浙江省普通高中强基联盟协作体2021届高三下学期5月统测 数学（含答案）

2020学年第二学期浙江省普通高中强基联盟协作体高三统测

数    学

本试卷分选择题和非选择题两部分考试时间120分钟．试卷总分为150分．请考生按规用笔并将答案涂写在答题纸相应位置上．

参考公式：

若事件，互斥，则．

若事件，相互独立，则．

若事件在一次试验中发生的概率是，则次独立重复试验中事件恰好发生次的概率

．

台体的体积公式．

其中，分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高．

柱体的体积公式．

其中表示柱体的底面积，表示柱体的高．

锥体的体积公式．

其中表示锥体的底面积，表示锥体的高．

球的表面积公式．

球的体积公式．

其中表示球的半径．

选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．

1．已知集合，，则

A．             B．              C．               D．

⒉若复数为纯虚数，则的值为

A．1                   B．                  C．2                   D．

3．已知实数，满足，则的最小值等于

A．4                   B．                 C．                  D．

4．函数的图象大致是

A                 B                    C                 D

5．：直线与圆有公共点；：点在圆外．则是的

A．充分不必要条件                              B．必要不充分条件

C．充要条件                                    D．既不充分也不必要条件

6．袋中有大小相同的2红4绿共6个小球，随机从中摸取1个小球，甲方案为有放回地连续摸取3次，乙方案为不放回地连续摸取3次．记甲方案下红球出现的次数为随机变量，乙方案下红球出现的次数为随机变量，则

A．，             B．，

C．，             D．，

7．已知，对任意的，．方程在上有解，则的取值范围是

A．              B．                C．                 D．

8．在三棱锥中，，，二面角的大小为，则，可能是

A．，   B．，   C．，    D．，

9．已知数列满足，且对任意，，，数列的前项和为，则的整数部分是

A．2021                B．2022                C．2023                 D．2024

10．已知，，是函数和函数交点的横坐标，是函数和函数交点的横坐标，则

A．              B．                C．               D．

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，每空3分，单空题每小题4分，共36分．

11．双曲线的焦点坐标是___________，渐近线方程为___________．

12．已知，则__________，__________．

13．一几何体的三视图如图所示，则其外接球的体积等于__________，内切球的表面积等于__________．

14．在中，，为的中点，，则__________，面积的最大值为__________．

15．强基联盟体中，，，四所兄弟学校开展选考7个学科教研交流活动．，，每校承担两个学科，校承担技术学科，校不承担物理化学两个学科，校不承担政治历史两个学科，则这次教研交流活动不同的安排方案共有___________．

16．已知，，若对任意，不等式恒成立，则的最小值为___________种．

17．已知，存在实数，使，则的取值范围为___________．

三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本题满分14分）

已知函数是上的增函数，且图象关于直线对称．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）当时，若，求．

19．（本题满分15分）

在直角梯形中，，将沿翻折至位置，作于点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）当二面角最大时，求直线与平面所成角的正弦值．

20．（本题满分15分）

在等比数列中，为其前项和，，数列是等差数列．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，证明：．

21．（本题满分15分）

已知且满足的动点的轨迹为．

（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；

（Ⅱ）如图，过点的斜率大于零的直线与曲线交于，两点，，直线交曲线于另外一点，证明直线过定点．

22．本题满分15分）

已知，．

（Ⅰ）若在点处的切线斜率为，求实数的值；

（Ⅱ）若有两个零点，且，求证：．

2020学年第二学期浙江省普通高中强基联盟协作体高三统测

数学参考答案

一、选择题

二、填空题

11．；    12．2；1    13．；    14．1；    15．19    16．

17．

三、解答题．

18．解：（Ⅰ）由题知是上的增函数，

∴，所以．

又∵图象关于直线对称，∴，，

∴，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴

，

∴，又，所以．

19．（Ⅰ）证明：∵，，，

∴平面．

，∴平面，平面，

∴．

又，，∴平面，平面，

∴．

（Ⅱ）解：由（I）知，平面，∴是二面角的平面角，

由正弦定理得，∴．

∴当时，取得最大值，此时，两点重合．

过点作交于点，过点作于点，连接，过点作于点．

∵平面，平面，∴平面平面，

∴平面，，

又，∴平面，

平面，∴平面平面，又．

∴平面，为到平面的距离．……

设，则，，，∴，，∴．

20．（Ⅰ）解：设公比为，∵数列是等差数列，

∴，∴，

解得或，或．

（Ⅱ）证明：∵，∴，，

∴．

又∵，

∴．

当时，

．

思路2：．

21．（Ⅰ）解：∵，且，

等式两边平方整理得．

（Ⅱ）证明：设，，．

由两式相减得．

所以直线的方程为，整理得（*）．

因为点在直线上，所以①，

同理直线的方程为，因为点在直线上，所以②．

由①②两式得，整理得．

由（*）式知直线的方程为，

所以，

整理得直线的方程为，

所以直线过定点．

22．（Ⅰ）解：，

，

由，得．

（Ⅱ）证明：有两个零点，

即有两个不等根，，

即，

即．

令，则．

记，则．

记，则，所以，即，

即在上单调递增，即，

所以，

所以．