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2021高考数学二轮复习专题八跟踪训练2
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这是一份2021高考数学二轮复习专题八跟踪训练2，共3页。
(1)解不等式f(x)>4；
(2)若∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(3,2)))，不等式a＋1[解] (1)∵f(x)＝|2x＋3|＋|x－1|，
∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3x－2，x<－\f(3,2)，,x＋4，－\f(3,2)≤x≤1，,3x＋2，x>1，))
f(x)>4⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(3,2)，,－3x－2>4))
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)≤x≤1，,x＋4>4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>1，,3x＋2>4))
⇔x<－2或01.
∴不等式f(x)>4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．
(2)由(1)知，当x<－eq \f(3,2)时，f(x)＝－3x－2，
∵当x<－eq \f(3,2)时，f(x)＝－3x－2>eq \f(5,2)，
∴a＋1≤eq \f(5,2)，即a≤eq \f(3,2).
∴实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))).
2．(2018·河南新乡二模)已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3.
(1)求不等式f(x)≤2的解集；
(2)若直线y＝kx－2与函数f(x)的图象有公共点，求k的取值范围．
[解] (1)由f(x)≤2，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤1，,2－2x≤2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1(2)f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－2x，x≤1，,0，1作出函数f(x)的图象，如图所示，
易知直线y＝kx－2过定点C(0，－2)，
当此直线经过点B(4,0)时，k＝eq \f(1,2)；
当此直线与直线AD平行时，k＝－2.
故由图可知，k∈(－∞，－2)∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
3．(2018·大庆二模)已知f(x)＝|x＋3|＋|x－1|，g(x)＝－x2＋2mx.
(1)求不等式f(x)>4的解集；
(2)若对任意的x1，x2，f(x1)≥g(x2)恒成立，求m的取值范围．
[解] (1)解法一：不等式f(x)>4即|x＋3|＋|x－1|>4.
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥1，,x＋3＋x－1>4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－34))
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－3，,－3－x＋1－x>4，))
解得x<－3或x>1，所以不等式的解集为{x|x<－3或x>1}．
解法二：|x＋3|＋|x－1|≥|x＋3－(x－1)|＝4，
当且仅当(x＋3)(x－1)≤0，即－3≤x≤1时，等号成立．
所以不等式的解集为{x|x<－3或x>1}．
(2)依题意可知f(x)min≥g(x)max，
由(1)知f(x)min＝4，
因为g(x)＝－x2＋2mx＝－(x－m)2＋m2，
所以g(x)max＝m2.
由m2≤4得m的取值范围是－2≤m≤2.
4．(2018·西安一模)设a、b为正实数，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2eq \r(2).
(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．
[解] (1)由2eq \r(2)＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(1,ab))得ab≥eq \f(1,2)，
当a＝b＝eq \f(\r(2),2)时取等号．
故a2＋b2≥2ab≥1，当a＝b＝eq \f(\r(2),2)时取等号．
所以a2＋b2的最小值是1.
(2)由eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2eq \r(2)可得a＋b＝2eq \r(2)ab，
∵(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝8a2b2－4ab≥4(ab)3，
∴(ab)2－2ab＋1≤0，即(ab－1)2≤0，
∴ab－1＝0，即ab＝1.
(1)解不等式f(x)>4；
(2)若∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(3,2)))，不等式a＋1
∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3x－2，x<－\f(3,2)，,x＋4，－\f(3,2)≤x≤1，,3x＋2，x>1，))
f(x)>4⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(3,2)，,－3x－2>4))
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)≤x≤1，,x＋4>4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>1，,3x＋2>4))
⇔x<－2或0
∴不等式f(x)>4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．
(2)由(1)知，当x<－eq \f(3,2)时，f(x)＝－3x－2，
∵当x<－eq \f(3,2)时，f(x)＝－3x－2>eq \f(5,2)，
∴a＋1≤eq \f(5,2)，即a≤eq \f(3,2).
∴实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))).
2．(2018·河南新乡二模)已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3.
(1)求不等式f(x)≤2的解集；
(2)若直线y＝kx－2与函数f(x)的图象有公共点，求k的取值范围．
[解] (1)由f(x)≤2，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤1，,2－2x≤2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1
易知直线y＝kx－2过定点C(0，－2)，
当此直线经过点B(4,0)时，k＝eq \f(1,2)；
当此直线与直线AD平行时，k＝－2.
故由图可知，k∈(－∞，－2)∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
3．(2018·大庆二模)已知f(x)＝|x＋3|＋|x－1|，g(x)＝－x2＋2mx.
(1)求不等式f(x)>4的解集；
(2)若对任意的x1，x2，f(x1)≥g(x2)恒成立，求m的取值范围．
[解] (1)解法一：不等式f(x)>4即|x＋3|＋|x－1|>4.
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥1，,x＋3＋x－1>4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－3，,－3－x＋1－x>4，))
解得x<－3或x>1，所以不等式的解集为{x|x<－3或x>1}．
解法二：|x＋3|＋|x－1|≥|x＋3－(x－1)|＝4，
当且仅当(x＋3)(x－1)≤0，即－3≤x≤1时，等号成立．
所以不等式的解集为{x|x<－3或x>1}．
(2)依题意可知f(x)min≥g(x)max，
由(1)知f(x)min＝4，
因为g(x)＝－x2＋2mx＝－(x－m)2＋m2，
所以g(x)max＝m2.
由m2≤4得m的取值范围是－2≤m≤2.
4．(2018·西安一模)设a、b为正实数，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2eq \r(2).
(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．
[解] (1)由2eq \r(2)＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(1,ab))得ab≥eq \f(1,2)，
当a＝b＝eq \f(\r(2),2)时取等号．
故a2＋b2≥2ab≥1，当a＝b＝eq \f(\r(2),2)时取等号．
所以a2＋b2的最小值是1.
(2)由eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2eq \r(2)可得a＋b＝2eq \r(2)ab，
∵(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝8a2b2－4ab≥4(ab)3，
∴(ab)2－2ab＋1≤0，即(ab－1)2≤0，
∴ab－1＝0，即ab＝1.
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