江苏省南京师范大学附中2020届高三高考模拟试卷（1）数学试题含附加题

2020高考数学模拟试卷（1）

2020．6

第I卷（必做题，共160分）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

1．已知集合A＝{2，3}，B＝{2，4}，则AB＝       ．

2．设i是虚数单位，复数(a，bR)，若，则ab＝       ．

3．将6个数据1，2，3，4，5，a去掉最大的一个，剩下的5个数

据的平均数为1.8，则a＝       ．

4．右图是一个算法流程图，则输出的S的值是       ．

5．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为

0的概率是       ．

6．函数的定义域为       ．

7．曲线(＞0)的一个对称中心的坐标为(3，0)，

则的最小值为       ．

8．设双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点到左准线的距离与它到右准线的距离的比为 2：1，则双曲线的右顶点、右焦点到它的一条渐近线的距离分别为，，则＝       ．

9．如图，一个圆柱的体积为4，AB、CD分别是上、下底面直径，且CD⊥AB，则三棱锥A—BCD的体积为       ．

10．已知，，则不等式的解集为       ．

11．直线是曲线的切线，则a＋b的最小值为       ．

12．各项为正且公差不为0的等差数列的第1项、第2项、第6项恰好是等比数列的连续三项（顺序不变），设，若对于一切的，，则的最小值为       ．

13．在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN＝1，若的最小值为，则cos∠ACB＝       ．

        第9题                 第13题                      第14题

14．设a，b是两个实数，0≤a＜b，直线l：和圆交于两点A，B，若对于任意的k[a，b]，均存在正数m，使得△OAB的面积均不小于，则b﹣2a的最大值为       ．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15．（本题满分14分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．

（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；

（2）求证：EF∥平面PCD．

16．（本题满分14分）

已知，均为锐角，且．

（1）求cos2的值；

（2）若，求tan的值．

17．（本题满分14分）

一种机械装置的示意图如图所示，所有构件都在同一平面内，其中，O，A是两个固定点，OA＝2米，线段AB是一个滑槽（宽度忽略不计），AB＝1米，∠OAB＝60°，线段OP，OQ，PQ是三根可以任意伸缩的连接杆，OP⊥OQ，O，P，Q按逆时针顺序排列，该装置通过连接点Q在滑槽AB中来回运动，带动点P运动，在运动过程中，始终保持OP＝OQ．

（1）当点Q运动到B点时，求OP的长；

（2）点Q在滑槽中来回运动时，求点P的运动轨迹的长度．

18．（本题满分16分）

在平面直角坐标系中，已知椭圆C：(a＞b＞0)，直线l：(k，tR，k≠0)．

（1）若椭圆C的一条准线方程为x＝4，且焦距为2，求椭圆C的方程；

（2）设椭圆C的左焦点为F，上顶点为A，直线l过点F，且与FA垂直，交椭圆C于M，N（M在x轴上方），若NF＝2FM，求椭圆C的离心率；

（3）在（1）的条件下，若椭圆C上存在相异两点P，Q关于直线l对称，求t2的取值范围（用k表示）．

19．（本题满分16分）

已知函数，，其中aR．

（1）当a＝0时，求函数在R上的零点个数；

（2）对任意的x≥1，有恒成立，求实数a的取值范围．

20．（本题满分16分）

若无穷数列和无穷数列满足：存在正常数A，使得对任意的n，均有≤A，则称数列与具有关系P(A)．

（1）设无穷数列和均是等差数列，且，(n)，问：数列与是否具有关系P(1)？说明理由；

（2）设无穷数列是首项为1，公比为的等比数列，，n，证明：数列与具有关系P(A)，并求A的最小值；

（3）设无穷数列是首项为1，公差为d(dR)的等差数列，无穷数列是首项为2，公比为q(q)的等比数列，试求数列与具有关系P(A)的充要条件．

第II卷（附加题，共40分）

21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

A．选修4—2：矩阵与变换

已知二阶矩阵M的逆矩阵．

（1）求矩阵M；

（2）设直线l：x＝﹣4在矩阵M对应的变换的作用下得到直线l′，求l′的方程．

B．选修4—4：坐标系与参数方程

直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（m为参数），设A为曲线C上一动点，求A到直线l的距离的最小值．

C．选修4—5：不等式选讲

已知：a，b，c且，求证：．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．

（1）求恰有2人申请A大学的概率；

（2）求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)．

23．（本小题满分10分）

设整数n≥3，集合P＝{1，2，3，…，n}，A，B是P的两个非空子集．记Mn为所有满足 A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A，B)的个数．

（1）求M3；

（2）求Mn．