-福建省晋江市2020届九年级下学期初中学业质量检查数学试题解析版

这是一份-福建省晋江市2020届九年级下学期初中学业质量检查数学试题解析版，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

晋江市2020届九年级下学期初中学业质量检查数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.在答题卡的相应位置内作答.
1．﹣|﹣5|＝（　　）
A．5 B．﹣ C．﹣5 D．
2．某种感冒病毒的直径是0.00000012米，数0.00000012用科学记数法表示为（　　）
A．1.2×10﹣6 B．1.2×10﹣7 C．1.2×10﹣8 D．12×10﹣8
3．与算式32+32+32的运算结果相等的是（　　）
A．33 B．23 C．35 D．36
4．如图是某几何体放置在水平面上，则其主视图正确的是（　　）

A． B． C． D．
5．下列事件中是不可能事件的是（　　）
A．抛掷一枚硬币50次，出现正面的次数为40次
B．从一个装有30只黑球的不透明袋子中摸出一个球为黑球
C．抛掷两枚质地均匀的普通正方体骰子，出现点数之和等于13
D．从一副没有大小王的扑克牌中任意抽出一张牌恰为黑桃K
6．若要运用反证法证明“若a＞b＞0，则”，首先应该假设（　　）
A． B． C．a＜b D．
7．如图，在▱ABCD中，E是边AD上的一点，AC与BE相交于点Q，若，则的值为（　　）

A． B． C． D．
8．如图，PA是⊙O的切线，点A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，点C在⊙O上，连接AC，BC，则∠ACB的度数为（　　）

A．25° B．28° C．30° D．35°
9．若a+b+c＝0，9a﹣3b+c＝0，则抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是（　　）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝﹣3
10．方程x2+2x﹣1＝0的根可视为直线y＝x+2与双曲线y＝交点的横坐标，根据此法可推断方程x3+3x﹣2＝0的实根x0所在的范围是（　　）
A．0＜x0＜1 B．1＜x0＜2 C．2＜x0＜3 D．3＜x0＜4
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题卡的相应位置.
11．7﹣1＝　 　．
12．如图，菱形ABCD中，两条对角线长AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的面积为　 　．

13．某斜坡坡角α的正弦值sinα＝，则该斜坡的坡比为　 　．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD≥AD＞0，将△ACD沿CD折叠得△ECD，连接BE，若BC＝3，AC＝4，则△BCE的周长比△BDE的周长大　 　．

15．已知方程组，则x：y：z＝　 　．
16．如图，⊙O的直径EF为20cm，弦AB，CD位于直径EF的异侧，长度分别为12cm，16cm，AB∥EF∥CD，点G在线段EF上，则图中阴影部分面积之和为　 　cm2．

三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.在答题卡的相应位置内作答.
17．先化简，再求值：，其中a＝﹣3．
18．某校举行“讲文明、爱卫生”知识竞赛，共有20道题，答对一道题得10分，答错或不答扣5分，若小明同学得分要超过100分，那么他至少要答对几道题？
19．如图，在△ABC中，射线BD平分∠ABC，交AC边于点D．
（1）尺规作图：在射线BD上求作一点P，使得点P到∠ACB的两边的距离相等（保留作图痕迹，不写作法与证明）；
（2）在（1）的条件下，若∠A＝50°，求∠BPC的度数．

20．《九章算术》有题如下：今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？
意思是：今有甲乙二人，站在同一个地方A处，甲行走的速度为7，乙行走的速度为3．乙向东方的C处走，甲同时出发先向南方的B处走10步，再斜向北偏东某方向走了一段后与乙相会于C处．问甲、乙所走的路程各是多少？

21．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，将△ADE绕着点A按顺时针方向旋转90°得到△AFG，使得点A，B，F在同一条直线上．若sin∠ADE＝，AC＝20，求tan∠FGC的值．

22．为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A、B、C三种午餐供师生选择，单价分别是：8元、10元、15元．为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A、B、C三种午餐购买情况的数据制成统计表如下，又根据过去平均每份的利润与销售量之间的关系绘制成统计图如下：
种类
数量（份）
A
1800
B
2400
C
800
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）该校师生上周购买午餐费用的中位数是　 　元；
（2）为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人选择两种不同午餐交替使用，试通过列表或画树状图分析，求该校学生小明选择“AB”组合的概率；
（3）经分析与预测，师生购买午餐种类与数量相对稳定．根据上级规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价．
①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价？
②为了便于操作，公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），才能使得下周平均每份午餐的利润在不违反规定下最接近3元，试通过计算说明，应把哪一种午餐的单价调整为多少元？

23．如图，双曲线（k＞0）与直线y＝mx（m＞0）相交于A，B两点，其中点A在第一象限，AD⊥x轴于点D，BF⊥x轴于点F．
（1）当m＝时，点F的坐标为（﹣4，0），求点A、B的坐标及k的值；
（2）过y轴上的点N作NC∥x轴交双曲线（x＞0）于点E，交直线AD于点C，连接OE，若点A是CD的中点，且四边形OACE的面积为4，求k的值．

24．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝5，以AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于点E，F，连接EF，OE．
（1）求证：∠OEF＝∠ABC；
（2）如图2，连接BE，若点D是线段BE上的一个动点，且tan∠CFE＝2，求CD+BD的最小值．

25．如图，抛物线y＝mx2﹣8mx+12m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点，连接OP，BP，AC，AP，延长AP交y轴于点Q．
（1）当∠OAC＝60°时，求m的值；
（2）若对于任意m＞0，AQ是△AOC的中线，求点P的坐标（用含m的式子表示）；
（3）如图2，当点P运动到第四象限某一位置时，恰好使得∠OPB＝∠OAQ，且△ACQ的重心I在线段CP上，此时对于抛物线上任意一点T（x0，y0），总有恒成立，求实数n的取值范围．



参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．﹣|﹣5|＝（　　）
A．5 B．﹣ C．﹣5 D．
【分析】根据绝对值的定义求结果即可．
【解答】解：原式＝﹣|﹣5|＝﹣5，
故选：C．
2．某种感冒病毒的直径是0.00000012米，数0.00000012用科学记数法表示为（　　）
A．1.2×10﹣6 B．1.2×10﹣7 C．1.2×10﹣8 D．12×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000012＝1.2×10﹣7．
故选：B．
3．与算式32+32+32的运算结果相等的是（　　）
A．33 B．23 C．35 D．36
【分析】原式计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：原式＝3×32＝33，
故选：A．
4．如图是某几何体放置在水平面上，则其主视图正确的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据主视图是从正面看到的图形，可得答案．
【解答】解：从正面看是一个正方形，正方形的左上角是一个小正方形．
故选：A．
5．下列事件中是不可能事件的是（　　）
A．抛掷一枚硬币50次，出现正面的次数为40次
B．从一个装有30只黑球的不透明袋子中摸出一个球为黑球
C．抛掷两枚质地均匀的普通正方体骰子，出现点数之和等于13
D．从一副没有大小王的扑克牌中任意抽出一张牌恰为黑桃K
【分析】利用随机事件、必然事件和不可能事件的定义对各选项进行判断．
【解答】解：“抛掷一枚硬币50次，出现正面的次数为40次为”随机事件；
“从一个装有30只黑球的不透明袋子中摸出一个球为黑球”为必然事件；
“抛掷两枚质地均匀的普通正方体骰子，出现点数之和等于13”为不可能事件；
“从一副没有大小王的扑克牌中任意抽出一张牌恰为黑桃K“为随机事件．
故选：C．
6．若要运用反证法证明“若a＞b＞0，则”，首先应该假设（　　）
A． B． C．a＜b D．
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是a＞b的反面有多种情况，应一一否定．
【解答】解：要运用反证法证明“若a＞b＞0，则”，首先应该假设，
故选：D．
7．如图，在▱ABCD中，E是边AD上的一点，AC与BE相交于点Q，若，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】延长BE，交CD延长线于点F，利用AB∥DC，得到△ABE∽△DFE和△ABQ∽△CFQ，利用相似三角形的性质可得结论．
【解答】解：延长BE，交CD延长线于点F，如图，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD．
∴△ABE∽△DFE．
∴．
∴DF＝AB．
∴CF＝CD+DF＝AB+AB＝AB．
∵AB∥CF，
∴△ABQ∽△CFQ．
∴．
∴＝．
故选：D．
8．如图，PA是⊙O的切线，点A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，点C在⊙O上，连接AC，BC，则∠ACB的度数为（　　）

A．25° B．28° C．30° D．35°
【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP＝90°，求出∠AOP的度数，进而利用圆周角定理可得出答案．
【解答】
解：连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∵∠P＝30°，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACB＝∠AOP＝30°，
故选：C．
9．若a+b+c＝0，9a﹣3b+c＝0，则抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是（　　）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝﹣3
【分析】由a+b+c＝0，9a﹣3b+c＝0可知抛物线经过（1，0）和（﹣3，0）两点，根据抛物线的对称性即可求得对称轴．
【解答】解：由题意可知，当x＝1时，y＝a+b+c＝0；当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过（1，0）和（﹣3，0）两点，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝﹣1，
故选：B．
10．方程x2+2x﹣1＝0的根可视为直线y＝x+2与双曲线y＝交点的横坐标，根据此法可推断方程x3+3x﹣2＝0的实根x0所在的范围是（　　）
A．0＜x0＜1 B．1＜x0＜2 C．2＜x0＜3 D．3＜x0＜4
【分析】首先根据题意推断方程y＝x2+3的实根是函数y＝x2+3与y＝的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点，即可判定推断方程实根x所在范围．
【解答】解：依题意得方程x3+3x﹣2＝0的实根是函数y＝x2+3与y＝的图象交点的横坐标，
这两个函数的图象如图所示，

∴它们的交点在第一象限，
当x＝1时，y＝x2+3＝4，y＝＝2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
当x＝时，y＝x2+3＝3，y＝＝4，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当x＝时，y＝x2+3＝3，y＝＝6，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
…
∴x3+3x﹣2＝0的实根x0所在的范围0＜x＜1．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．7﹣1＝　　．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质分析得出答案．
【解答】解：7﹣1＝．
故答案为：．
12．如图，菱形ABCD中，两条对角线长AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的面积为　24　．

【分析】由菱形的性质知，菱形的面积等于它的两条对角线的乘积的一半．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
设BD、AC相交于O点，
∴S＝AC•OB+AC•OD＝AC•BD＝×6×8＝24．
或直接得出：S＝AC•BD＝×6×8＝24．
因此，菱形的面积S是24．
故答案为：24．

13．某斜坡坡角α的正弦值sinα＝，则该斜坡的坡比为　1：　．
【分析】根据正弦的定义、勾股定理用x表示出AC，根据坡度的概念计算，得到答案．
【解答】解；如图，设BC＝x，
在Rt△ABC中，sinA＝＝，
则AB＝2x，
由勾股定理得，AC＝＝x，
∴斜坡的坡比＝＝＝1：，
故答案为：1：．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD≥AD＞0，将△ACD沿CD折叠得△ECD，连接BE，若BC＝3，AC＝4，则△BCE的周长比△BDE的周长大　2　．

【分析】利用勾股定理求出AB，再利用翻折不变性解决问题即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵△CDE是由△ACD翻折得到，
∴AC＝CE，DA＝DE，
∴△BCE的周长﹣△BDE的周长＝BC+CE+BE﹣（BD+DE+BE）＝BC+AC+BE﹣（AD+DB+BE）＝3+4﹣5＝2，
故答案为2．
15．已知方程组，则x：y：z＝　2：3：1　．
【分析】先解方程组，用含z的代数式表示x、y，再求x：y：z．
【解答】解：，
①+②，得2x﹣4z＝0，
∴x＝2z．
①﹣②，得2y﹣6z＝0，
∴y＝3z．
∴x：y：z＝2z：3z：z＝2：3：1．
故答案为：2：3：1．
16．如图，⊙O的直径EF为20cm，弦AB，CD位于直径EF的异侧，长度分别为12cm，16cm，AB∥EF∥CD，点G在线段EF上，则图中阴影部分面积之和为　50π　cm2．

【分析】连接AO，BO，延长BO交⊙O于H，则BG是⊙O的直径，连接AH，根据圆周角定理得到∠HAB＝90°，根据勾股定理得到AH＝＝16，求得AH＝CD，推出S扇形AOH＝S扇形COD，根据已知条件得到S△OCD＝S△CDG，于是得到结论．
【解答】解：AO，BO，延长BO交⊙O于H，
连接AH，则∠HAB＝90°，
∵AB＝12，BG＝EF＝20，
∴AH＝＝16，
∴AG＝CD，
∴＝，
连接OC，OD，则S扇形AOH＝S扇形COD，
∵CD∥EF，
∴S△OCD＝S△CDG，
∴S阴影DCG＝S扇形COD，
∴S阴影DGC＝S扇形AOH，
同理，S△AOE＝S△BOE，
∴图中阴影部分的面积＝S圆O＝×102＝50π．
故答案为：50π．

三．解答题
17．先化简，再求值：，其中a＝﹣3．
【分析】首先利用分式的减法法则计算小括号里面的减法，然后再计算括号外的除法，化简后，再代入a的值计算即可．
【解答】解：原式＝•＝•＝﹣3（a+3）＝﹣3a﹣9，
当a＝﹣3时，原式＝﹣3×（﹣3）﹣9＝﹣3+9﹣9＝﹣3．
18．某校举行“讲文明、爱卫生”知识竞赛，共有20道题，答对一道题得10分，答错或不答扣5分，若小明同学得分要超过100分，那么他至少要答对几道题？
【分析】设小明答对了x道题，则答错或不答（20﹣x）道题，根据得分＝10×答对题目数﹣5×答错或不答题目数结合得分超过100分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
【解答】解：设小明答对了x道题，则答错或不答（20﹣x）道题，
依题意，得：10x﹣5（20﹣x）＞100，
解得：x＞，
又∵x为正整数，
∴x的最小值为14．
答：他至少要答对14道题．
19．如图，在△ABC中，射线BD平分∠ABC，交AC边于点D．
（1）尺规作图：在射线BD上求作一点P，使得点P到∠ACB的两边的距离相等（保留作图痕迹，不写作法与证明）；
（2）在（1）的条件下，若∠A＝50°，求∠BPC的度数．

【分析】（1）作出∠ACB的角平分线交BD于点P，点P即为所求．
（2）求出∠PBC+∠PCB的值即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，点P即为所求．

（2）∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝65°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝115°
20．《九章算术》有题如下：今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？
意思是：今有甲乙二人，站在同一个地方A处，甲行走的速度为7，乙行走的速度为3．乙向东方的C处走，甲同时出发先向南方的B处走10步，再斜向北偏东某方向走了一段后与乙相会于C处．问甲、乙所走的路程各是多少？

【分析】设甲、乙到C处所用的时间为x，然后利用勾股定理列出方程即可求得甲乙两人走的步数．
【解答】解：设甲、乙到C处所用的时间为x，
这时乙共行AC＝3x，
甲共行AB+BC＝7x，
∵AB＝10，
∴BC＝7x﹣10，
又∵∠A＝90°，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴（7x﹣10）2＝102+（3x）2，
∴x1＝0或x2＝3.5，
x1＝0不合题意，舍去，故只取x2＝3.5，
∴AC＝3x＝10.5，
AB+BC＝7x＝24.5，
答：甲走了24.5步，乙走了10.5步．

21．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，将△ADE绕着点A按顺时针方向旋转90°得到△AFG，使得点A，B，F在同一条直线上．若sin∠ADE＝，AC＝20，求tan∠FGC的值．

【分析】由矩形的性质得出∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝BC，则∠DAE＝∠BAC＝90°，求出BC＝AD＝16，由旋转的性质得出：∠AGF＝∠AED＝90°，∠GAC＝90°，∠AFG＝∠ADE，AF＝AD＝16，证得∠ACG＝∠FGC，由锐角三角函数的概念可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠BAC＝∠ADE，
∴sin∠BAC＝sin∠ADE＝，
在Rt△ABC中，sin∠BAC＝，
∴，
∴BC＝AD＝16，
由旋转的性质得出：∠AGF＝∠AED＝90°，∠GAC＝90°，∠AFG＝∠ADE，AF＝AD＝16，
在Rt△AFG中，AG＝AF•sin∠AFG＝16×＝，
在Rt△GAC中，tan∠ACG＝＝＝，
∵∠BAC＝∠ADE，∠AFG＝∠ADE，
∴∠BAC＝∠AFG，
∴FG∥AC，
∴∠ACG＝∠FGC，
∴tan∠ACG＝tan∠FGC＝．
22．为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A、B、C三种午餐供师生选择，单价分别是：8元、10元、15元．为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A、B、C三种午餐购买情况的数据制成统计表如下，又根据过去平均每份的利润与销售量之间的关系绘制成统计图如下：
种类
数量（份）
A
1800
B
2400
C
800
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）该校师生上周购买午餐费用的中位数是　10　元；
（2）为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人选择两种不同午餐交替使用，试通过列表或画树状图分析，求该校学生小明选择“AB”组合的概率；
（3）经分析与预测，师生购买午餐种类与数量相对稳定．根据上级规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价．
①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价？
②为了便于操作，公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），才能使得下周平均每份午餐的利润在不违反规定下最接近3元，试通过计算说明，应把哪一种午餐的单价调整为多少元？

【分析】（1）中位数要求将三种午餐价格从小到大排列，找到最中间的一个数字．
（2）画树状图见解答．
（3）根据条形统计图找到ABC的利润，算出总利润，之后除以总人数，计算平均利润，与3元对比即可．对于调低单价，要求对ABC三种午餐分别罗列每个讲价1元之后的利润，要明白降的越多，距离3元的利润越远的道理，因此在降价1元时比较三种午餐的利润谁与3元最接近即可作答．
【解答】解：（1）全校总人数为：1800+2400+800＝5000人．
因此再将价钱按照8元（A）、10元（B）、15元（C）的价钱排列后，
对于5000份数据，按照从小到大排列后，中位数为第2500和第2501个数据的平均数．也就是说，中位数为数量（份）的第2500和2501个数的平均数，
因此，通过统计表计算得知，A+B一共为1800+2400＝4200，因此中位数为B午餐的费用，
即为10元，
故答案为10．
（2）①树状图如下：

根据树状图能够得到共有6种情况：AB，AC，BA，BC，CA，CB．
其中“AB”组合共有2中情况，
∴．
（3）①根据条形统计图得知，A的利润为2元，B的利润为4元，C的利润为3元，
因此，总利润为：1800×2+4×2400+3×800＝15600（元），
平均利润为：15600÷5000＝3.12（元），
3.12＞3，因此应调低午餐单价．
②假设调低A单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
调低B单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
调低C单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
当A，B，C调的越低，利润就越低，因此距离3元的利润就会越远，
因此最低即为降低1元，此时，当调低ABC大于1元时，平均每份午餐的利润一定小于2.96元，
综上，应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润更接近3元．
23．如图，双曲线（k＞0）与直线y＝mx（m＞0）相交于A，B两点，其中点A在第一象限，AD⊥x轴于点D，BF⊥x轴于点F．
（1）当m＝时，点F的坐标为（﹣4，0），求点A、B的坐标及k的值；
（2）过y轴上的点N作NC∥x轴交双曲线（x＞0）于点E，交直线AD于点C，连接OE，若点A是CD的中点，且四边形OACE的面积为4，求k的值．

【分析】（1）根据F的坐标求得B（﹣4，﹣2），进而根据中心对称求得A（4，2），利用待定系数法即可求得k＝9；
（2）设A的坐标为（a，），根据题意得到C（a，），进一步求得E（a，），得出EN＝EC＝a，根据S正方形ONCD﹣S△AOD﹣S△EON＝4，得到a•﹣a•﹣•＝4，解得即可．
【解答】解：（1）∵点F的坐标为（﹣4，0），BF⊥x轴，
∴点B的横坐标为﹣4，
把x＝﹣4代入y＝x中，得y＝﹣2，
∴B（﹣4，﹣2），
∵A与B关于点O成中心对称，
∴A（4，2），
把A（4，2）代入y＝，求得k＝8；
（2）设A的坐标为（a，），
∵点A是CD的中点，
∴C（a，），
∴E的纵坐标为，
代入y＝中，则＝，
解得x＝a，
∴E（a，），
∴EN＝EC＝a，
∵四边形OACE的面积为4，
∴S正方形ONCD﹣S△AOD﹣S△EON＝4，
∴a•﹣a•﹣•＝4，解得k＝4．

24．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝5，以AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于点E，F，连接EF，OE．
（1）求证：∠OEF＝∠ABC；
（2）如图2，连接BE，若点D是线段BE上的一个动点，且tan∠CFE＝2，求CD+BD的最小值．

【分析】（1）如图1中，连接AF，OF．想办法证明∠EOF＝∠FOB，再根据等腰三角形的性质证明即可．
（2）如图2中，连接AF，过点C作CM⊥AB于M，过点D作DH⊥AB于H．在Rt△AEB中，tan∠CAB＝，tan∠CFE＝2，可得＝2，设AE＝k，则BE＝2k，根据AE2+BE2＝AB2，可得k2+（2k）2＝52，解得k＝或﹣（舍弃），推出AE＝，BE＝2，再利用面积法求出CM＝BE＝2，证明DH＝BD，根据CD+DH≥CM＝2，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1中，连接AF，OF．

∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∴AF⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠EAF＝∠FAB，
∵∠EOF＝2∠EAF，∠FOB＝2∠FAB，
∴∠EOF＝∠FOB，
∵OE＝OF＝OB，
∴∠OEF＝∠OFE＝∠OFB＝∠ABC，
∴∠OEF＝∠ABC．

（2）解：如图2中，连接AF，过点C作CM⊥AB于M，过点D作DH⊥AB于H．

∵四边形ABFE是圆内接四边形，
∴∠EAB+∠EFB＝180°，
∵∠CFE+∠EFB＝180°，
∴∠CFE＝∠CAB，
在Rt△AEB中，tan∠CAB＝，tan∠CFE＝2，
∴＝2，设AE＝k，则BE＝2k，
∵AE2+BE2＝AB2，
∴k2+（2k）2＝52，
解得k＝或﹣（舍弃），
∴AE＝，BE＝2，
∵AB＝AC＝5，AF⊥BC，BE⊥AC，
又∵S△ABC＝•AB•CM＝•AC•BE，
∴CM＝BE＝2，
∵∠DHB＝∠AEB＝90°，
∴sin∠DBH＝＝＝，
∴DH＝BD，
∵CD+DH≥CM＝2，
∴CD+BD＝（CD+DH）≥×＝10，
∴CD+BD的最小值为10．
25．如图，抛物线y＝mx2﹣8mx+12m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点，连接OP，BP，AC，AP，延长AP交y轴于点Q．
（1）当∠OAC＝60°时，求m的值；
（2）若对于任意m＞0，AQ是△AOC的中线，求点P的坐标（用含m的式子表示）；
（3）如图2，当点P运动到第四象限某一位置时，恰好使得∠OPB＝∠OAQ，且△ACQ的重心I在线段CP上，此时对于抛物线上任意一点T（x0，y0），总有恒成立，求实数n的取值范围．

【分析】（1）在y＝mx2﹣8mx+12m中，分别令x＝0和令y＝0，解得点A、B、C的坐标，然后在Rt△AOC中，由∠OAC＝60°，tan60°＝，解得m的值；
（2）用待定系数法求得直线AQ的解析式，再将其与y＝mx2﹣8mx+12m联立，解得点P的坐标；
（3）判定△OBP∽△OPA，解得OP，再由重心的定义得出OP为Rt△AOQ的斜边中线，从而得出AQ的值，在Rt△AOQ中，由勾股定理求得OQ，从而得出点Q的坐标，结合点A的坐标，可得点P的坐标，把P（3，﹣）代入y＝mx2﹣8mx+12m，解得m，从而得出抛物线的解析式；把m＝代入得：n+≥﹣2﹣6y0﹣10．令S＝﹣2﹣6y0﹣10＝﹣2+，根据二次函数的性质得出S的最大值，从而可得n+≥，由此即可得出n的取值范围．
【解答】解：（1）在y＝mx2﹣8mx+12m中，
令x＝0，得y＝12m，
∴点C的坐标为（0，12m）；
令y＝0，得mx2﹣8mx+12m＝0，
∵m＞0，
∴x2﹣8x+12＝0，
解得：x1＝2，x2＝6．
∵点B在点A左侧，
∴B（2，0），A（6，0）．
在Rt△AOC中，∠OAC＝60°，tan60°＝，
∴OC＝OA，
即12m＝×6，
解得m＝；
（2）∵AQ是△AOC的中线，
∴点Q是OC的中点，
∵C（0，12m），
∴Q（0，6m）．

设直线AQ的解析式为y＝kx+b（k≠0），把A（6，0）与Q（0，6m）代入，得：
，
解得，
∴直线AQ的解析式为y＝﹣mx+6m．
联立，
解得，，
∴点P的坐标为（1，5m）；
（3）当∠OPB＝∠OAQ时，∵∠POB＝∠AOP，
∴△OBP∽△OPA，
∴，
∴OP2＝OB•OA＝6×2＝12，
解得OP＝2（舍负）．
∵△ACQ的重心I在线段CP上，
∴CP是△ACQ的中线，即QP＝PA，
∴OP是Rt△AOQ的中线，
∴AQ＝2OP＝4，

在Rt△AOQ中，由勾股定理得，OQ＝＝2，
∴Q（0，﹣2）．
又∵A（6，0），
∴P（3，﹣）．
把P（3，﹣）代入y＝mx2﹣8mx+12m，得：﹣＝m×32﹣8m×+12m，
解得m＝，
此时抛物线的解析式为y＝x2﹣x+4＝（x﹣4）2﹣．
∵抛物线的开口向上，
∴当x＝4时，y最小值＝﹣．
∵点T（x0，y0）是抛物线上任意一点，
∴y0≥﹣，
把m＝代入得：n+≥﹣2﹣6y0﹣10．
令S＝﹣2﹣6y0﹣10＝﹣2+．
∵抛物线S的开口向下，
∴当y0≥﹣时，S随y0的增大而减小，
又∵y0≥﹣＞﹣，
∴当y0＝﹣时，S最大值＝，
∴若要使得恒成立，则n+≥，
解得n≥3．
∴实数n的取值范围是n≥3．