【最新 北师大版】高考数学一轮复习 高考大题专项二 三角函数与解三角形学案（含解析）

三角函数与解三角形

考情分析

从近五年的高考试题来看,高考对三角函数与解三角形的考查都呈现出较强的规律性,每年的题量和分值要么三个小题共15分,要么一个小题和一个大题共17分.在三个小题中,分别考查三角函数的图像与性质、三角变换、解三角形;在一个小题和一个大题中,小题要么考查三角函数的图像与性质,要么考查三角变换,大题考查的基本是解三角形.

必备知识预案自诊　

知识梳理

1.三角函数恒等变换“四大策略”

(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan 45°.

(2)角的配凑:如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β),α=[(α+β)+(α-β)].

(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次.

(4)弦、切互化:一般是切化弦.

2.解三角形的公式变形

(1)正弦定理的一些变式:①a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;②sin A=,sin B=,sin C=;③a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.其中R是△ABC外接圆的半径.

(2)余弦定理a2=b2+c2-2bccos A的变形为cos A=.当b2+c2-a2>0(=0,<0)时,角A为锐角(直角、钝角).

3.三个等价关系

在△ABC中,a>b⇔sin A>sin B⇔A>B.

关键能力学案突破　

【例1】已知函数f(x)=4sin xcosx--.

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)求函数f(x)图像的对称轴和对称中心.

解题心得1.解决三角变换在三角函数图像与性质中的应用的基本思路:通过变换把函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式再研究其性质,解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.

2.三角变换的总体思路是化异为同,目的是通过消元减少未知量的个数.如把三角函数式中的异名、异角、异次化为同名、同角、同次,或把未知角用已知角表示,或把未知角通过三角变换化成已知角.

对点训练1(2020北京顺义一模,16)函数f(x)=sin ωxcos ωx-sin2ωx+(ω>0)的部分图像如图所示.

(1)求ω的值;

(2)求f(x)在区间-上的最大值与最小值及对应的x的值.

【例2】(2020河南驻马店二模,文18)a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边.已知a=3,csin C=asin A+bsin B,且B=60°.

(1)求△ABC的面积;

(2)若D,E是BC边上的三等分点,求sin∠DAE.

解题心得在三角形中,已知两角一边能应用正弦定理求其余的边;已知两边及其夹角求夹角的对边或已知两边及一边的对角求另一边都能直接利用余弦定理求解.

对点训练2(2020东北三省四市模拟,理17)在△ABC中,M为BC边上一点,∠BAM=45°,cos ∠AMC=.

(1)求sin B;

(2)若,AC=4,求MC.

【例3】(2020“四省八校”质检三,理18)已知向量m=(-2,sin 2x),n=(cos2x,),且函数f(x)=m·n.

(1)求f(x)的最小正周期及对称中心;

(2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,角A为锐角,a=,若fA++1=bsin C,且△ABC的面积为,求△ABC的周长.

解题心得对于在三角形中求解有关三角函数的图像和性质的题目,时刻不要忘记对角的范围的限制,特别是求三角函数值的范围或最值时,先要把自变量的取值范围求出来,再利用三角函数的单调性确定函数值的范围.

对点训练3(2020山东烟台模拟,17)已知函数f(x)=1-2sin xcos x-2cos2x+m在R上的最大值为3.

(1)求m的值及函数f(x)的递增区间;

(2)若在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c且f(A)=0,求的取值范围.

【例4】(2020天津,16)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2,b=5,c=.

(1)求角C的大小;

(2)求sin A的值;

(3)求sin的值.

解题心得在含有边角关系的等式中,利用正弦定理的变形a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,可直接将等式两边的边化为角;也能利用余弦定理的变形如cosA=将角化为边.在三角形中利用三角变换求三角式的值时,要注意角的范围的限制.还有隐含条件:A+B+C=π,使用这个隐含条件可以减少未知数的个数.

对点训练4(2020全国1,文18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°.

(1)若a=c,b=2,求△ABC的面积;

(2)若sin A+sin C=,求C.

【例5】(2020全国2,理17)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C.

(1)求A;

(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.

解题心得关于三角函数、三角变换与解三角形的综合题的解题思路,一般是由正弦定理、余弦定理求出某个量作为下面问题的已知量,然后利用三角变换,将所求的量化为f(x)=Asin(ωx+φ)或f(x)=Acos(ωx+φ)的形式,最终求出结果.

对点训练5(2020浙江,18)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2bsin A-a=0.

(1)求角B的大小;

(2)求cos A+cos B+cos C的取值范围.

高考大题专项(二)　

三角函数与解三角形

关键能力·学案突破

例1解(1)f(x)=4sinxcosx--

=4sinxcosx+sinx-

=2sinxcosx+2sin2x-

=sin2x+(1-cos2x)-

=sin2x-cos2x

=2sin2x-.

令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),

所以函数f(x)的递增区间为kπ-,kπ+(k∈Z).

令2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),

所以函数f(x)的递减区间为kπ+,kπ+(k∈Z).

(2)令2x-=kπ+(k∈Z),得x=(k∈Z),

所以函数f(x)的对称轴方程为x=(k∈Z).

令2x-=kπ(k∈Z),得x=(k∈Z),所以函数f(x)的对称中心为,0(k∈Z).

对点训练1解(1)由f(x)=sinωxcosωx-sin2ωx+(ω>0),则f(x)=·2sinωxcosωx-(1-cos2ωx)+sin2ωx+cos2ωx=sin2ωx+(ω>0),

由三角函数的图像可知T=2=π,所以T==π,解得ω=1.

(2)由(1)可得f(x)=sin2x+(ω>0),因为-≤x≤,

所以-≤2x+≤π,

当2x+,即x=时,函数f(x)max=1;

当2x+=-,即x=-时,函数f(x)min=-.

例2解(1)△ABC中,由csinC=asinA+bsinB,利用正弦定理得c2=a2+b2,所以△ABC是直角三角形.又a=3,B=60°,所以b=atan60°=3,所以△ABC的面积为S=ab=.

(2)设D靠近点B,则BD=DE=EC=1.AE==2,AD=,

所以cos∠DAE=.

所以sin∠DAE=.

对点训练2解(1)∵cos∠AMC=,

∴sin∠AMC=,

∴sinB=sin(∠AMC-∠BAM)=

sin∠AMCcos∠BAM-cos∠AMCsin∠BAM

=.

(2)∵,∴设MC=x,BM=2x,在△ABM中,由正弦定理得,∴,∴AM=x.∵AC2=AM2+MC2-2AM·MCcos∠AMC,

∴42=x2+x2-2·x·x·.解得x=4,即MC=4.

例3解(1)由题知,f(x)=m·n=-2cos2x+sin2x=-1-cos2x+sin2x=2sin2x--1,

由T==π,故最小正周期为π.由2x-=kπ,k∈Z,∴x=,k∈Z,∴f(x)的对称中心为,-1,k∈Z.

(2)由于fA++1=2sinA+-1+1=2sinA,

故2sinA=bsinC,则2a=bc,又a=,解得bc=6.

S△ABC=bcsinA=,解得sinA=,故A=或A=(舍去).

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,则7=b2+c2-12×,化简得b2+c2=13,

∴(b+c)2-2bc=13,∴b+c=5,

∴△ABC的周长为a+b+c=5+.

对点训练3解(1)f(x)=1-2sinxcosx-2cos2x+m=-(sin2x+cos2x)+m=-2sin+m,

由已知2+m=3,得m=1,

所以f(x)=-2sin2x++1.

令2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,

所以函数f(x)的递增区间为kπ+,kπ+,k∈Z.

(2)由(1)知-2sin2A++1=0,所以sin2A+=,

由0<A<,得<2A+,

所以2A+,解得A=.

=.

因为△ABC为锐角三角形,

所以

解得<C<.

所以tanC>,所以<2,

即的取值范围为,2.

例4解(1)在△ABC中,由余弦定理及a=2,b=5,c=,可得cosC=.

又因为C∈(0,π),所以C=.

(2)在△ABC中,由正弦定理及C=,a=2,c=,可得sinA=.

(3)由a<c及sinA=,可得cosA=,进而sin2A=2sinAcosA=,cos2A=2cos2A-1=.所以sin=sin2Acos+cos2Asin.

对点训练4解(1)由题设及余弦定理得28=3c2+c2-2×c2×cos150°,解得c=-2(舍去)或c=2.从而a=2.

△ABC的面积为×2×2×sin150°=.

(2)在△ABC中,A=180°-B-C=30°-C,所以sinA+sinC=sin(30°-C)+sinC=sin(30°+C).

故sin(30°+C)=.而0°<C<30°,所以30°+C=45°,故C=15°.

例5解(1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2=AC·AB. ①

由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA. ②

由①②得cosA=-.

因为0<A<π,所以A=.

(2)由正弦定理及(1)得=2,从而AC=2sinB,AB=2sin(π-A-B)=3cosB-sinB.

故BC+AC+AB=3+sinB+3cosB=3+2sin.

又因为0<B<,所以当B=时,△ABC周长取得最大值3+2.

对点训练5解(1)由正弦定理,

得2sinBsinA=sinA,

故sinB=,由题意,得B=.

(2)由A+B+C=π,得C=-A,

由△ABC是锐角三角形,得A∈.由cosC=cos=-cosA+sinA,得

cosA+cosB+cosC=sinA+cosA+=sin.故cosA+cosB+cosC的取值范围是.