江西省南昌市第二中学2020届高三第四次月考数学（文）试题 Word版含解析

2019-2020学年江西省南昌二中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题）

1. 已知集合，0，1，，则

A.  B.
C.  D. 0，1，

A.  B.  C.  D.

3. 如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是

A.  B. 33  45  35 C.  D.

4. 若，则

A.  B.  C.  D.

5. 已知平面向量的夹角为，且，，则

A.  B. 2 C.  D.

6. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为

A.  B.  C.  D.

7. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的y值的取值范围是
    

A. 或 B.
C. 或 D. 或

8. 观察下列各式：，，，，，，则

A. 322 B. 521 C. 123 D. 199

9. 已知，若存在三个不同实数a，b，c使得，则abc的取值范围是

A.  B.  C.  D.

10. 设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，已知，设D是BC边的中点，且的面积为，则等于

A. 2 B. 4 C.  D.

11. 已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，，，，面ABCD，则球O的体积为

A.  B.  C.  D.

12. 已知椭圆E：的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：交椭圆E于A，B两点，若，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是    

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题）

13. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为______．
14. 已知，为第二象限的角，，则的值为______．
15. 设是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有，当时，，若函数且在上有且仅有三个零点，则a的取值范围为______．
16. 已知实数x，y满足，则的最大值是_________．

三、解答题（本大题共7小题）

17. 2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：，，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图．
     

试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；

若从样本中年龄在的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；

已知该小区年龄在内的总人数为2000，若18岁以上含18岁为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．






 

18. 已知数列的各项均为正数，且，．
    求数列的通项公式；
    若，求数列的前n项和．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，且底面ABCD．
    证明：平面PBD；
    若Q为PC的中点，求三棱锥的体积．

20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为1．
    
    求椭圆的标准方程；
    若P为椭圆上的一点点P不在y轴上，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知函数．
    Ⅰ设，曲线在点处的切线在y轴上的截距为b，求b的最小值；
    Ⅱ若只有一个零点，求实数a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在直角坐标系xOy中，曲线的方程为以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
    求的直角坐标方程；
    若与有且仅有三个公共点，求的方程．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知函数．
    Ⅰ求不等式的解集；
    Ⅱ设函数的最小值为m，当a，b，，且时，求的最大值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：集合，0，1，，
则．
故选：A．
直接利用集合的交集的运算法则求解即可．
本题考查集合的基本运算，交集的求法，是基本知识的考查．
2.【答案】D
 

【解析】【分析】
本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基本知识的考查．
利用复数的除法的运算法则化简求解即可．
【解答】

解：．
故选：D．

3.【答案】B
 

【解析】解：从茎叶图中知共16个数据，按照从小到大排序后中间的两个数据为32、34，
所以这组数据的中位数为33；
45出现的次数最多，所以这组数据的众数为45；
最大值是47，最小值是12，故极差是：35，
故选：B．
根据中位数，众数以及极差的概念以及茎叶图中的数据，求出相应的数据即可．
本题考查了茎叶图的应用以及中位数、众数以及极差的求法问题，求中位数时，要把数据从小到大排好，再确定中位数，也要注意数据的个数．
4.【答案】B
 

【解析】【分析】
本题考查二倍角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是基础题．
根据能求出结果．
【解答】
解：，
．
故选B．
5.【答案】A
 

【解析】解：由，得：
，
即：，
解得：．
故选：A．
将进行平方运算可化为关于的方程，解方程求得结果．
本题考查了利用平面向量的数量积求模长的计算问题，是基础题．
6.【答案】D
 

【解析】【分析】
本题考查等比数列的通项公式的求法，考查计算能力．
利用等比数列的通项公式，转化求解即可．
【解答】
解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．
若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：．
故选：D．
7.【答案】C
 

【解析】【分析】
本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，属于基础题．
根据程序框图，分析程序的功能，结合输入自变量的范围条件，利用函数的性质即可得到结论．
【解答】
解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出的值．
如图：

若：，则满足条件输出，
若：，则不满足条件，此时，
则：输出的y值的取值范围是或．
故选：C．
8.【答案】A
 

【解析】解：根据题中数据，归纳推理，即可得出结果．
因为，，，，，，
等式右边对应的数为1，3，4，7，11，，
所以，其规律为：从第三项起，每项等于其相邻两项的和；
因此，求，即是求数列“1，3，4，7，11，”中的第12项，
所以对应的数列为“1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，199，322”，即第12项为322．
故选：A．
观察1，3，4，7，11，的规律，利用归纳推理即可得到．
本题考查归纳推理的应用，得到等式的右边数的规律是解决本题的关键，比较基础．
9.【答案】C
 

【解析】解：由题意，可画出函数的图象大致如下：

存在三个不同实数a，b，c，使得，
可假设，
根据函数图象，可知：，，．
又，
，
即：
．
，即．
．
，
．
故选：C．
本题可先画出分段函数的图象，然后根据图象分析a、b、c的取值范围，再根据对数函数以及绝对值函数的性质得出，即可得到abc的取值范围．
本题主要考查分段函数的图象画法，数形结合法的应用，绝对值函数以及对数函数的应用，不等式的性质．本题属中档题．
10.【答案】A
 

【解析】解：，
，
，
，
，，
，，
故选：A．
先根据正余弦定理求出，，再将，化为，后用数量积可得．
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．
11.【答案】B
 

【解析】解：
如图，由题意，ABCD为等腰梯形，
作，与E，F，
则，
可得，
取BC中点M，连接AM，
易得，
故M到A，B，C，D距离相等，
为球小圆的圆心，
取PA中点N，
则ANOM为矩形，
在等腰直角三角形AMO中，
得球半径，
故球O的体积为：，
故选：B．
利用ABCD为等腰梯形找到球小圆的圆心M恰为BC中点，取PA中点N，在矩形ANOM中，求得半径OA，得解．
此题考查了球内接几何体及球体积的求法，难度适中．
12.【答案】A
 

【解析】【分析】
本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质，点到直线的距离公式，不等式的性质，考查了计算能力，属于中档题．
如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，，则四边形是平行四边形，可得取，由点M到直线l的距离不小于，可得，解得再利用离心率计算公式即可得出．
【解答】
解：如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，，则四边形是平行四边形，
如图所示：

，．
取，点M到直线l的距离不小于，，解得．
．
椭圆E的离心率的取值范围是．
故选A．
13.【答案】，或
 

【解析】解：当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为：，即；
当在坐标轴上截距不为0时，在坐标轴上截距互为相反数，
可设直线方程为，将代入得，，
此时所求的直线方程为．
综上，要求的直线的方程为，或 ，
故答案为：，或 ．
可分当在坐标轴上截距为0时、与在坐标轴上截距不为0时，分类讨论解决．
本题主要考查求直线的方程的方法，属于基础题．
14.【答案】
 

【解析】解：因为，为第二象限的角，，
所以，，
又因为，
所以，
故答案为：．
由，为第二象限的角，，可得，，由于，再结合两角和的正弦公式展开运算即可得解．
本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题．
15.【答案】
 

【解析】解：对任意的实数x，恒有，
函数是周期为2的偶函数，
当时，，
若，则，即，
即，，
而在有且仅有三个零点
可化为函数与在上有三个不同的交点，
故作函数与在上的图象可得，
若，则两个函数只有一个交点，不满足条件．
则，若函数与在上有三个不同的交点，
则，即，即，
故；
故答案为：．
由题意可判断出函数是周期为2的偶函数，从而作出函数的图象，结合图象，利用数形结合进行求解即可求a的取值范围．
本题主要考查函数与方程的应用，根据条件判断函数的奇偶性和函数在一个周期内的图象，利用数形结合是解决本题的关键．
16.【答案】15
 

【解析】解：如图，

由，
可得，，
则，
令，得，
如图，

要使最大，则直线在y轴上的截距最小，
由，得．
则，即或．
由题意可得z的最大值为15．
故答案为：15．
由题意可得，，去绝对值后得到目标函数，然后结合圆心到直线的距离求得的最大值．
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．
17.【答案】解：平均数，
前三组的频率之和为，故中位数落在第3组，设为x，
则，解得，即中位数为35
样本中，年龄在的人共有人，其中年龄在的有4人，设为a，b，c，d，年龄在的有2人，设为x，y
则从中选取2人共有如下15个基本事件：，，，，，，，，，，，，．
至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：，，，，，，，，．
记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A，
故所求概率为．
样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为，
故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为．
 

【解析】【分析】
本题考查了频率分布直方图的识别和应用，考查了古典概型的概率计算，用频率分布直方图估计平均数和中位数．做题时要认真审题，准确把握题意．本题属于中档题．
以每一个小矩形的下方中点为该组的代表值，以频率为权加权平均即可得到平均数，根据中位数处于中间位置，即在中位数之前的数频率为估计即可；
样本中，年龄在的人共有人，其中年龄在的有4人，设为a，b，c，d，年龄在的有2人，设为x，y
列举出取出的两人的所有情况，数出2人中至少有1人年龄不低于60岁包含的基本事件个数和基本事件的总数即可求出2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；
以频率当做概率的近似值，又年龄在内的总人数为2000，相乘即可得到估计值．
18.【答案】解：由，
得，
所以或，又因为的各项均为正数，负值舍去，
所以；
由，
所以前n项和
由得：
，
化简可得．
 

【解析】将所给等式分解因式，结合条件可得所求通项公式；
求得，运用数列的求和方法：错位相减法，以及等比数列的求和公式，化简整理可得所求和．
本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的求和方法：错位相减法，以及等比数列的求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
19.【答案】证明：，，
，．
又底面ABCD，．
，平面PBD．
解：三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，
而．
所以三棱锥的体积．
 

【解析】证明，然后证明平面PBD．
利用三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，转化求解即可．
本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
20.【答案】解：椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为1，
，且，
解得，，
椭圆的标准方程为
设，，
由题意知OP的斜率存在，
当OP的斜率为0时，，，
，
当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为，
由，得，
解得，，
，
，直线OQ的方程为，
由，得，
，
，
综上所述，．
 

【解析】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，是难题．
由椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为1，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆的标准方程
当OP的斜率为0时，，，；当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为，由，得，由此利用直线与直线垂直，结合已知条件，求出的值．
21.【答案】解：Ⅰ函数的导数为，
可得，，
可得曲线在点处的切线方程为，
令，可得，
由，可得b在递增，b的最小值为；
Ⅱ若，或；，
可得在递减，在，递增，
即有的极小值为，极大值为，，
若只有一个零点，则或，
由，解得或，由，可得；
由，即，由，可得，解得；
则或；
若，，在R上递增，，只有一个零点；
若，或；，
可得在递减，在，递增，
即有的极小值为，极大值为，
，，
若只有一个零点，，即，由，可得，解得；
综合可得或．
 

【解析】Ⅰ求得的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，可令，求得b关于a的二次函数，由二次函数的最值，可得所求最小值；
Ⅱ讨论，，，求得的增区间和减区间，进而得到极值，由只有一个零点，可得极值的符号，解不等式即可得到所求范围．
本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值，考查函数的零点的求法，注意运用分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．
22.【答案】解：曲线的极坐标方程为．
转换为直角坐标方程为：，
转换为标准式为：．
由于曲线的方程为，则：该射线关于y轴对称，且恒过定点．
由于该射线与曲线的极坐标有且仅有三个公共点．
所以：必有一直线相切，一直线相交．
则：圆心到直线的距离等于半径2．
故：，或
解得：或0，
当时，不符合条件，故舍去，
同理解得：或0
经检验，直线与曲线没有公共点．
故C的方程为：．
 

【解析】直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．
利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
本体考察知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用．
23.【答案】解：Ⅰ或或，
解得，
故不等式的解集为
Ⅱ，，即，
又a，b，且，z则，设，，，
，，
同理：，，
，
，
，即，
当且仅当时，取得最大值．
 

【解析】Ⅰ分3段去绝对值解不等式，在相并；
Ⅱ先求得，再设，，，然后利用重要不等式以及不要等式的性质可得．
本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．