2021届浙江省杭州第二中学高三仿真考数学试题（word版有答案）

2020学年第二学期杭州二中高三仿真考

数学试题卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。满分150分。考试用时120分钟。

考生注意：

1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：

若事件互斥，则

若事件相互独立，则

若事件在一次试验中发生的概率为，则次独立重复试验中事件恰好发生次的概率

台体的体积公式

其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高

柱体的体积公式

其中表示柱体的底面积，表示柱体的高

锥体的体积公式

其中表示锥体的底面积，表示锥体的高

球的表面积公式

球的体积公式

其中表示球的半径

选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知双曲线的渐近线方程为，则离心率为（   ）

A.                 B. 2                   C.                D.

2.已知虚数满足，表示的共轭复数，则结论不正确的是（   ）

A.              B.              C.             D.

3.小猫在一个物理问题计算过程中遇到了对数据的处理，经过思考，小猫决定采用精确到的近似值，则这个近似值是（   ）

A.                B.               C.              D.

4.函数的图象大致是（   ）

5.已知正实数，且，则“”是“”的（   ）

A. 充分不必要条件        B. 必要不充分条件       C. 充要条件       D.既不充分也不必要条件

6.定义表示不超过的最大整数，若数列的通项公式为，则满足等式

（   ）

A. 30                     B. 29                C. 28                D. 27

7.函数的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的取值范围是（   ）

A.                   B.               C.               D.

8.定义集合，则下列判断正确的是（   ）

A.                                  B.

C. 若，

，则由围成的三角形一定是正三角形，且所有正三角形面积一定相等

D. 满足且的点构成区域的面积为

9.已知是的定直径，过上的动点作切线与过点的切线分别交于点，连接交于点，则点的轨迹是（   ）

A. 圆                   B. 椭圆              C. 抛物线的一段           D. 线段

10.在中，是边上的点，且，若，则的最小值（   ）

A.                   B.                 C.                  D.

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11.定义集合，则         ；          

12.已知实数满足，则的最大值是         ；若不等式恒成立，则实数的取值范围是        

13.如图，的三边，分别是三边的中点，沿将折起，使得重合于点，则四面体的表面积为         ；体积为        

14.在中，，则         ，        

15.有3个人在一楼进入电梯，楼上共有4层，设每个人在任何一层出电梯的概率相等，并且各层楼无人再进电梯，设电梯中的人走空时电梯需停的次数为，则        

16.从集合中任意取5个不同的数字组成五位单伞数（中间数为数字最大，从中间向两侧依次递减），则这样的不同五位单伞数共有         个（用数字作答）

17.已知三棱锥中，，且，长度为1的线段的端点在上，端点在侧面内运动，若的中点为，的重心为，则的最小值是        

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.（本小题满分14分）已知且满足：

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）已知函数，若方程在区间内有两个不同的解，求实数的取值范围.

19.（本小题满分15分）已知三棱锥，侧面底面，且

是的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值.

20.（本小题满分15分）在已知确定的内部进行以下操作：第1次取1个点，连接得到个三角形；第2次在得到的个三角形中选2个，在其内部各取1个点分别为，连接它们所在区域的三角形的三个顶点把划分总共得到个不同的三角形；第3次在得到的个三角形中选3个，在其内部各取1个点分别为，连接它们所在区域的三角形的三个顶点把划分总共得到个不同的三角形；…，第次在得到的个三角形中选个，在其内部各取1个点分别为，连接它们所在区域的三角形的三个顶点把划分总共得到个不同的三角形.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）构造数列，求证：.

21.（本小题满分15分）已知是抛物线的焦点，过定点作直线交抛物线于两点，取定点.

（Ⅰ）若，求直线的方程；

（Ⅱ）是否存在直线，使得恰好是的重心，如果存在，求出的方程；如果不存在，请说明理由；

（Ⅲ）求面积的最小值.

22.（本小题满分15分）已知函数有两个不同的零点，且.

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）若不等式对任意的恒成立，求实数的最大值；

（Ⅲ）求证：

.

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