【精品】中考数学备考 专题3.5 以二次函数与三角形为背景的解答题（原卷版+解析版）

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 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，m），C（1，0）．
（1）求m值；
（2）设点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合）．
①过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；
②连接AP，并以AP为边作等腰直角△APQ，当顶点Q恰好落在抛物线的对称轴上时，求出对应的点P坐标．

【答案】（1）m的值为3；（2）①点P坐标为（﹣，）；②点P的坐标为（）、（﹣1﹣，2）、（﹣2，3）
②等腰直角△APQ的三边都可能是底边，故分三种情况进行讨论，然后构造全等三角形，得到相等线段，然后用一个字母表示一条线段，从而将点P的坐标用该字母表示，然后代入抛物线的解析式，就可求出点P的坐标．

（2）①如图1．
∵OA=OB=3，∠AOB=90°，∴∠AB0=45°．
∵PF⊥OA，PD⊥AB，∴∠PDA=∠EFA=90°=∠AOB，∴EF∥OB，∴∠PED=∠ABO=45°，∴PD=PE•sin45°PE，DE=PE•cos45°PE，∴△PDE的周长为（1）PE．
设直线AB的解析式为y=mx+n，则有．
解得：，∴直线AB的解析式为y=x+3．
设点P的横坐标为a，则点E的横坐标也为a，∴yP=﹣a2﹣2a+3，yE=a+3，∴PE=yP﹣yE=（﹣a2﹣2a+3）﹣（a+3）=﹣a2﹣3a=﹣（a）2．
∵﹣1＜0，∴当a时，PE取到最大值，△PDE的周长也就取到最大值．
此时yP=﹣（）2﹣2×（）+3，∴当点P坐标为（）时，△PDE的周长取到最大值．
②Ⅰ．若AQ为等腰直角△APQ的底边，如图2，则有AP=PQ，∠APQ=90°．
过点P作PG⊥OA，垂足为G，过点P作PT⊥QH，垂足为T．
∵∠PGH=∠GHT=PTH=90°，∴四边形PGHT是矩形，∴∠GPT=90°，PT=GH，PG=HT，∴∠APG=90°﹣∠GPQ=∠TPQ．
在△AGP和△QTP中，，∴△AGP≌△QTP，∴AG=TQ，PG=PT，∴PG=GH．
∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为x1，∴OH=1．
设PG=t（t＞0），则OG=GH+OH=PG+OH=t+1．
∵点P在第二象限，∴点P的坐标为（﹣t﹣1，t）．
∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，∴t=﹣（﹣t﹣1）2﹣2（﹣t﹣1）+3．
整理得：t2+t﹣4=0．
解得：t1（舍去），t2，∴点P的坐标为（）．
Ⅱ．若PQ为等腰直角△APQ的底边，如图3，则有AP=AQ，∠PAQ=90°．
过点P作PG⊥OA，垂足为G，则有∠APG=90°﹣∠PAG=∠HAQ．
在△AGP和△QHA中，，∴△AGP≌△QHA，∴PG=AH．
∵AH=AO﹣OH=3﹣1=2，∴PG=2，∴yP=2．
解﹣x2﹣2x+3=2得：x1=﹣1，x2=﹣1．
∵点P在第二象限，∴点P的坐标为（﹣1，2）．
∵点P在第二象限，∴点P的坐标为（﹣p﹣1，p+2）．
∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，∴p+2=﹣（﹣p﹣1）2﹣2×（﹣p﹣1）+3．
整理得：p2+p﹣2=0．
解得：p1=﹣2（舍去），p2=1，∴点P的坐标为（﹣2，3）．
综上所述：点P的坐标为（）、（﹣1，2）、（﹣2，3）．


2．如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（2，0），它的对称轴是直线x＝﹣1．
（1）直接写出点B，点C的坐标.
（2）求这个二次函数的解析式．
（3）若点P在x轴上，且△PBC为等腰三角形，请求出线段BC的长并直接写出符合条件的所有点P的坐标．

【答案】(1) B（-4,0）,C（0,4）;(2) y＝﹣x2﹣x+4；(3)BC=4 ，P（0，0）或（﹣4+4，0）或（﹣4﹣4，0）或（4，0）.
【详解】
(1)解：由对称轴是直线x=-1,点A坐标为(2,0)，以及二次函数，易得B（-4,0）C（0,4）
(2)根据题意得，
，
解得，，
∴二次函数的解析式y＝﹣x2﹣x+4；


②当BP＝BC时，
∴（m+4）2＝32，
∴m＝﹣4±4，
∴P（﹣4+4，0）或（﹣4﹣4，0）
③当CP＝BC时，m2+16＝32，
∴m＝4或m＝﹣4（舍去），
∴P（4，0），
即：符合条件的所有点P的坐标为P（0，0）或（﹣4+4，0）或（﹣4﹣4，0）或（4，0）.
3．如图，在平面直角坐标系中，—抛物线y=﹣a(x+1)(x﹣3)(a＞0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.抛物线的对称轴与x轴交于点E，过点C作x轴的平行线，与抛物线交于点D，连接DE，延长DE交y轴于点F，连接AD、AF．
（1）点A的坐标为____________，点B的坐标为_________ ；
（2）判断四边形ACDE的形状，并给出证明；
（3）当a为何值时，△ADF是直角三角形?

【答案】（1）点A（﹣1，0），点B（3，0）；（2）四边形ACDE是平行四边形．证明见解析；（3）当或时，△ADF为直角三角形．
（3）过点D作DG⊥AB于点G，通过“角边角”易证△OEF ≌△DEG，OF=GD=3a，即F点坐标为（0，-3a），①若∠DAF=90°，则∠DAG+∠FAO=90°，然后证明△AOF∽△DGA，得到，然后求得符合题意的a即可；②若∠DFA=90°，则∠DFC+∠AFO=90°，易得OF垂直平分AE，AF=EF，则∠DFC=∠AFO=45°，所以OF=OA，即，a=.

（2）四边形ACDE是平行四边形．
证明如下：令，得，即，
∵点A（﹣1，0），B（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点D（2，3a），E（1，0），
∴AE=CD=2，
又，
∴四边形ACDE是平行四边形；
（3）过点D作DG⊥AB于点G，由，可知OE=GE，

又∵∠FOE=∠DGE=90°，∠OEF=∠GED，
∴△OEF ≌△DEG（ASA），
∴OF=GD=3a，
∴F点坐标为（0，-3a），
讨论：①若∠DAF=90°，则∠DAG+∠FAO=90°，
又∠FAO+∠AFO=90°，
∴∠DAG=∠AFO，
又∠AOF=∠DGA=90°，
∴△AOF∽△DGA，
∴，
即，
∴，
∵a > 0，
∴，
∵以上各步均可逆，故合题意；

4．如图，直线与轴交于点，与轴交于点,抛物线
经过点.
(1)求抛物线的解析式，
(2)已知点是抛物线上的一个动点，并且点在第二象限内，过动点作轴于点，交线段于点.
①如图1，过作轴于点，交抛物线于两点(点位于点的左侧)，连接，当线段的长度最短时，求点的坐标，
②如图2，连接，若以为顶点的三角形与相似，求的面积.[来源:学科网]

【答案】(1) ；(2) ①点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；②
【详解】
(1)把代入得，
由，得，
(2) ①由题意可知，四边形是矩形，所以.
由(1)可知，
当时，最短，即最短，
此时点是的中点，
所以，，
点的坐标为，
将代入得，，
点的坐标为，
将代入得，，
解得，，
点的坐标为，点的坐标为
②当时(如图2)，则、关于抛物线的对称轴对称，
的坐标为，点的坐标为，，
当时(如图3)，则是等腰直角三角形，，
过点作于点，设点的坐标为，
，，，解得，
.

5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（-2，0），（6，-8）．
（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
（2）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．

【答案】(1)y＝x2－3x－8；B(8，0),E(3，－4)；(2)m的值为－或－.
【解析】
【详解】
（1）∵抛物线y＝ax2＋bx－8经过点A(－2，0)，D(6，－8)，
∴将A、D两点的坐标代入得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2－3x－8；
（2）需分两种情况进行讨论：
①当OP＝OQ时，△OPQ是等腰三角形，如解图①，

图1
∵点E的坐标为(3，－4)，
∴OE＝＝5，
过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H，
则＝，
∴OM＝OE＝5，
∴点M的坐标为(0，－5)，
设直线ME的函数表达式为y＝k1x－5，E（3，-4）在直线ME上，
∴3k1－5＝－4，解得k1＝，
∴直线ME的函数表达式为y＝x－5，
令y＝0，解得x＝15，
∴点H的坐标为(15，0)．
又∵MH∥PB，
∴＝，即，
∴m＝－；
②当QO＝QP时，△OPQ是等腰三角形，如图，


设直线CE交x轴于点N，其函数表达式为y＝k2x－8，
E（3，-4）在直线CE上，
∴3k2－8＝－4，解得k2＝，
∴直线CE的函数表达式为y＝x－8，
令y＝0，得x－8＝0，
∴x＝6，
∴点N的坐标为(6，0)．
∵CN∥PB.
∴＝，
∴＝，解得m＝－.
综上所述，当m的值为－或－时，△OPQ是等腰三角形．
6．如图，已知直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过y＝ax2+bx+c经过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．
（1）若抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．
①求点M、N的坐标；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）当点P的横坐标为2时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)① M（1，），N（1，3）； ②见解析;(2)见解析.
【详解】
解：（1）①y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，
∴顶点M的坐标为（1，），
当x＝1时，y＝﹣1+4＝3，
∴点N的坐标为（1，3）；
②不存在．理由如下：
MN＝﹣3＝，
设点P 的坐标为（m，﹣m+4），则D（m，﹣m2+m+4），
[来源:学§科§网]
PD＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，
∵PD∥MN．
∴当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，
即﹣m2+2m＝，解得：m＝1或3（m＝1舍去），
∴点P（3，1），由N（1，3），
∴PN＝≠MN，
∴平行四边形MNPD不是菱形，
即：不存在点P，使四边形MNPD为菱形；

把A、B、D坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故：二次函数表达式为：y＝﹣x2+3x+4．
7．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），与y轴交于点D(0，3)，过顶点C作CH⊥x轴于点H.
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）连结AD、CD，若点E为抛物线上一动点（点E与顶点C不重合），当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；
（3）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标.

【答案】（1），（-1,4） （2）(-2，3)，，
（3）(-4，-5)，(，)
【详解】
（1）设抛物线的解析式为，
∵抛物线过点A(-3，0),B(1，0)，D(0，3)，
∴，解得，a=-1，b=-2，c=3，
∴抛物线解析式为，顶点C（-1,4）；

∴直线EC的解析式为y=x+5，
直线EH的解析式为y=x+1，
分别与抛物线解析式联立，得，，
解得点E坐标为(-2，3)，，；
（3）①若点P在对称轴左侧（如图2），只能是△CPQ∽△ACH，得∠PCQ=∠CAH，
∴，
分别过点C、P作x轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，交点为M和N，[来源:学科网]
由△CQM∽△QPN，
得=2，
∵∠MCQ=45°，
设CM=m，则MQ=m，PN=QN=2m，MN=3m，
∴P点坐标为(-m-1，4-3m)，
将点P坐标代入抛物线解析式，得，
解得m=3，或m=0(与点C重合，舍去)
∴P点坐标为(-4，-5)；
②若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH，
∴，
延长CD交x轴于M，∴M(3，0)

∴直线CF的解析式为y=，
联立抛物线解析式，得，解得点P坐标为(，)，
综上所得，符合条件的P点坐标为(-4，-5)，(，).


8．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝-x+2分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．点P是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．设点P的横坐标为m．
（1）点A的坐标为　 　．
（2）求这条抛物线所对应的函数表达式．
（3）点P在线段OA上时，若以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，求m的值．
（4）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、F、P三点为“共谐点”．直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值．

【答案】（1）（4，0）（2）y＝﹣x2+x+2（3），（4）﹣1或﹣或
【详解】
（1）在y＝-x+2中，令y＝0，则x＝4，
∴A（4，0）；
故答案为：（4，0）；
（2）∵在y＝-x+2中，令x＝0，则y＝2，
∴B（0，2），
把A（4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，得b＝，
∴这条抛物线所对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+2；

∵∠EBF＝90°，
∴∠EBC+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠BEC，
∴Rt△ECB∽Rt△BOA，
∴,
∴,解得m＝0（舍去）或m＝，
解得，m＝，
综上所述，以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，m的值＝，
（4）由（1）知，P（m，0），E（m，﹣m2+m+2），F（m，﹣m+2），
∵E、F、P三点为“共谐点”，
∴有F为线段PE的中点、P为线段FE的中点或E为线段PF的中点，
当F为线段PE的中点时，则有2（﹣m+2）＝﹣m2+m+2，解得m＝4（三点重合，舍去）或m＝；
当P为线段FE的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）＝0，解得m＝4（舍去）或m＝﹣1；
当E为线段FP的中点时，则有﹣m+2＝2（﹣m2+m+2），解得m＝4（舍去）或m＝﹣；
综上可知当E、F、P三点成为“共谐点”时m的值为﹣1或﹣或．

9．如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（6，0）、B（8，8）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；
（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，在坐标平面内有点P，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．

【答案】（1）抛物线的解析式是y=x2﹣3x；（2）D点的坐标为（4，﹣4）；（3）点P的坐标是（）或（）．
试题解析：
（1）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（6，0）、B（8，8）
∴将A与B两点坐标代入得：，解得：，
∴抛物线的解析式是y=x2﹣3x．
（2）设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（8，8），
得：8=8k1，解得：k1=1
∴直线OB的解析式为y=x，
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m，
∴x﹣m=x2﹣3x，
∵抛物线与直线只有一个公共点，
∴△=16﹣2m=0，
解得：m=8，
此时x1=x2=4，y=x2﹣3x=﹣4，
∴D点的坐标为（4，﹣4）

∴直线A′B的解析式是y=，
∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，
∴BA′和BN重合，即点N在直线A′B上，
∴设点N（n，），又点N在抛物线y=x2﹣3x上，
∴=n2﹣3n， 解得：n1=﹣，n2=8（不合题意，舍去）
∴N点的坐标为（﹣，）．
如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，

则N1（﹣，-），B1（8，﹣8），
∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．
∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N1OB1，
∴△P1OD∽△N1OB1，
∴，
∴点P1的坐标为（）．
将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（），
综上所述，点P的坐标是（）或（）．
10．如图，抛物线与轴交于A，B两点(点B在点A的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴与轴交于点E，联接AD，OD．

（1）求顶点D的坐标（用含的式子表示）；
（2）若OD⊥AD，求该抛物线的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设动点P在对称轴左侧该抛物线上，PA与对称轴交于点M，若△AME与△OAD相似，求点P的坐标．
【答案】（1）(4,-4m)（2）（3）（0，）或（1，）
（2）∵
∴点A（6，0），点B(2,0)，则OA＝6， ∵抛物线的对称轴为x＝4，∴点E（4，0），
则OE＝4，AE＝2， 又DE＝4ｍ，
∴由勾股定理得：， ，
又OD⊥AD，∴， 则，解得：，
∵m＞0，∴抛物线的函数表达式.
（3）如图，过点P作PH⊥x轴于点H，则△APH∽△AME，
在Rt△OAD中，， 设点P的坐标为，
当△APH∽△AME∽△AOD时，∵，
∴，即，
解得：x＝0，x＝6（舍去），∴点P的坐标为；
②△APH∽△AME∽△OAD时，∵， ∴，即，
解得：x＝1，x＝6（舍去），∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或.

11．如图，抛物线y＝－x2－x＋与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴于点C，已知点D(0，－)．
（1）求直线AC的解析式；
（2）如图1，P为直线AC上方抛物线上的一动点，当△PBD的面积最大时，过P作PQ⊥x轴于点Q，M为抛物线对称轴上的一动点，过M作y轴的垂线，垂足为点N，连接PM、NQ，求PM＋MN＋NQ的最小值；
（3）在（2）问的条件下，将得到的△PBQ沿PB翻折得到△PBQ′，将△PBQ′沿直线BD平移，记平移中的△PBQ′为△P′B′Q″，在平移过程中，设直线P′B′与x轴交于点E，则是否存在这样的点E，使得△B′EQ″为等腰三角形？若存在，求此时OE的长．

【答案】（1）直线AC的表达式为；（2）的最小值为；（3）或或或.
详解：（1）
、、
设直线AC的表达式为，将、代入解析式：
可得 则直线AC的表达式为 ；
（2）可得直线BD的解析式为，过点P作y轴的平行线交直线BD于点F,
设点 ，则.
，
.
当，即时，最大；
则，过点P作对称轴的垂线，垂足为点，可得
作关于轴的对称点，连接，交轴与点，
再过点作对称轴的垂线，垂足为点，即、为所求点．
此时
，则最小值为 ；
（3）当时，或
当时，.
当时，.
12．二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（﹣1，0）、B（4，0）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（﹣，0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标；
（3）如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45°，交抛物线于点P，求点P的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4；（2）点N的坐标为（， ）或（，2）；（3）P的坐标为（4，0）
（3）过点A作AD∥y轴，过点M作DM∥x轴，交点为D，过点A作AE⊥AM，取AE＝AM，作EF⊥x轴，垂足为F，连结EM交抛物线与点P．则△AME为等腰直角三角形，然后再求得点M的坐标，从而可得到MD＝2，AD＝6，然后证明∴△ADM≌△AFE，于是可得到点E的坐标，然后求得EM的解析式为y＝−2x＋8，最后求得直线EM与抛物线的交点坐标即可．
详解:
（1）当x=0时，y=4，∴C（0，4）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4），将点C的坐标代入得：﹣4a=4，解得a=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4．

当△CDN∽△NEF时， ，即，解得：a=2．
∴点N的坐标为（，2）．
综上所述，点N的坐标为（， ）或（，2）．
（3）如图所示：过点A作AD∥y轴，过点M作DM∥x轴，交点为D，过点A作AE⊥AM，取AE=AM，作EF⊥x轴，垂足为F，连结EM交抛物线与点P．

∵AM=AE，∠MAE=90°， ∴∠AMP=45°．
将x=1代入抛物线的解析式得：y=6， ∴点M的坐标为（1，6）． ∴MD=2，AD=6．
∵∠DAM+∠MAF=90°，∠MAF+∠FAE=90°， ∴∠DAM=∠FAE．
在△ADM和△AFE中， ，
∴△ADM≌△AFE．
∴EF=DM=2，AF=AD=6．
∴E（5，﹣2）．
设EM的解析式为y=kx+b．
将点M和点E的坐标代入得： ，
解得k=﹣2，b=8，
∴直线EM的解析式为y=﹣2x+8．
将y=﹣2x+8与y=﹣x2+3x+4联立，解得：x=1或x=4．
将x=4代入y=﹣2x+8得：y=0．∴点P的坐标为（4，0）．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，把抛物线C1：y=﹣x2沿x轴翻折，再平移得到抛物线C2，恰好经过点A（﹣3，0）、B（1，0），抛物线C2与y轴交于点C，抛物线C1：y=﹣x2与抛物线C2的对称轴交于D点．
（1）求抛物线C2的表达式．
（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在一点M，使得以M、O、D为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求点M坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）y=x2+2x﹣3; （2）点M的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣3）．[来源:Z#xx#k.Com]
（2）如图所示：

∵抛物线C2的对称轴x=﹣=﹣1，
∴点E的坐标为（﹣1，0），
∵将x=﹣1代入y=﹣x2得：y=﹣1，
∴D（﹣1，﹣1），
∴OE=DE=1，
∴△OED为等腰直角三角形，
∴OD=，∠EOD=∠EDO=45°，
∴∠DOB=135°，
在Rt△EDB中，DB=，
∵∠DOB=135°，
∴M点只能在D点下方，
∵∠BDM=∠BOD=135°，
∴当或时，以M、O、D为顶点的三角形与△BOD相似，
∵当时，，解得：MD=2，
∴点M的坐标为（﹣1，﹣3），
∵当时，，解得：MD=1，
∴点M的坐标为（﹣1，﹣2），
综上所述点M的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣3）．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点、、抛物线过A、C两点．
直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
动点P从点A出发沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒过点P作交AC于点E．
过点E作于点F，交抛物线于点当t为何值时，线段EG最长？
连接在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得是等腰三角形？请直接写出相应的t值．

【答案】 A的坐标为，抛物线的解析式为：；当时，线段EG最长为2；．  
详解：（1）因为点B的横坐标为4，点D的纵坐标为8，AD∥x轴，AB∥y轴，所以点A的坐标为（4，8）．
将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx得，解得：a=﹣，b=4． 故抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x；
（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==，即=，∴PE=AP=t．PB=8﹣t，∴点E的坐标为（4+t，8﹣t），∴点G的纵坐标为：﹣（4+t）2+4（4+t）=﹣t2+8，∴EG=﹣t2+8﹣（8﹣t）=﹣t2+t．
∵﹣＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2．
②共有三个时刻．
（i）当EQ=QC时，因为Q（8，t），E（4+t，8﹣t），QC=t，所以根据两点间距离公式，得：（t﹣4）2+（8﹣2t）2=t2．
整理得：13t2﹣144t+320=0，解得：t=或t==8（此时E、C重合，不能构成三角形，舍去）．
（ii）当EC=CQ时，因为E（4+t，8﹣t），C（8，0），QC=t，所以根据两点间距离公式，得：
（4+t﹣8）2+（8﹣t）2=t2．
整理得：t2﹣80t+320=0，t=40﹣16，t=40+16＞8（此时Q不在矩形的边上，舍去）．
（iii）当EQ=EC时，因为Q（8，t），E（4+t，8﹣t），C（8，0），所以根据两点间距离公式，得：（t﹣4）2+（8﹣2t）2=（4+t﹣8）2+（8﹣t）2，解得：t=0（此时Q、C重合，不能构成三角形，舍去）或t=．
于是t1=，t2=，t3=40﹣16．
[来源:学科网ZXXK]
15．如图，抛物线y＝a( x＋1 )2－4a（a＜0）与x轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，连接BD交抛物线的对称轴于点E，连接BC、CE．
（1）抛物线顶点坐标为 （用含a的代数式表示），A点坐标为 ，
（2）当△DCE的面积为时，求a的值；
（3）当△BCE为直角三角形时，求抛物线的解析式.

【答案】（1）（-1，-4a），(-3,0)（2）-（3）y＝-( x＋1 )2+4或y＝－( x＋1 )2 +
（3）作DH⊥x轴于H．显然，∠CBE为锐角，所以∠CBE90°．分两种情况讨论：
①若∠BEC＝90°，②若∠BCE＝90°。
详解：（1）抛物线y＝a（ x＋1 ）2－4a（a＜0）的顶点坐标是（-1，-4a）．令y=0，得：a（ x＋1 ）2－4a=0，解得：x=－3，或x=1，∴A点坐标为（-3，0）．
（2）设对称轴交CD于M，交x轴于F．令x=0，得：y=a-4a=－3a，∴C(0，－3a)．∵对称轴为直线x=1，∴D（－2，－3a），∴DC=2．∵△DCE的面积=，∴DC•ME=，∴ME=，∴E（－1，），易求直线BD的解析式为：．∵E为直线BD与对称轴的交点，∴当x=－1时，y=－2a，∴－2a=，解得：a=．

（3）作DH⊥x轴于H．
显然，∠CBE为锐角，所以∠CBE90°．
①若∠BEC＝90°，则∠DEC＝90°．
∵CD∥x轴，∴由对称性可知∠CEM＝∠DEM＝45°，∴∠BEF＝45°，∴∠BDH＝45°，∴BH＝DH．
∵y＝a（ x＋1 ）2－4a，∴A（－3，0），B（1，0），C（0，－3a），抛物线的对称轴为直线x＝－1，∴D（－2，－3a），∴BH＝3，DH＝－3a，∴a＝－1∴y＝-（ x＋1 ）2+4；