江西省南昌二中2020届高三线上教学质量检测数学（文科）试题

这是一份江西省南昌二中2020届高三线上教学质量检测数学（文科）试题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
南昌二中2020届高三线上教学质量检测数学（文）试卷第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（ ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先解不等式得集合A，再求定义域得集合B，最后根据补集与交集定义得结果.【详解】或故选：B【点睛】本题考查补集与交集、解含绝对值不等式、函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.2.复数纯虚数，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据为纯虚数，求得，由此求得.【详解】由于是纯虚数，所以，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查纯虚数的知识，属于基础题.3.甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n的比值A.  B.  C. 2 D. 3【答案】A【解析】分析：根据茎叶图得到甲乙两组数的中位数和平均数，根据题意求出的值，然后可得所求．详解：由题意得，甲组数据为：；乙组数据为：．∴甲、乙两组数据的中位数分别为，且甲、乙两组数的平均数分别为．由题意得，解得，∴．故选A．点睛：茎叶图的优点是保留了原始数据的所有特征，且便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．茎叶图和平均数、方差、众数、中位数等数字特征常结合在一起，考查学生的数据分析能力和运算能力．4.在等差数列中，，表示数列的前项和，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用等差中项的性质求得的值，然后利用等差数列的求和公式以及等差中项的性质可求得的值.【详解】由等差中项的性质可得，则，因此，.故选：B【点睛】本题考查等差中项性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题.5.已知，，直线：，：，且，则的最小值为（    ）A. 2 B. 4 C. 8 D. 9【答案】C【解析】【分析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可.【详解】因为，所以，即，因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8.故选：C.【点睛】本题考查垂直直线的性质，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.6.执行如图所示的程序框图，输出S的值是（    ）A. 0 B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S＝tan+tan+tan+…+tan+tan的值，利用正切函数的周期性即可计算求值．【详解】模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S＝tan+tan+tan+…+tan+tan的值，由于tan+tan+tan＝0，k∈Z，且2017＝3×672+1，所以S＝（tan+tan+tan）+…+（tan+tan+tan）+ tan＝0+0+…+0+ tan＝tan=．故选：C．【点睛】本题考查程序框图的应用问题，也考查正切函数求值的应用问题，属于基础题．7.圆柱的底面半径为r，侧面积是底面积的4倍.O是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点P，则使的概率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先求出圆柱的底面半径与高的关系，再根据圆柱体积公式、球体积公式求概率.【详解】设圆柱的高为h，因为侧面积是底面积的4倍，所以因此的概率为故选：C【点睛】本题考查几何概型概率、圆柱体积公式与侧面积公式、球体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题.8.下列四个命题中，正确的有（    ）①两个变量间的相关系数r越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题“，使得”的否定是：“对，均有”；③命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件；④若函数在有极值0，则，或，.A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】A【解析】【分析】根据相关系数的定义可知①错误；根据特称命题（又叫存在性命题）的否定可知②错误；根据真值表即可判断“为真”是命题“为真”的充分不必要条件，故③错误；由条件可得， 解得a=2,b=9或a=1,b=3,经检验，当a=1,b=3时，恒成立，此时没有极值点，故④错误。【详解】对于①：相关系数r的绝对值越趋近于1，相关性越强；越趋近于0，相关性越弱，故①错误；对于②，命题“，使得”的否定是：“对，均有”，故②错误；对于③：若为真，则p、q均为真命题，此时为真，故命题“为真”是命题“为真”的充分条件，故③错误；对于④; ,因为在 有极值0，故 ，解得 ，或  经检验，当a=2,b=9时， ，此时在 处取得极小值，符合条件；当a=1,b=3时，恒成立，此时没有极值点，故不符合条件；所以a=2,b=9.故④错误.故选:A【点睛】本题考查了相关系数的概念，特称命题的否定，复合命题的真值表以及导数的应用，对第四个命题中利用导数求出a,b的值后续进行检验。9.已知x，y满足区域D：，则的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据线性规划得到的取值范围，将所求表达式写为的形式，结合函数的性质求解即可.【详解】作出不等式组所表示的区域如图所示：由得，即点坐标为；由得，即点坐标为；令，则，，原式，由对勾函数的性质可得：当时，最小，最小值为而当时，，当时，，即最大值为1；所以的取值范围是，故选：C.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划中最值的求法，将表达式利用表示是解题的关键，属于中档题.10.函数的图象大致为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先确定函数奇偶性，舍去A，再根据函数值以及趋势舍去BC,即得结果.【详解】为奇函数，舍去A;时舍去B;舍去C故选：D【点睛】本题考查函数图象识别、函数奇偶性判断，考查基本分析判断能力，属基础题.11.已知抛物线，焦点为，圆，过的直线与交于、两点（点在第一象限），且，直线与圆相切，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】设点、，可得，且，由结合向量的坐标运算以及可求得点的坐标，进而可求得直线的方程，由直线与圆相切，得出圆心到直线的距离等于圆的半径，由此可求得实数的值.【详解】抛物线的焦点为，设点、，则，且，由得，，由，即，即，可得，，所以，点的坐标为，直线的斜率为，则直线的方程为，即，将圆的方程写为标准式得，则，可得.由于直线与圆相切，则，解得，合乎题意.故选：B.【点睛】本题考查利用直线与圆相切求参数，同时也考查了利用抛物线中向量共比例关系求直线方程，考查计算能力，属于中等题.12.若函数在其定义域上有两个零点，则的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】求得函数的定义域与导数，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，求得该函数的极值，结合函数的零点个数得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】函数的定义域为，.（1）当时，对任意的，，若，则；若，则.此时，函数单调递减区间为，单调递增区间为.当时，；当时，.由于函数在其定义域上有两个零点，则，解得；（2）当时，令，可得，.①若，即当时，对任意的，恒成立，所以，函数在定义域上单调递减，至多一个零点，不合乎题意；②若，即当时，令，得或；令，得.此时，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为.当时，；当时，.则有或，若，则，舍去；若，令，令，其中..当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.所以，，则方程无解；③若，即当时，令，得或；令，得.此时，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为.当时，；当时，.则有或，若，则，舍去；若，令，令，其中.，所以，函数在区间上单调递减，所以，，此时方程无解.综上所述，实数的取值范围是.故选：A.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，利用导数分析函数的单调性与极值是解答的关键，考查分类讨论思想的应用，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．13.已知某三棱锥的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的体积为________.【答案】【解析】【分析】根据三视图可知几何体为底面是斜边为2的等腰直角三角形且一条侧棱垂直于底面的三棱锥，根据三棱锥性质求出外接球半径即可求出球的体积.【详解】由三视图知:几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为2,底面为等腰直角三角形，如图: △ABC为等腰直角三角形，D为AC的中点，D为△ABC外接圆的圆心，平面SAC⊥平面ABC,在平面SAC中，过D作DH⊥AC,则外接球的球心在DH上，设球心为O，则OA=OB=OC=OS, 故外接球半径,所以外接球的体积,故答案为：【点睛】本题考查了由三视图求几何体的外接球的体积，考查了学生的空间想象能力，根据三视图判断几何体的性质是关键，属于中档题.14.已知中，，，，E、F分别为边上三等分点，则________.【答案】.【解析】【分析】由向量的运算法则，求得，，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由向量的运算法则，可得，，所以.故答案：.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15.若数列的前n项和为，对任意正整数n都有，记，则数列的前50项的和为________.【答案】【解析】【分析】由，求出，得到的递推公式，求出的通项公式，进而求出通项公式，用裂项相消法求出数列的前50和.【详解】数列的前n项和为，对任意正整数n都有，①当时，，当时，，②，①②得，，是首项为，公比为的等比数列，，，.
故答案为：【点睛】本题考查数列的前项和与通项公式的关系、利用定义求等比数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和，考查计算求解能力，属于中档题.16.如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形, 在大正方形内随机取一点, 这一点落在小正方形内的概率为,若直角三角形的两条直角边的长分别为,则________. 【答案】【解析】分析：根据几何概型的意义，求出三角形的面积和大正方形的面积，根据题中的概率得到关于的方程，解方程可得结论．详解：由题意得大正方形的面积为，每个阴影三角形的面积为．∵在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，∴，整理得，∴，解得或．又，∴．点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷、直观的方法．解答此类问题的关键是用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，以及事件A发生所包含的试验结果表示的的区域，然后利用几何概型概率公式求解即可．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内．17.已知各项都不相等的等差数列中，，又，，成等比数列. （1）求数列的通项公式；（2）若函数，，的一部分图像如图所示，，为图像上的两点，设，其中O为坐标原点，，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由条件设公差为，则有和，从而可求，进而可得数列的通项公式；（2）由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，在中，再利用余弦定理求出的值，再利用两角和的余弦公式，求出的值【详解】解：（1）设等差数列的公差为，因为，所以，因为，，成等比数列，所以，即，化简得，因为，所以，所以解得，所以，（2）由题可知，， ，因为，为图像上的两点，所以结合五点法作图可得，，求得，所以 ，在中，，由余弦定理得，，因为，所以，所以【点睛】此题考查等差数列，等比数列，由函数的部分图像求解析式，考查了余弦定理、两角和的余弦公式，属于中档题.18.某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：（1）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为，求事件“均小于25”的概率；（2）请根据3月2日至3月4日的数据，求出关于的线性回归方程.（参考公式：回归直线方程，其中，）【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）利用已知条件写出构成的所有基本事情，找出其中均小于25的，利用古典概型可得；（2）利用所给公式和数据代入求值，后可得关于的线性回归方程．试题解析：（1）m，n构成的基本事件（m，n）有：（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16），共有10个．其中“m，n均小于25”的有1个，其概率为．（2） ．    于是， 故所求线性回归方程为．点睛：本题主要考查古典概型. 求古典概型的一般为:首先读题,理清题意;再判断试验结果是否为等可能事件,设出所求事件;然后分别求出基本事件总数与所求事件所包含的基本事件的个数.最后利用公式,求出事件的概率.在求的过程中一般会用到排列组合,一些背景较为简单,基本事件个数不是太大的概率问题,计数时可用枚举法.一定要注意计数时不能重复,遗漏.19.如图甲，在平面四边形中，已知，，，，现将四边形沿折起，使平面平面（如图乙），设点E、F分别为棱、的中点.（I）求证：平面；（II）设，求三棱锥夹在平面与平面间的体积.【答案】（1）见解析，（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，可得，又，由此能证明平面；（2）三棱锥夹在平面与平面间的体积等于三棱锥的体积减去三棱锥的体积，而三棱锥的体积，由此求出结果.【详解】（1）证明：在图甲中，因为，，所以，所以，在图乙中，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以，因为，所以，因为，所以平面，（2）解：因为，点E、F分别为棱、的中点，所以∥，，因为平面，所以平面，在图甲中， 因为， ，所以，因为，所以，所以，，所以，， 所以所求几何体的体积为【点睛】此题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，属于中档题.20.已知点M为椭圆（）上一个动点，且点M到两焦点的距离之和为4，离心率为，且点M与点N关于原点O对称.（I）求椭圆的方程；（II）过点M作椭圆的切线l与圆C：相交于A，B两点，当的面积最大时，求直线l的方程.【答案】（I）；（II）或或或.【解析】【分析】（I）首先由椭圆的定义求出a，然后根据离心率求出c，再结合求出b，从而得到椭圆方程；（II）设直线l的方程为，然后联立椭圆的方程，利用，得到k和m的关系式，再根据直线l与椭圆相切，利用点到直线的距离公式与弦长公式得到的表达式，从而由面积最大求出k和m的值，进而得到直线l的方程.详解】（I）由题易得，所以，由，得，由，得，所以椭圆的方程为；（II）当直线l的斜率不存在时，显然不符合题意，设直线l的方程为，由得：，因为直线l与椭圆相切，所以，所以，因为原点O到直线l的距离，所以，所以，当，即时，有最大值4，此时，即，由，解得，所以直线l的方程为：或或或.【点睛】本题考查椭圆的定义与几何性质，考查直线与圆的位置关系，考查直线与椭圆的位置关系，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.21.已知函数，（1）求函数在点处的切线方程；（2）当时，求函数在区间上的最小值.【答案】（1）（2）答案不唯一，详见解析【解析】【分析】（1）根据导数求出切线的斜率，即可写出切线方程；（2）求出导数，根据导数与0的关系可得单调区间，分类讨论与的大小关系，即可利用单调性求出最小值.【详解】（1）因为，所以所以，又，所以切线方程为，即切线方程为.（2）由题意可知，则，，，令，可得，函数在单调递减，在单调递增，①当，即时，在单调递减，在单调递增，②当，即时，在区间上是减函数，，综上，当时，，当时，.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，求切线方程，利用导数求函数的单调区间，求函数的最值，考查了分类讨论思想，属于难题.请考生在第22-23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做得第一题记分.作答时请写清题号.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.（1）求圆的圆心到直线的距离；（2）设圆与直线交于点，，若点的坐标为，求.【答案】（1）；（2）【解析】【详解】【详解】（1）直线的参数方程为（为参数），消去参数，得到直线方程为，，，圆心，圆的圆心到直线的距离为；（2）将直线的参数方程代入圆方程得，即，由于，可设为上述方程的两根， 所以，又直线过点，所以由上式及的几何意义，得.选修4-5：不等式选讲23.（I）已知非零常数a、b满足，求不等式的解集；（II）若，恒成立，求常数m的取值范围.【答案】（I）当时，不等式的解集为R; 当时，不等式解集为；（II）【解析】【分析】（I）先化简条件，分类讨论，再解含绝对值不等式得结果；（II）先根据范围化简不等式，再根据恒成立转化函数最值，即得结果.【详解】（I）或当时当时或，即或因此：当时，不等式的解集为R; 当时，不等式解集为；（II）或即或对恒成立因此或，即【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式、不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题.