浙江省杭州市2021届高三下学期适应性联考数学试题

2020学年第二学期浙江省适应性联考

高三数学学科  试题

考前须知：

1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．

4．考试结束后，只需上交答题纸．

选择题部分

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则（    ）

A．             B．            C．         D．

2．已知复数，满足，复数z的实部为,则复数z的虚部是（    ）

A．             B．            C．             D．

3．某三棱锥的三视图如图所示．则该三棱锥内切球的半径是（    ）

A．             B．            C．             D．

4．已知过平面外一点A的斜线l与平面所成角为，斜线l交平面于点B，若点A与平面的距离为1，则斜线段在平面上的射影所形成的图形面积是（    ）

A．             B．            C．             D．

5．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件           B．必要不充分条件

C．充要条件                 D．既不充分也不必要条件

6．由于疫情防控需要，电影院观影实行隔空位就座．甲、乙、丙、丁四个人结伴前往观影，已知目前只剩同一排的8个空位，甲、乙必须在丁的同侧，则不同的坐法种数是（    ）

A．16             B．40           C．80           D．120

7．已知袋中不加区分的若干个球，其中3个红球，1个黄球，n个黑球，每次从袋中任取一球，取后不放回，一旦摸到黑球即停止摸球，并记此时摸球的次数为X，若，则（    ）

A．4             B．3              C．2              D．1

8．已知分别为双曲线左、右焦点，直线l过交双曲线的左支于M，N两点，若线段中点恰好在y轴上，且，则双曲线C的离心率是（    ）

A．             B．            C．             D．

9．已知函数，若方程有且仅有3个不等实根，则实数k的取值范围是（    ）

A．                       B．

C．或         D．

10．已知数列满足（e为自然对数的底数），则（    ）

A．            B．        C．      D．

非选择题部分

二、填空题：本大题共7小题，共36分．多空题每小题6分，单空题每小题4分．

11．已知双曲线，则双曲线C的渐近线方程是______，离心率等于______．

12．展开式中常数项是_______，二项式系数和是__________．

13．已知实数x，y满足，则的最大值是_______，的最小值是______．

14．已知数列前n项和为，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则的最大值是________．

15．如图所示，在中，已知，D为边上的一点，且满足，则_________，__________．

16．已知正实数x，y满足，则的最小值是_________．

17．已知中，边上的高为2，H为上一动点，满足则的最小值是__________．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．已知函数．

（I）求的最小正周期及单调减区间；

（1）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，边上的中线，求的最大值．

19．如图，中，，现将以为轴旋转，将B点旋转至C点，使得．

（I）求；

（Ⅱ）求与面所成角的正弦值．

20．已知正项数列满足，且数列满足，且点在函数的图像上

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

21．已知抛物线与桶圆具有相同的焦点，且椭圆的离心率为，过椭圆C的上顶点直线l交抛物线E于A，B两点，分别以A，B为切点作抛物线E的切线，相交于点M．

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求面积的最小值．

22．已知函数．

（I）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若任意，总有成立，求a的取值范围．

2020学年第二学期浙江省适应性联考

高三数学参考答案

1．【答案】  B

【解析】  ，则

∴，故选：B．

2．【答案】  A

【解析】  复数z的实部为，所以，所以复数z的虚部．

3．【答案】  A

【解析】  根据三视图可得该三棱锥的直观图如下：

取的中点为E、D则有平面，，

所以

设内切球的半径为R，可得

故选：A

4．【答案】  A

【解析】  由题意可知，射影形成的图形为半径为的圆，所以面积为．

5．【答案】  B

【解析】  ∵

∴，化为：，解得或

或，故选：B．

6．【答案】  C

【解析】  甲乙必须在丁的同侧，故种数为，又必须隔空而坐，故采用插空法，，故最终总数为，答案为C

7．【答案】  B

【解析】  由，故，∴

由条件可知X可能取值为1，2，3，4，5

则,

,

∴

8．【答案】  B

【解析】  由题意可知，线段中点恰好在y轴上，则直线轴，故，

∵，∴，∴

∴，∴，

∴，∴，∴

9．【答案】  B

【解析】  已知，作出函学科网数图像，

通过函数图像可以看出，当直线与相切时，，

直线过点时，所以有且仅有3个不等实根，可以得到，故选：B．

10．【解析】

对于选项A，，∴，故A错误；

对于选项B，，故B错误；

对于选项C，D

设函数，所以，

所以函数为单调递增函数，数列为单调递增数列，

故，故答案为C

11．【答案】 

【解析】  由已知，得，所以双曲线渐近线方程为，离心率

12．【答案】    32

【解析】常数项为，所有项的二项式系数为

13．【答案】  5 

【解析】  画出可行域，如图中阴影部分（包含边界）所示，

由图可得，当直线过点A时，直线1的斜率最大，由解得，即，

；

目标函数，其中可以看成是可行域内的点和点确定的直线1的斜率，当直线过点时，直线1的斜率最大，此时直线1的斜率为，故的最大值为故答案为：5，

14．【答案】 

【解析】  数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，∴，

∴，所以，

则，

当且仅当或3时，等号成立，所以的最大值是．

故答案为．

15．【答案】 

【解析】  令，因为，所以，

所以，

，

在中，由正弦定理得，解得．

故答案为：．

16．【答案】  ，

【解析】  因为，∴

所以，

当，即时取等号，的最小值为．

故答案为：．

17．【答案】8

【解析】  因为，B，H，C三学科网点共线，

所以又，所以

所以

当且仅当时取到最小值8．

故答案为：8．

18．【解析】解：（1）函数

                              3分

所以最小正周期为，                                    5分

单调减区间为                              7分

（2）∵,∴,∴,               9分

∵,∴

∴

∴                           11分

∴，∴，当且仅当时，取等号．    14分

19．【解析】

（I）由题意可知，，故，               3分

∵，∴面，                             5分

∴，∴为等腰直角三角形，

∴．                                   7分

（II）取中点F，连接，

由是以以为轴旋转而成，故             9分

∴，所以面，

过A作交于G，

∵面，∴，∴面，                       11分

∴即为与面所成角，                            12分

而．∴面．∴，

∵,∴,∴,

∴                               15分

20．【答案】  （1）；（2）

【解析】  （1）由已知，得，         2分

因为数列是正项数列，所以，                2分

即，累乘得，，又也满足上式

故的通项                          5分

由己知，得，又，

所以是以4为首项，2为公比的等比数列，所以．       7分

（2）设                   9分

则的前项和即为数列的前n项和，设为，

则

∴                   11分

两式相减得：

∴                      15分

21． 【答案】（1），（2）

【解析】  （1）抛物线，所以焦点坐标为，

故椭圆的焦点也为，∴，                                   2分

由椭圆的离心率为，所以，所以，∴，          4分

椭圆                                         5分

（2）由（1）可知，椭圆，所以上顶点的坐标为，               7分

设，因为抛物线，

所以，所以，                             9分

得

同时在直线上，所以

所以直线的方程为：，化简可得，

又直线经过椭圆的上顶点，所以，所以直线为              11分

联立方程：，可得，∴，

所以,M到直线的距离，                13分

∴

故面积的最小值为．                                    15分

22．【答案】  （1）答案见解析；（2）．

【解析】  （1）的定义域是R，．             1分

①当，即时，在R上恒成立，则在上单调递增；    3分

②当，即时，令，得，

令，得；则在上单调递减，

在上单调递增．

（2）对一切，

即在上恒成立，

设，则，                7分

易知在上单调递增，且当时，，

当时，，所以存在唯一零点，

令，则

且在上单调递减，在上单调递增，                9分

∴，

即有，                           11分

设，令，则单调递增，又，

故，得，                                 13分

∴增函数其值域为，即的取值范围为，

故a的取值范围是．                                   15分