥直线l于J，同法可得点F的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B（4，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
（2）如图，连接BC，OP，设P（m，m2﹣m﹣2）．
∵CQ∥PB，
∴S△PBQ＝S△PBC＝S△POC+S△POB﹣S△OBC＝×2×m+×4×（﹣m2+m+2）﹣×2×4＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴m＝2时，△PBQ的面积的最大值为4，
∴P（2，﹣3）．
（3）存在．
理由：如图2中，过点P作PH⊥AB于H，过点P作新抛物线的对称轴l的垂线垂足为J，设直线l与x轴的交点为T，过点A作AE⊥AP交新抛物线的对称轴于E′，可得矩形AE′F′P．
∵P（2，﹣3），B（4，0），
∴直线PB的解析式为y＝x﹣6，
∵CQ∥PB，
∴CQ的解析式为y＝x﹣2，
∴Q（，0），
∴AQ＝1+＝，
∴平移后的抛物线的对称轴x＝，
∴AT＝，
∵PH⊥AH，AH＝PH＝3，
∴∠HAP＝∠APH＝45°，
∴AT＝TE′＝，
∴E′（，），
∵PA＝E′F′，PA∥E′F′，
∴点E′向右平移3个单位，向下平移3个单位得到F′，
∴F′（，），
过点P作PE⊥PA，交直线l于E，可得矩形APEF，过点P作PJ⊥直线l于J，
同法可得，PJ＝EJ＝，
∴E（，﹣），
∵PA＝EF，PA∥EF，
∴点E向左平移3个单位，向上平移3个单位得到F，
∴F（，）．
综上所述，满足条件的点F的坐标为（，）或（，）．
26．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥CD交AE于点F，连接OF．以OF为直角边作Rt△OFG，其中∠OFG＝90°，连接AG．
（1）如图1，若∠EAB＝30°，OA＝2，AB＝6，则求CE的长度；
（2）如图2，若CF＝CD，∠FGO＝45°，求证：EC＝AG+2EF；
（3）如图3，动点P从点A运动到点D（不与点A、点D重合），连接FP，过点P作FP的垂线，又过点D作AD的垂线交FP的垂线于点Q，点A'是点A关于FP的对称点，连接A'Q．若AE＝2EC，FG＝2OF，EF＝1，AG＝，则在动点P的运动过程中，直接写出A'Q的最小值．
【分析】（1）过点O作OH⊥BC于点H，在Rt△OHB中，利用特殊角的三角函数值可以求解；
（2）过点F作FK⊥AE交AC于点K，过点K作KR⊥BC于点R，通过说明△ABE≌△CFE和△AFG≌△KFO，得出四边形EFKR为矩形．利用勾股定理和线段的和差可得结论；
（3）过点F作FK⊥AE交AC于点K，过点K作KR⊥BC于点R，连接A′F，A′P，FQ，利用△ABE～△CFE和△AFG～△KFO．得出比例式，再利用勾股定理和线段的和差得到AD＝4，AE＝2EC＝BC＝AD＝4，AF＝3．当且仅当F，A′，Q共线且FQ最小时，A′Q最小．由△DFQ的三边关系可知，DF为定值，可得当DQ最大时取得FQ的最小值即A′Q的最小值．由△AFP～△DPQ，得到DQ的关系式，利用配方法得出最值，结论可得．
解：（1）过点O作OH⊥BC于点H，如图：
∴∠OHC＝∠OHB＝90°．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO．
∴∠ADB＝∠OBC＝30°．
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°．
∵AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA＝45°．
∴∠HOC＝45°．
∴OH＝HC．
在Rt△OHB中，
∵∠OBE＝30°，∠OHC＝90°，
∴OH＝HC＝OB＝4，BH＝OH＝4．
∴BC＝BH+HC＝4+4．
（2）证明：过点F作FK⊥AE交AC于点K，过点K作KR⊥BC于点R，如图：
∴∠AFK＝90°，∠KRC＝∠KRE＝90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO，∠ADC＝∠ABC，AB∥CD，AB＝CD．
∴∠AEB＝∠EAD．
∵CF⊥CD，
∴∠FCD＝90°．
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝∠AEB＝90°．
∴∠EAD＝90°．
在四边形AFCD中，∠FAD+∠FCD＝180°，
∴∠ADC+∠AFC＝180°．
∵∠EFC+∠AFC＝180°，∠ADC＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠EFC．
∵CF＝CD，
∴AB＝CF．
在△ABE和△CFE中，
．
∴△ABE≌△CFE（AAS）．
∴AE＝CE，BE＝FE，∠FCE＝∠BAE．
∴∠EAC＝∠ECA＝45°．
∵∠AFK＝90°，
∴AF＝FK，FK∥CE．
∵∠OFG＝90°，
∴∠AFG＝∠OFK．
在△AFG和△KFO中，
．
∴△AFG≌△KFO（SAS）．
∴AG＝OK．
∵∠KFE＝∠AEC＝∠KRB＝90°，
∴四边形EFKR为矩形．
∴EF＝KR．
在Rt△KRC中，由勾股定理得：KC＝KR＝EF．
∴AC＝2OC＝2（OK+KC）＝2AG+2EF．
∴AD＝BC＝BE+EC＝EF+AC＝EF+（2AG+2EF）＝AG+3EF．
（3）过点F作FK⊥AE交AC于点K，过点K作KR⊥BC于点R，连接A′F，A′P，FQ，如图：
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°．
同（2）可得，∠ABC＝∠CFE，
∴△ABE～△CFE．
∴．
即2＝．
∴BE＝2EF．
同理，△AFG～△KFO．
∴．
即．
∴AF＝2KF，AG＝2KO．
∴AK＝FK．
∵△AFK～△AEC～△KRC，
∴CK＝KR＝EF，AC＝EC．
∴AD＝BC＝BE+EC
＝2FE+AC
＝2FE+OC
＝2EF+（KO+CK）
＝2FE+×（）
＝2EF+AG+EF
＝AG+3EF．
∵EF＝1，AG＝，
∴AD＝4，AE＝2EC＝BC＝AD＝4，AF＝3．
∵A′Q≥FQ﹣FA′＝FQ﹣3，
当且仅当F，A′，Q共线且FQ最小时，A′Q最小．
由△DFQ的三边关系可知，DF为定值，
∴当DQ最大时取得FQ的最小值即A′Q的最小值．
设AP＝x，则PD＝4﹣x，由于△AFP～△DPQ，
∴．
即．
∴DQ＝．
∵﹣1＜0，
∴当x＝2时，DQ的最小值为．
当x＝2时，AP＝PD＝A′P＝2，
∴Rt△PQA′≌Rt△PQD（HL）．
∴DQ＝A′Q．
∴A′Q的最小值是．
2021年重庆市九龙坡区中考数学一诊复习试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．下列各数中，﹣3的倒数是（ ）
A．3 B． C． D．﹣3
2．下列四个标志图中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，是由棱长都相等的四个小正方体组成的几何体．该几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．计算（4b）2正确的是（ ）
A．16b B．8b2 C．4b2 D．16b2
5．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知AB：DE＝1：3，且△ABC的周长为4，则△DEF的周长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．36
6．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠C＝63°，则∠DAB等于（ ）
A．27° B．54° C．37° D．63°
7．按如图所示的运算程序，能使输出结果为33的是（ ）
A．a＝3，b＝4 B．a＝2，b＝4 C．a＝4，b＝3 D．a＝5，b＝4
8．如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（ ）
A．7 B．6 C．﹣2 D．0
9．重庆实验外国语学校某数学兴趣小组，想测量华岩寺内七佛塔的高度，他们在点C处测得七佛塔顶部A处的仰角为45°，再沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡CD向上走了5.2米到达点D，此时测得七佛塔顶部A的仰角为37°，七佛塔AB所在平台高度EF为0.8米，则七佛塔AB的高约为（ ）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
A．20.8 B．21.6 C．23.2 D．24
10．若关于x的分式方程＝2有非负整数解，关于y的不等式组有且只有4个整数解，则所有符合条件的a的和是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2
11．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地．设甲、乙两车距A地的路程为y千米，甲车行驶的时间为x小时，y与x之间的关系如图所示，对于以下说法：①甲车从A地到达B地的行驶时间为2小时；②甲车返回时，y与x之间的关系式是y＝﹣100x+550；③甲车返回时用了3个小时；④乙车到达A地时，甲车距A地的路程是170千米．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
12．如图，在等腰△AOB中，AO＝AB，顶点A为反比例函数（其中x＞0）图象上的一点，点B在x轴正半轴上，过点B作BC⊥OB，交反比例函数的图象于点C，连接OC交AB于点D，若，则△BCD的面积为（ ）
A． B．6 C． D．5
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上。
13．2021年1月中旬石家庄市出现新冠病毒疫情反复后，全市立即启用了核酸检测信息统一平台，满足常态化核酸检测和短时间、大规模核酸检测要求．目前，通过该平台累计采样超过1280000人次，数据1280000用科学记数法可以表示为 ．
14．计算：＝ ．
15．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是 ．
16．如图，在矩形ABCD中，∠DBC＝30°，DC＝4，E为AD上一点，以点D为圆心，以DE为半径画弧，交BC于点F，若CF＝CD，则图中的阴影部分面积为 （结果保留π）．
17．如图，在△ABC中，点D是线段AB上的一点，过点D作DE∥AC交AC于点E，将△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，且点C恰好为线段B'D的中点，若B'C＝3，且tanB＝，则线段BE的长度为 ．
18．为了抵抗病毒的侵袭，某学校组织教师到社区卫生服务中心接种新冠病毒疫苗，由于疫苗数量有限，所以要分批进行接种．初中三个年级都有教师参加第一批疫苗接种，其中初一年级和初三年级参加疫苗接种的教师人数之比是3：4．第二批疫苗到货后，三个年级新增接种人数之比是5：6：2．增加后，初二年级接种总人数占这三个年级接种总人数之和的，并且增加后，初二和初三年级新增接种人数之和是这两个年级接种总人数之和的，则这三个年级第一批接种总人数与第二批接种总人数之比为 ．
三、解答题：（本大题共8个小题，19至25题每题10分，26题8分，共78分）解答时都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．计算：
（1）（2x﹣3）（2x+3）﹣（2x﹣1）2；
（2）．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．
（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．
①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；
②过点D作BC的垂线，垂足为点E．
（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．
21．为了解七年级学生的数学计算能力，我校对全体七年级同学进行了数学速算与巧算水平测试，数学组陈老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（满分100）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．50≤x＜60，B．60≤x＜70，C．70≤x＜80，D．80≤x＜90，E．90≤x≤100），绘制了如下不完整的统计图表：
（Ⅰ）收集、整理数据
20名男生的数学成绩分别为：
76，77，95，88，50，89，89，97，99，93，97，89，65，87，68，89，78，88，98，88
女生数学成绩在C组和D组的分别为：
73，74，74，74，74，76，83，88，89
（Ⅱ）分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：
成绩
平均数
中位数
众数
男生
85
88.5
b
女生
81.8
a
74
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）①补全频数分布直方图；
②填空：a＝ ，b＝ ；
（2）根据以上数据，你认为七年级学生是男生的数学计算成绩更好还是女生的数学计算成绩更好？判断并说明理由（一条理由即可）．
（3）如果我校七年级有男生900名，女生600名，请估计七年级数学计算成绩不低于80分的学生人数．
22．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，现在就一类特殊的函数展开探索：y＝x+，探索函数图象和性质过程如下：
x
…
﹣6
﹣4
﹣2
﹣1
﹣0.5
0.5
1
n
4
6
…
y
…
﹣
m
﹣4
﹣5
﹣
5
4
5
…
（1）上表是该函数y与自变量x的几组对应值，则a＝ ，m＝ ，n＝ ；
（2）如图，在平面直角坐标系中，已经描出了表中部分点，请根据描出的点画出该函数图象；
（3）由函数图象，写出该函数的一条性质： ；
（4）请在同一个平面直角坐标系中画出函数y＝2x的图象，并直接写出不等式x+≤2x的解集： ．
23．元宵节又称为灯节，是中国的传统节日之一．为庆祝元宵节，九龙坡区政府决定在彩云湖公园举办为期三天的元宵灯会．某经销商抓住商机销售元宵灯会中的“兔子灯”和“孔雀灯”，第一次果断购进“兔子灯”和“孔雀灯”共500个．其中“兔子灯”每个进价50元，售价100元；“孔雀灯”每个进价80元，售价100元．
（1）该经销商由于启动资金不足，第一次购进“兔子灯”和“孔雀灯”的金额不得超过34000元，则“兔子灯”至少购进多少个？
（2）灯会观看的人特别多，“兔子灯”和“孔雀灯”一经上市，十分抢手，该经销商决定第二次购进这两种商品，它们的进价不变．“兔子灯”的进货量在（1）的最少进货量基础上增加了2m%，售价比第一次提高了m%．“孔雀灯”的售价和第一次相同，进货量为300个．灯会最后一天，由于担心“孔雀灯”滞销，经销商在销售了90%的“孔雀灯”后决定降价促销，剩余“孔雀灯”全部五折出售．结果第二次销售完后，该经销商获利27000元，求m的值．
24．一个正整数p能写成p＝（m+n）（m﹣n）（m、n均为正整数，且m≠n），则称p为“平方差数”，m、n为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若m2+n2最大，则称m、n为p的最佳平方差变形，此时F（p）＝m2+n2．例如：24＝（7+5）（7﹣5）＝（5+1）（5﹣1），因为72+52＞52+12，所以7和5是24的最佳平方差变形，所以F（24）＝74．
（1）F（32）＝ ；
（2）若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x，y（1≤x≤y≤7），q为“平方差数”且x+y能被7整除，求F（q）的最小值．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C．
（1）求该抛物线解析式；
（2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）向右平移经过点Q，得到新抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），点E在新抛物线的对称轴上，是否存在平面内一点F，使得A，P，E，F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
26．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥CD交AE于点F，连接OF．以OF为直角边作Rt△OFG，其中∠OFG＝90°，连接AG．
（1）如图1，若∠EAB＝30°，OA＝2，AB＝6，则求CE的长度；
（2）如图2，若CF＝CD，∠FGO＝45°，求证：EC＝AG+2EF；
（3）如图3，动点P从点A运动到点D（不与点A、点D重合），连接FP，过点P作FP的垂线，又过点D作AD的垂线交FP的垂线于点Q，点A'是点A关于FP的对称点，连接A'Q．若AE＝2EC，FG＝2OF，EF＝1，AG＝，则在动点P的运动过程中，直接写出A'Q的最小值．
参考答案
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．下列各数中，﹣3的倒数是（ ）
A．3 B． C． D．﹣3
【分析】根据倒数定义，相乘得1的两个数互为倒数，即可得出答案．
解：∵相乘得1的两个数互为倒数，且﹣3×﹣＝1，
∴﹣3的倒数是﹣．
故选：B．
2．下列四个标志图中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
3．如图，是由棱长都相等的四个小正方体组成的几何体．该几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
解：从上面看，是一行3个小正方形，
故选：A．
4．计算（4b）2正确的是（ ）
A．16b B．8b2 C．4b2 D．16b2
【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
解：（4b）2＝16b2．
故选：D．
5．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知AB：DE＝1：3，且△ABC的周长为4，则△DEF的周长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．36
【分析】根据相似三角形的性质计算，得到答案．
解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，
∵AB：DE＝1：3，△ABC的周长为4，
∴△DEF的周长＝4×3＝12，
故选：B．
6．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠C＝63°，则∠DAB等于（ ）
A．27° B．54° C．37° D．63°
【分析】由圆周角定理可得∠ABD＝90°，即可求解．
解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵＝，
∴∠C＝∠D＝63°，
∴∠DAB＝90°﹣63°＝27°，
故选：A．
7．按如图所示的运算程序，能使输出结果为33的是（ ）
A．a＝3，b＝4 B．a＝2，b＝4 C．a＝4，b＝3 D．a＝5，b＝4
【分析】把各自的值代入运算程序中计算得到结果，即可作出判断．
解：A、把a＝3，b＝4代入运算程序中得：
∵a＜b，
∴y＝3a+2＝11，不符合题意；
B、把a＝2，b＝4代入运算程序中得：
∵a＜b，
∴y＝3a+2＝8，不符合题意；
C、把a＝4，b＝3代入运算程序中得：
∵a＞b，
∴y＝2b2+1＝19，不符合题意；
D、把a＝5，b＝4代入运算程序中得：
∵a＞b，
∴y＝2b2+1＝33，符合题意，
故选：D．
8．如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（ ）
A．7 B．6 C．﹣2 D．0
【分析】根据方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，得到α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，将α2+β﹣2αβ变形为α+β+2﹣2αβ后代入即可求值．
解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，
∴α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，
∴α2+β﹣2αβ＝α+2+β﹣2αβ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7，
故选：A．
9．重庆实验外国语学校某数学兴趣小组，想测量华岩寺内七佛塔的高度，他们在点C处测得七佛塔顶部A处的仰角为45°，再沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡CD向上走了5.2米到达点D，此时测得七佛塔顶部A的仰角为37°，七佛塔AB所在平台高度EF为0.8米，则七佛塔AB的高约为（ ）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
A．20.8 B．21.6 C．23.2 D．24
【分析】根据题意可得，∠AHC＝90°，∠ACH＝45°，AH＝HC，根据DN：NC＝i＝1：2.4，CD＝5.2，可得DN＝2，CN＝4.8，设DG⊥AB，垂足为G，在Rt△ADG中，∠ADG＝37°，根据锐角三角函数即可求出AB的大约高度．
解：根据题意可知：
∠AHC＝90°，∠ACH＝45°，
∴AH＝HC，
∵DN：NC＝i＝1：2.4，CD＝5.2米，
∴DN＝2米，CN＝4.8米，
设DG⊥AB，垂足为G，
在Rt△ADG中，∠ADG＝37°，
∵AG＝AB﹣GB＝AB﹣（DN﹣EF）＝AB﹣1.2，
又DG＝NH＝CN+HC＝4.8+AH＝4.8+AB+0.8＝AB+5.6，
∴tan∠ADG＝，
∴×（5.6+AB）≈AB﹣1.2，
解得AB＝21.6（米），
答：碧津塔AB的高约为21.6米．
故选：B．
10．若关于x的分式方程＝2有非负整数解，关于y的不等式组有且只有4个整数解，则所有符合条件的a的和是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2
【分析】不等式组变形后，根据不等式组有4个整数解确定出a的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有非负整数解，确定出满足条件a的值，进而求出之和．
解：解不等式组，
得，
∵不等式组有且只有4个整数解，
∴1＜≤2，
∴﹣3＜a≤1．
解分式方程，
得x＝3﹣a，
∵x＝3﹣a为非负整数，
∴﹣3＜a≤1，
∴a＝﹣2或﹣1或0或1，
∵a＝1时，x＝2，原分式方程无解，故将a＝1舍去，
∴所有满足条件的a的值之和是﹣2﹣1+0＝﹣3，
故选：A．
11．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地．设甲、乙两车距A地的路程为y千米，甲车行驶的时间为x小时，y与x之间的关系如图所示，对于以下说法：①甲车从A地到达B地的行驶时间为2小时；②甲车返回时，y与x之间的关系式是y＝﹣100x+550；③甲车返回时用了3个小时；④乙车到达A地时，甲车距A地的路程是170千米．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【分析】根据路程、速度、时间之间的关系，以及待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质等知识，即可一一判断．
解：①300÷（180÷1.5）＝2.5（小时），所以甲车从A地到达B地的行驶时间是2.5小时，故①错误；
②设甲车返回时y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式是y＝﹣100x+550，故②正确；
③5.5﹣2.5＝3，
∴甲车返回时用了3个小时，故③正确；
④乙车的速度为（300﹣180）÷1.5＝80（千米/小时），
300÷80＝3.75，
x＝3.75时，y＝﹣100×3.75+550＝175千米，
所以乙车到达A地时甲车距A地的路程是175千米，故④错误，
所以②③正确，
故选：B．
12．如图，在等腰△AOB中，AO＝AB，顶点A为反比例函数（其中x＞0）图象上的一点，点B在x轴正半轴上，过点B作BC⊥OB，交反比例函数的图象于点C，连接OC交AB于点D，若，则△BCD的面积为（ ）
A． B．6 C． D．5
【分析】本题通过过点A作AH⊥x轴于点H，进而求出AH＝12，进而求出反比例函数的解析式，在通过平行线分线段成比例定理求出EH＝3，AE＝9，设CD＝2x，则DE＝3x，CE＝OE＝5x，OC＝10x，进而求出面积即可．
解：过点A作AH⊥x轴于点H，AH交OC于点E，
∵OA＝AB，AH⊥OB，
∴2OH＝2BH＝OB＝8，OH＝BH＝4，
∵OA＝4＝，
∴AH＝12，
∵A（4，12），
∴k＝4×12＝48，
∴，
∵OB＝8，
∴C（8，6），
∵AH⊥x轴，BC⊥x轴，
∴AH∥BC，
由平行线分线段成比例得：，OE＝CE，，
∴EH＝3，AE＝AH﹣EH＝9，，
设CD＝2x，则DE＝3x，CE＝OE＝5x，OC＝10x．
∴，
所以三角形BCD的面积．
故选：C．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上。
13．2021年1月中旬石家庄市出现新冠病毒疫情反复后，全市立即启用了核酸检测信息统一平台，满足常态化核酸检测和短时间、大规模核酸检测要求．目前，通过该平台累计采样超过1280000人次，数据1280000用科学记数法可以表示为 1.28×106 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：将数据1280000用科学记数表示为1.28×106．
故答案为：1.28×106．
14．计算：＝ 3+3 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
解：原式＝3+2+1
＝3+3．
故答案为：3+3．
15．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是 ．
【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可．
解：列表如下
1
2
4
8
1
2
4
8
2
2
8
16
4
4
8
32
8
8
16
32
由表知，共有12种等可能结果，其中两次取出的小球上数字之积等于8的有4种结果，
所以两次取出的小球上数字之积等于8的概率为＝，
故答案为：．
16．如图，在矩形ABCD中，∠DBC＝30°，DC＝4，E为AD上一点，以点D为圆心，以DE为半径画弧，交BC于点F，若CF＝CD，则图中的阴影部分面积为 16﹣4π﹣8 （结果保留π）．
【分析】由矩形和含30°直角三角形的性质求出∠EDF的度数和AD的长度，由勾股定理求出DF，再求出矩形ABCD的面积，扇形DEF的面积，三角形DCF的面积，最后根据面积的和差即可求出阴影部分面积．
解：连接DF，
∵ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝∠ADC＝90°，AD∥BC，AB＝CD＝4，
∴∠ADB＝∠DBC＝30°，
∴BD＝2AB＝8，
∴AD＝AB＝4，
在Rt△CDF中，CF＝CD＝4，
∴∠CDF＝∠CFD＝45°，DF2＝CD2+CF2＝32，
∴∠EDF＝90°﹣45°＝45°，
∴S阴影＝S矩形ABCD﹣S扇形DEF﹣S△DCF＝AD•CD﹣﹣CD•CF＝4×4﹣﹣×4×4＝16﹣4π﹣8，
故答案为：16﹣4π﹣8．
17．如图，在△ABC中，点D是线段AB上的一点，过点D作DE∥AC交AC于点E，将△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，且点C恰好为线段B'D的中点，若B'C＝3，且tanB＝，则线段BE的长度为 10 ．
【分析】过点E作EH⊥DB′于H，设CH＝x．利用平行线分线段成比例定理，构建方程解决问题即可．
解：过点E作EH⊥DB′于H，设CH＝x．
由题意，CD＝DB′＝3，BD＝CB′＝6，
在Rt△B′EH中，tan∠B′＝tan∠B＝，
∴＝，
∴EH＝（x+3），
∵EH∥BD，
∴＝，
∴＝，
解得x＝，
∴EH＝2，B′H＝4，
∴BE＝EB′＝＝＝10．
故答案为：10．
18．为了抵抗病毒的侵袭，某学校组织教师到社区卫生服务中心接种新冠病毒疫苗，由于疫苗数量有限，所以要分批进行接种．初中三个年级都有教师参加第一批疫苗接种，其中初一年级和初三年级参加疫苗接种的教师人数之比是3：4．第二批疫苗到货后，三个年级新增接种人数之比是5：6：2．增加后，初二年级接种总人数占这三个年级接种总人数之和的，并且增加后，初二和初三年级新增接种人数之和是这两个年级接种总人数之和的，则这三个年级第一批接种总人数与第二批接种总人数之比为 36：13 ．
【分析】可设增加前初一年级参加疫苗接种的教师为3x人，则增加前初三年级参加疫苗接种的教师为4x人，设增加前初二年级参加疫苗接种的教师为y人，新增初一年级参加疫苗接种的教师为5z人，新增初二年级参加疫苗接种的教师为6z人，新增初三年级参加疫苗接种的教师为2z人，根据增加后，初二年级接种总人数占这三个年级接种总人数之和的，并且增加后，初二和初三年级新增接种人数之和是这两个年级接种总人数之和的，可得x＝2z，y＝22z，进一步求得这三个年级第一批接种总人数与第二批接种总人数之比．
解：设增加前初一年级参加疫苗接种的教师为3x人，则增加前初三年级参加疫苗接种的教师为4x人，设增加前初二年级参加疫苗接种的教师为y人，新增初一年级参加疫苗接种的教师为5z人，新增初二年级参加疫苗接种的教师为6z人，新增初三年级参加疫苗接种的教师为2z人，依题意有
＝①，
＝②，
由①得3y＝28x+10z，
由②得y＝30z﹣4x，
则x＝2z，y＝22z，
则＝＝．
故这三个年级第一批接种总人数与第二批接种总人数之比为36：13．
故答案为：36：13．
三、解答题：（本大题共8个小题，19至25题每题10分，26题8分，共78分）解答时都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．计算：
（1）（2x﹣3）（2x+3）﹣（2x﹣1）2；
（2）．
【分析】（1）根据平方差公式、完全平方公式可以解答本题；
（2）根据分式的加法和除法可以解答本题．
解：（1）（2x﹣3）（2x+3）﹣（2x﹣1）2
＝4x2﹣9﹣4x2+4x﹣1
＝4x﹣10；
（2）
＝
＝
＝
＝x﹣2．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．
（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．
①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；
②过点D作BC的垂线，垂足为点E．
（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．
【分析】（1）利用基本作图，先画出CD平分∠ACB，然后作DE⊥BC于E；
（2）利用CD平分∠ACB得到∠BCD＝45°，再判断△CDE为等腰直角三角形，所以DE＝CE，然后证明△BDE∽△BAC，从而利用相似比计算出DE．
解：（1）如图，DE为所作；
（2）∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB＝45°，
∵DE⊥BC，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴DE＝CE，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴DE＝．
21．为了解七年级学生的数学计算能力，我校对全体七年级同学进行了数学速算与巧算水平测试，数学组陈老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（满分100）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．50≤x＜60，B．60≤x＜70，C．70≤x＜80，D．80≤x＜90，E．90≤x≤100），绘制了如下不完整的统计图表：
（Ⅰ）收集、整理数据
20名男生的数学成绩分别为：
76，77，95，88，50，89，89，97，99，93，97，89，65，87，68，89，78，88，98，88
女生数学成绩在C组和D组的分别为：
73，74，74，74，74，76，83，88，89
（Ⅱ）分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：
成绩
平均数
中位数
众数
男生
85
88.5
b
女生
81.8
a
74
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）①补全频数分布直方图；
②填空：a＝ 79.5 ，b＝ 89 ；
（2）根据以上数据，你认为七年级学生是男生的数学计算成绩更好还是女生的数学计算成绩更好？判断并说明理由（一条理由即可）．
（3）如果我校七年级有男生900名，女生600名，请估计七年级数学计算成绩不低于80分的学生人数．
【分析】（1）①求出男生在80～90这组的频数即可；②根据中位数、众数的意义求解即可；
（2）从平均数、中位数、众数方面比较得出答案；
（3）求出男、女生成绩在80分及以上的人数即可．
解：（1）①20﹣1﹣2﹣3﹣6＝8（人），补全频数分布直方图如图所示：
②将20名女生的数学成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为＝79.5（分），因此中位数是79.5，即a＝79.5；
20名男生的数学成绩出现次数最多的是89分，共出现4次，因此众数是89，即b＝89；
（2）男生的计算能力更好，理由：男生的计算成绩的平均数、中位数、众数均比女生的高；
（3）900×+600×＝930（人），
答：七年级数学计算成绩不低于80分的学生人数大约有930人．
22．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，现在就一类特殊的函数展开探索：y＝x+，探索函数图象和性质过程如下：
x
…
﹣6
﹣4
﹣2
﹣1
﹣0.5
0.5
1
n
4
6
…
y
…
﹣
m
﹣4
﹣5
﹣
5
4
5
…
（1）上表是该函数y与自变量x的几组对应值，则a＝ 4 ，m＝ ﹣5 ，n＝ 2 ；
（2）如图，在平面直角坐标系中，已经描出了表中部分点，请根据描出的点画出该函数图象；
（3）由函数图象，写出该函数的一条性质： 该函数图象关于原点对称 ；
（4）请在同一个平面直角坐标系中画出函数y＝2x的图象，并直接写出不等式x+≤2x的解集： ﹣2≤x＜0或x≥2 ．
【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特征即可得到答案；
（2）描点、连线即可得到答案；
（3）从函数的对称性、增减性、最值等角度去描述函数的性质；
（4）数形结合即可得到答案．
解：（1）x＝﹣1时，y＝﹣5，
∴﹣1﹣a＝﹣5，
∴a＝4．
∴，
令x＝﹣4，得m＝﹣5，
令y＝4，得n＝2，
故答案为：4；﹣5；2．
（2）图象如图所示：
（3）该函数图象关于原点对称；当x＞2时，随x的增大而增大；当x＜﹣2时，随x的增大而增大，
（答案不唯一，写出一条即可）．
（4）图象如图所示；﹣2≤x＜0或x≥2．
解：两个函数的交点坐标为（﹣2，﹣4）和（2，4），数形结合可知不等式的解集为﹣2≤x＜0或x≥2．
故答案为：﹣2≤x＜0或x≥2．
23．元宵节又称为灯节，是中国的传统节日之一．为庆祝元宵节，九龙坡区政府决定在彩云湖公园举办为期三天的元宵灯会．某经销商抓住商机销售元宵灯会中的“兔子灯”和“孔雀灯”，第一次果断购进“兔子灯”和“孔雀灯”共500个．其中“兔子灯”每个进价50元，售价100元；“孔雀灯”每个进价80元，售价100元．
（1）该经销商由于启动资金不足，第一次购进“兔子灯”和“孔雀灯”的金额不得超过34000元，则“兔子灯”至少购进多少个？
（2）灯会观看的人特别多，“兔子灯”和“孔雀灯”一经上市，十分抢手，该经销商决定第二次购进这两种商品，它们的进价不变．“兔子灯”的进货量在（1）的最少进货量基础上增加了2m%，售价比第一次提高了m%．“孔雀灯”的售价和第一次相同，进货量为300个．灯会最后一天，由于担心“孔雀灯”滞销，经销商在销售了90%的“孔雀灯”后决定降价促销，剩余“孔雀灯”全部五折出售．结果第二次销售完后，该经销商获利27000元，求m的值．
【分析】（1）设“兔子灯”购进x个，则“孔雀灯”购进（500﹣x）个，根据总价＝单价×数量，结合第一次购进“兔子灯”和“孔雀灯”的金额不得超过34000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；
（2）根据利润＝销售收入﹣进货成本，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：（1）设“兔子灯”购进x个，则“孔雀灯”购进（500﹣x）个，
依题意得：50x+80（500﹣x）≤34000，
解得：x≥200．
答：“兔子灯”至少购进200个．
（2）依题意得：100（1+m%）×200（1+2m%）+100×300×90%+100×0.5×300×（1﹣90%）﹣50×200（1+2m%）﹣80×300＝27000，
整理得：m2+100m﹣3125＝0，
解得：m1＝25，m2＝﹣125（不合题意，舍去）．
答：m的值为25．
24．一个正整数p能写成p＝（m+n）（m﹣n）（m、n均为正整数，且m≠n），则称p为“平方差数”，m、n为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若m2+n2最大，则称m、n为p的最佳平方差变形，此时F（p）＝m2+n2．例如：24＝（7+5）（7﹣5）＝（5+1）（5﹣1），因为72+52＞52+12，所以7和5是24的最佳平方差变形，所以F（24）＝74．
（1）F（32）＝ 130 ；
（2）若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x，y（1≤x≤y≤7），q为“平方差数”且x+y能被7整除，求F（q）的最小值．
【分析】（1）32＝（9+7）（9﹣7）＝（6+2）（6﹣2），根据F（q）的定义即可得到答案；
（2）根据题意对x、y的取值进行分类讨论，再根据F（q）的定义即可得到答案．
解：（1）130；
解析：32＝（9+7）（9﹣7）＝（6+2）（6﹣2）．
∵92+72＞62+22，
∴F（32）＝92+72＝130，
故答案为：130．
（2）∵x+y能被7整除，1≤x≤y≤7，
∴x+y＝7或x+y＝14，
∴或或或，
当x＝1，y＝6时，q＝16＝（5+3）（5﹣3），F（q）＝52+32＝34；
当x＝2，y＝5时，q＝25＝（13+12）（13﹣12），F（q）＝132+122＝313；
当x＝3，y＝4时，q＝34，此时q不是平方差数，不符合题意；
当x＝7，y＝7时，q＝77＝（39+38）（39﹣38）＝（9+2）（9﹣2），
∵392+382＞92+22，
∴F（q）＝392+382＝2965．
∵34＜313＜2965，
∴F（q）的最小值为34．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C．
（1）求该抛物线解析式；
（2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）向右平移经过点Q，得到新抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），点E在新抛物线的对称轴上，是否存在平面内一点F，使得A，P，E，F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）如图，连接BC，OP，设P（m，m2﹣m﹣2）．由CQ∥PB，推出S△PBQ＝S△PBC＝S△POC+S△POB﹣S△OBC＝×2×m+×4×（﹣m2+m+2）﹣×2×4＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，利用二次函数的性质求解即可．
（3）如图2中，过点P作PH⊥AB于H，过点P作新抛物线的对称轴l的垂线垂足为J，设直线l与x轴的交点为T，过点A作AE⊥AP交新抛物线的对称轴于E′，可得矩形AE′F′P．利用特殊三角形的性质求出点E′的坐标，再利用平移的性质，可得结论．过点P作PE⊥PA，交直线l于E，可得矩形APEF，过点P作PJ⊥直线l于J，同法可得点F的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B（4，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
（2）如图，连接BC，OP，设P（m，m2﹣m﹣2）．
∵CQ∥PB，
∴S△PBQ＝S△PBC＝S△POC+S△POB﹣S△OBC＝×2×m+×4×（﹣m2+m+2）﹣×2×4＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴m＝2时，△PBQ的面积的最大值为4，
∴P（2，﹣3）．
（3）存在．
理由：如图2中，过点P作PH⊥AB于H，过点P作新抛物线的对称轴l的垂线垂足为J，设直线l与x轴的交点为T，过点A作AE⊥AP交新抛物线的对称轴于E′，可得矩形AE′F′P．
∵P（2，﹣3），B（4，0），
∴直线PB的解析式为y＝x﹣6，
∵CQ∥PB，
∴CQ的解析式为y＝x﹣2，
∴Q（，0），
∴AQ＝1+＝，
∴平移后的抛物线的对称轴x＝，
∴AT＝，
∵PH⊥AH，AH＝PH＝3，
∴∠HAP＝∠APH＝45°，
∴AT＝TE′＝，
∴E′（，），
∵PA＝E′F′，PA∥E′F′，
∴点E′向右平移3个单位，向下平移3个单位得到F′，
∴F′（，），
过点P作PE⊥PA，交直线l于E，可得矩形APEF，过点P作PJ⊥直线l于J，
同法可得，PJ＝EJ＝，
∴E（，﹣），
∵PA＝EF，PA∥EF，
∴点E向左平移3个单位，向上平移3个单位得到F，
∴F（，）．
综上所述，满足条件的点F的坐标为（，）或（，）．
26．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥CD交AE于点F，连接OF．以OF为直角边作Rt△OFG，其中∠OFG＝90°，连接AG．
（1）如图1，若∠EAB＝30°，OA＝2，AB＝6，则求CE的长度；
（2）如图2，若CF＝CD，∠FGO＝45°，求证：EC＝AG+2EF；
（3）如图3，动点P从点A运动到点D（不与点A、点D重合），连接FP，过点P作FP的垂线，又过点D作AD的垂线交FP的垂线于点Q，点A'是点A关于FP的对称点，连接A'Q．若AE＝2EC，FG＝2OF，EF＝1，AG＝，则在动点P的运动过程中，直接写出A'Q的最小值．
【分析】（1）过点O作OH⊥BC于点H，在Rt△OHB中，利用特殊角的三角函数值可以求解；
（2）过点F作FK⊥AE交AC于点K，过点K作KR⊥BC于点R，通过说明△ABE≌△CFE和△AFG≌△KFO，得出四边形EFKR为矩形．利用勾股定理和线段的和差可得结论；
（3）过点F作FK⊥AE交AC于点K，过点K作KR⊥BC于点R，连接A′F，A′P，FQ，利用△ABE～△CFE和△AFG～△KFO．得出比例式，再利用勾股定理和线段的和差得到AD＝4，AE＝2EC＝BC＝AD＝4，AF＝3．当且仅当F，A′，Q共线且FQ最小时，A′Q最小．由△DFQ的三边关系可知，DF为定值，可得当DQ最大时取得FQ的最小值即A′Q的最小值．由△AFP～△DPQ，得到DQ的关系式，利用配方法得出最值，结论可得．
解：（1）过点O作OH⊥BC于点H，如图：
∴∠OHC＝∠OHB＝90°．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO．
∴∠ADB＝∠OBC＝30°．
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°．
∵AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA＝45°．
∴∠HOC＝45°．
∴OH＝HC．
在Rt△OHB中，
∵∠OBE＝30°，∠OHC＝90°，
∴OH＝HC＝OB＝4，BH＝OH＝4．
∴BC＝BH+HC＝4+4．
（2）证明：过点F作FK⊥AE交AC于点K，过点K作KR⊥BC于点R，如图：
∴∠AFK＝90°，∠KRC＝∠KRE＝90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO，∠ADC＝∠ABC，AB∥CD，AB＝CD．
∴∠AEB＝∠EAD．
∵CF⊥CD，
∴∠FCD＝90°．
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝∠AEB＝90°．
∴∠EAD＝90°．
在四边形AFCD中，∠FAD+∠FCD＝180°，
∴∠ADC+∠AFC＝180°．
∵∠EFC+∠AFC＝180°，∠ADC＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠EFC．
∵CF＝CD，
∴AB＝CF．
在△ABE和△CFE中，
．
∴△ABE≌△CFE（AAS）．
∴AE＝CE，BE＝FE，∠FCE＝∠BAE．
∴∠EAC＝∠ECA＝45°．
∵∠AFK＝90°，
∴AF＝FK，FK∥CE．
∵∠OFG＝90°，
∴∠AFG＝∠OFK．
在△AFG和△KFO中，
．
∴△AFG≌△KFO（SAS）．
∴AG＝OK．
∵∠KFE＝∠AEC＝∠KRB＝90°，
∴四边形EFKR为矩形．
∴EF＝KR．
在Rt△KRC中，由勾股定理得：KC＝KR＝EF．
∴AC＝2OC＝2（OK+KC）＝2AG+2EF．
∴AD＝BC＝BE+EC＝EF+AC＝EF+（2AG+2EF）＝AG+3EF．
（3）过点F作FK⊥AE交AC于点K，过点K作KR⊥BC于点R，连接A′F，A′P，FQ，如图：
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°．
同（2）可得，∠ABC＝∠CFE，
∴△ABE～△CFE．
∴．
即2＝．
∴BE＝2EF．
同理，△AFG～△KFO．
∴．
即．
∴AF＝2KF，AG＝2KO．
∴AK＝FK．
∵△AFK～△AEC～△KRC，
∴CK＝KR＝EF，AC＝EC．
∴AD＝BC＝BE+EC
＝2FE+AC
＝2FE+OC
＝2EF+（KO+CK）
＝2FE+×（）
＝2EF+AG+EF
＝AG+3EF．
∵EF＝1，AG＝，
∴AD＝4，AE＝2EC＝BC＝AD＝4，AF＝3．
∵A′Q≥FQ﹣FA′＝FQ﹣3，
当且仅当F，A′，Q共线且FQ最小时，A′Q最小．
由△DFQ的三边关系可知，DF为定值，
∴当DQ最大时取得FQ的最小值即A′Q的最小值．
设AP＝x，则PD＝4﹣x，由于△AFP～△DPQ，
∴．
即．
∴DQ＝．
∵﹣1＜0，
∴当x＝2时，DQ的最小值为．
当x＝2时，AP＝PD＝A′P＝2，
∴Rt△PQA′≌Rt△PQD（HL）．
∴DQ＝A′Q．
∴A′Q的最小值是．
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