2021高考数学二轮专题复习专题二第3讲 平面向量数量积的最值问题

这是一份2021高考数学二轮专题复习专题二第3讲 平面向量数量积的最值问题，共5页。

例 (1)已知eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \f(1,t)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(\(A B,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(4\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)，则eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最大值等于( )
A．13 B．15 C．19 D．21
答案 A
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)，0))，C(0，t)，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)，0))，eq \(AC,\s\up6(→))＝(0，t)，
Aeq \(P,\s\up6(→))＝eq \f(\(A B,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(4\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)，0))＋eq \f(4,t)(0，t)＝(1,4)，∴P(1,4)，
eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)－1，－4))·(－1，t－4)
＝17－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)＋4t))≤17－2eq \r(\f(1,t)·4t)＝13，
当且仅当t＝eq \f(1,2)时等号成立．
∴eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最大值等于13.
(2)如图，已知P是半径为2，圆心角为eq \f(π,3)的一段圆弧AB上的一点，若eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(BC,\s\up6(→))，则eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))的最小值为________．
答案 5－2eq \r(13)
解析 以圆心为坐标原点，平行于AB的直径所在直线为x轴，AB的垂直平分线所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－1，eq \r(3))，C(2，eq \r(3))，
设P(2cs θ，2sin θ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)≤θ≤\f(2π,3)))，
则eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))＝(2－2cs θ，eq \r(3)－2sin θ)·(－1－2cs θ，eq \r(3)－2sin θ)＝5－2cs θ－4eq \r(3)sin θ＝5－2eq \r(13)sin(θ＋φ)，
其中0当θ＝eq \f(π,2)－φ时，eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))取得最小值，为5－2eq \r(13).
数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等．解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．
1．在△ABC中，若A＝120°，Aeq \(B,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝－1，则|eq \(BC,\s\up6(→))|的最小值是________．
答案 eq \r(6)
解析 由eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝－1，得|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|·cs 120°＝－1，即|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2，
所以|eq \(BC,\s\up6(→))|2＝|eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))|2＝eq \(AC,\s\up6(→))2－2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))2
≥2|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|－2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝6，
当且仅当|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(2)时等号成立，
所以|eq \(BC,\s\up6(→))|min ＝eq \r(6).
2．(2020·天津)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(3,2)，则实数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且|eq \(MN,\s\up6(→))|＝1，则eq \(DM,\s\up6(→))·eq \(DN,\s\up6(→))的最小值为________．
答案 eq \f(1,6) eq \f(13,2)
解析 因为eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，所以AD∥BC，则∠BAD＝120°，
所以eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝|eq \(AD,\s\up6(→))|·|eq \(AB,\s\up6(→))|·cs 120°＝－eq \f(3,2)，
解得|eq \(AD,\s\up6(→))|＝1.
因为eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))同向，且BC＝6，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→))，即λ＝eq \f(1,6).
在四边形ABCD中，作AO⊥BC于点O，
则BO＝AB·cs 60°＝eq \f(3,2)，AO＝AB·sin 60°＝eq \f(3\r(3),2).
以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系．
如图，设M(a,0)，不妨设点N在点M右侧，
则N(a＋1,0)，且－eq \f(3,2)≤a≤eq \f(7,2).
又Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3\r(3),2)))，
所以eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－1，－\f(3\r(3),2)))，eq \(DN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，－\f(3\r(3),2)))，
所以eq \(DM,\s\up6(→))·eq \(DN,\s\up6(→))＝a2－a＋eq \f(27,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋eq \f(13,2).
所以当a＝eq \f(1,2)时，eq \(DM,\s\up6(→))·eq \(DN,\s\up6(→))取得最小值eq \f(13,2).
3．已知平面向量a，b，e满足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝－2，|a＋b|＝2，则a·b的最大值为________．
答案 －eq \f(5,4)
解析 不妨设e＝(1,0)，a＝(1，m)，b＝(－2，n)(m，n∈R)，
则a＋b＝(－1，m＋n)，
故|a＋b|＝eq \r(1＋m＋n2)＝2，所以(m＋n)2＝3，
即3＝m2＋n2＋2mn≥2mn＋2mn＝4mn，则mn≤eq \f(3,4)，
所以a·b＝－2＋mn≤－eq \f(5,4)，
当且仅当m＝n＝eq \f(\r(3),2)时等号成立，
所以a·b的最大值为－eq \f(5,4).
4．在平行四边形ABCD中，若AB＝2，AD＝1，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \ (AD,\s\up6(→))＝－1，点M在边CD上，则eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))的最大值为________．
答案 2
解析 在平行四边形ABCD中，因为AB＝2，AD＝1，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \ (AD,\s\up6(→))＝－1，点M在边CD上，
所以|eq \ (AB,\s\up6(→))|·|eq \ (AD,\s\up6(→))|·cs A＝－1，
所以cs A＝－eq \f(1,2)，所以A＝120°，
以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AB的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
所以A(0,0)，B(2,0)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
设Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，\f(\r(3),2)))，－eq \f(1,2)≤x≤eq \f(3,2)，
因为eq \(MA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x，－\f(\r(3),2)))，eq \(MB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－x，－\f(\r(3),2)))，
所以eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝x(x－2)＋eq \f(3,4)＝x2－2x＋eq \f(3,4)
＝(x－1)2－eq \f(1,4).
设f(x)＝(x－1)2－eq \f(1,4)，因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,2)))，
所以当x＝－eq \f(1,2)时，f(x)取得最大值2.