广西专用高考数学一轮复习考点规范练26平面向量的概念及线性运算含解析新人教A版理

考点规范练26　平面向量的概念及线性运算

基础巩固

1.设a,b是非零向量,则“a=2b”是成立”的(　　)

A.充要条件  B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

答案:B

解析:由a,b是非零向量,且a=2b可知a,b方向相同,所以成立;反之不一定成立.故选B.

2.(2020广东韶关期末)已知在△ABC所在的平面内有一点P,且满足等式设=a,=b,则=(　　)

Aa+b Ba-b Ca+b Da-b

答案:C

解析:,

=-=2,

即=2,∴点P是边AC上靠近点A的三等分点.

)=a+b.

3.设平面向量a,b不共线,若=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),则(　　)

A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线

C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线

答案:A

解析:=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),

=(a+5b)+(-2a+8b)+3(a-b)=2(a+5b)=2,

共线,即A,B,D三点共线,故选A.

4.设E,F分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点,且AE=AB,BF=BC.如果=m+n(m,n为实数),那么m+n的值为(　　)

A.- B.0 C D.1

答案:C

解析:如图,

=-

=-)

=-

=m+n,∴m=-,n=,∴m+n=

故选C.

5.已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且2=2,则(　　)

A.点P在线段AB上

B.点P在线段AB的反向延长线上

C.点P在线段AB的延长线上

D.点P不在直线AB上

答案:B

解析:因为2=2,所以2

所以点P在线段AB的反向延长线上,故选B.

6.(2020河南焦作一模)已知O是△ABC的重心,且+2+=0,则实数λ=(　　)

A.3 B.2 C.1 D

答案:C

解析:+2++2+λ()=+(2-λ)+=0,

∵O是△ABC的重心,=0.

∴(2-λ)+

又O为△ABC的重心,解得λ=1.

7.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5+3,则△ABM与△ABC的面积比为(　　)

A B C D

答案:C

解析:设AB的中点为D.由5+3,得3-3=2-2,即3=2

如图,故C,M,D三点共线,且,也就是△ABM与△ABC对于边AB上的两高之比为3∶5,则△ABM与△ABC的面积比为,故选C.

8.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是(　　)

A.矩形 B.平行四边形 

C.梯形 D.以上都不对

答案:C

解析:=-8a-2b=2(-4a-b)=2,

又不平行,∴四边形ABCD是梯形.

9.已知A,B,C为圆O上的三点,若),则的夹角为　　　　　. 

答案:90°

解析:由)可得O为BC的中点,则BC为圆O的直径,即∠BAC=90°,故的夹角为90°.

10.在平行四边形ABCD中,M为BC的中点,若=+,则λμ=　　　　　. 

答案:

解析:-2=3-2,

=+3-2,

∴(1-3μ)=(λ-2μ)

是不共线向量,

解得=

11.设λ是正实数,三角形ABC所在平面内的另三点A1,B1,C1满足=λ(),=λ(),=λ(),若三角形ABC与三角形A1B1C1的面积相等,则λ的值为　　　　　. 

答案:

解析:设△ABC的重心为点G,由题意可知△ABC与△A1B1C1关于中心点G对称.由AG=AA1,得=2=2)=λ(),解得λ=

12.如图,有5个全等的小正方形,=x+y,则x+y的值是　　　　　. 

答案:1

解析:由平面向量的运算可知

=2=2,

=2-(2)=3-2

又不共线,且=x+y,

即x+y=3-2,

∴x=3,y=-2,∴x+y=1.

能力提升

13.在△ABC中,点O在线段BC的延长线上,且与点C不重合.若=x+(1-x),则实数x的取值范围是(　　)

A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-1,0) D.(0,1)

答案:A

解析:设=(λ>1),

则+=(1-λ)+

又=x+(1-x),

所以x+(1-x)

=(1-λ)+

所以λ=1-x>1,得x<0.

14.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足,则点P一定为△ABC的(　　)

A.边AB中线的中点 

B.边AB中线的三等分点(非重心)

C.重心 

D.边AB的中点

答案:B

解析:设AB的中点为M,则,

所以+2),

即3+2=2-2,

即=2

又有公共点P,所以P,M,C三点共线,且P是CM上靠近点C的一个三等分点.

15.已知△ABC是边长为4的正三角形,D,P是△ABC内的两点,且满足),,则△APD的面积为(　　)

A B C D.2

答案:A

解析:取BC的中点E,连接AE,因为△ABC是边长为4的正三角形,

所以AE⊥BC,).

又),所以点D是AE的中点,AD=

取,以AD,AF为邻边作平行四边形,可知

因为△APD是直角三角形,AF=,

所以△APD的面积为

16.在△ABC中,点P满足=2,过点P的直线与AB,AC所在直线分别交于点M,N,若=m=n(m>0,n>0),则m+2n的最小值为(　　)

A.3 B.4 C D

答案:A

解析:因为=2,所以=2(),

所以

又因为=m=n,

所以

因为M,P,N三点共线,所以=1.

又因为m>0,n>0,

所以m+2n=(m+2n)=2=3,

当且仅当即m=n=1时等号成立.

所以m+2n的最小值为3.

故选A.

17.如图,OM∥AB,点P在由射线OM,线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且=x+y,则x的取值范围是　　　　　;当x=-时,y的取值范围是　　　　　. 

答案:(-∞,0)　

解析:由向量加法的平行四边形法则可知,OP为平行四边形的对角线,且该平行四边形是以OA的反向延长线和OB为两邻边,所以x的取值范围是(-∞,0).

当x=-,即OC=AO时,过点C作CE∥OB,交OM于点D,交AB的延长线于点E,要使点P落在指定区域内,

则点P应落在DE上.

由,得CE=OB.

又OB=DE,所以CD=OB.由向量加法的三角形法则可得=-+y,所以y的取值范围是

高考预测

18.已知G为△ABC的重心,过点G的直线与边AB,AC分别相交于点P,Q.若,则△ABC与△APQ的面积之比为　　　　. 

答案:

解析:设=x,x>0.

∵P,G,Q三点共线,∴可设=+(1-λ),λ∈R,

则+(1-λ)x

∵G为△ABC的重心,

).

+(1-λ)x

解得