全国统考2022版高考数学大一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第5讲对数与对数函数1备考试题（含解析）

第二章　函数概念与基本初等函数Ⅰ

第五讲　对数与对数函数

练好题·考点自测 

1.下列说法正确的是 (　　)

①若MN>0,则loga(MN)=logaM+logaN.

②对数函数y=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.

③函数y=ln 与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.

④对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1),(,-1),函数图象只在第一、四象限.

A.①③④ B.①③ C.③④ D.④

2.[2019浙江,6,5分]在同一直角坐标系中,函数y=,y=loga(x+)(a>0,且a≠1)的图象可能是 (　　)

A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D

3.[2020全国卷Ⅰ,8,5分][文]设alog34=2,则4-a= (　　)

A. B. C. D.

4.[2020全国卷Ⅱ,9,5分]设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x) (　　)

A.是偶函数,且在(,+∞)单调递增

B.是奇函数,且在(,)单调递减

C.是偶函数,且在(-∞,)单调递增

D.是奇函数,且在(-∞,)单调递减

5.[2020全国卷Ⅲ,10,5分][文]设a=log32,b=log53,c=,则 (　　)

A.a<c<b B.a<b<c 

C.b<c<a D.c<a<b

6.[2018全国卷Ⅲ,16,5分][文]已知函数f(x)=ln(x)+1,f(a)=4,则f(-a)=　　　　. 

7.[2016浙江,12,6分]已知a>b>1.若logab+logba=,ab=ba,则a=　　　　,b=　　　　. 

拓展变式

1.[2021安徽省四校联考]已知实数a,b满足a+b=5,log2a=log3b,则ab= (　　)

A.2 B.3 C.5 D.6

2.(1)[2019天津,6,5分]已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为 (　　)

A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b

(2)[2020海南,7,5分]已知函数f(x)=lg(x2 -4x-5)在(a,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 (　　)

A.(-∞,-1] B.(-∞,2] C.[2,+∞) D.[5,+∞)

3.里氏震级M的计算公式为M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级;9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的倍.

4.设x,y,z为正实数,且log2x=log3y=log5z>0,则,,的大小关系不可能是 (　　)

A. B.

C. D.

答  案

第二章　函数概念与基本初等函数Ⅰ

第五讲　对数与对数函数

1.C　对于①,当M<0,N<0时不成立;对于②,当0<a<1时,y=logax在(0,+∞)上是减函数,故②不成立;对于③,函数y=ln 与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域均为(-1,1),故③正确;对于④,由对数函数的图象与性质可知④正确.故说法正确的是③④,选C.

2.D　解法一　若0<a<1,则函数y=是增函数,y=loga(x+)是减函数且其图象过点(,0),结合选项可知,选项D可能成立;若a>1,则y=是减函数,而y=loga(x+)是增函数且其图象过点(,0),结合选项可知,没有符合的图象.故选D.

解法二　分别取a=和a=2,在同一直角坐标系内画出相应函数的图象(图略),通过对比可知选D.

3.B　解法一　因为alog34=2,所以log34a=2,则有4a=32=9,所以4-a=,故选B.

解法二　因为alog34=2,所以a==log49,所以4-a=,故选B.

解法三　令4-a=t,两边同时取对数得log34-a=log3t,即-alog34=log3t,即alog34=-log3t=log3,因为alog34=2,所以log3=2,所以=32=9,所以t=,即4-a=,故选B.

4.D　由得函数f(x)的定义域为(-∞,)∪(,)∪(,+∞),其关于原点对称,因为f(-x)=ln|2(-x)+1|-ln|2(-x)-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,排除A,C.当x∈(,)时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),易知函数f(x)单调递增,排除B.当x∈(-∞,)时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x)=ln=ln(1+),易知函数f(x)单调递减,故选D.

5.A　∵23<32,∴2<,∴log32<log3,∴a<c.∵33>52,∴3>,∴log53>log5,∴b>c,∴a<c<b,故选A.

6.-2　解法一　由f(a)=ln(a)+1=4,得ln(a)=3,所以f(-a)=ln(+a)+1=-ln+1=-ln(a)+1=-3+1=-2.

解法二　因为f(x)=ln(x)+1,

所以f(x)+f(-x)=ln(x)+ln(+x)+2=2.

故f(a)+f(-a)=2,所以f(-a)=2-4=-2.

7.4　2　因为a>b>1,所以logab∈(0,1).因为logab+logba=,即logab+,所以logab=或logab=2(舍去),所以=b,即a=b2.所以ab==b2b=ba,所以a=2b,所以b2=2b,解得b=2或b=0(舍去),所以a=b2=4.

1.D　设log2a=log3b=t,则a=2t,b=3t,所以a+b=2t+3t=5.因为函数f(t)=2t+3t为增函数,且f(1)=5,所以t=1,所以a=2,b=3,所以ab=6,故选D.

2.(1)A　因为a=log52<log5,c=0.50.2>0.51=,故a<c;因为b=log0.50.2>log0.50.25=2,c=0.50.2<0.50=1,故c<b.所以a<c<b.故选A.

(2)D　由x2-4x-5>0,解得x>5或x<-1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(5,+∞).又函数y=x2-4x-5在(5,+∞)上单调递增,在(-∞,-1)上单调递减,所以函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(5,+∞)上单调递增,所以a≥5,故选D.

3.6　10 000　根据题意,由lg 1 000-lg 0.001=6得此次地震的震级为6级,因为标准地震的振幅为0.001,设9级地震的最大振幅为A9,则lgA9-lg 0.001=9,解得A9=106,同理可得5级地震的最大振幅A5=102,所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍.

4.B　解法一　取x=2,则由log2x=log3y=log5z得y=3,z=5,此时易知,此时选项C成立.

取x=4,则由log2x=log3y=log5z得y=9,z=25,此时易知,此时选项A成立.

取x=,则由log2x=log3y=log5z得y=,z=,此时易知,此时选项D成立.

综上,利用排除法可知选B.

解法二　设log2x=log3y=log5z=k,则x=2k,y=3k,z=5k,

所以=2k-1,=3k-1,=5k-1.

由题意知k>0,接下来对k与1的大小关系加以讨论.

若k=1,则=1,=1,=1,所以,所以选项C有可能成立.

若0<k<1,则根据函数f(t)=tk-1在(0,+∞)上单调递减可得2k-1>3k-1>5k-1,所以,所以选项D有可能成立.

若k>1,则根据函数f(t)=tk-1在(0,+∞)上单调递增可得2k-1<3k-1<5k-1,所以,所以选项A有可能成立.

综上,利用排除法可知选B.

【解后反思】　解法一是在特例的基础上,结合排除法解答;解法二借助设元变形,先将目标问题等价转化为考查比较2k-1,3k-1,5k-1的大小问题,再对幂函数f(t)=tk-1的单调性加以讨论分析.幂函数f(x)=xa在(0,+∞)上的单调性可分为三种情况讨论:①若a>0,则f(x)单调递增;②若a=0,则f(x)为常数函数;③若a<0,则f(x)单调递减.