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湖北省武汉市洪山区2020-2021学年七年级下学期期中数学试卷（word版 含答案）
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这是一份湖北省武汉市洪山区2020-2021学年七年级下学期期中数学试卷（word版 含答案），共27页。
2020-2021学年湖北省武汉市洪山区七年级（下）期中数学试卷
一、选择悬（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑.
1．（3分）下列实数，，3.14159，﹣，，0.3030030003中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）下列图案是由图中所示的图案通过平移后得到的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）＝（ ）
A．±2 B．2 C．±4 D．4
4．（3分）估计的值应在（ ）
A．5和6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．2和3之间
5．（3分）如图，D，E，F分别在△ABC的三边上，能判定DE∥AC的条件是（ ）
A．∠1+∠2＝180° B．∠1＝∠3 C．∠2＝∠4 D．∠3＝∠C
6．（3分）已知点Q的坐标为（﹣2+a，2a﹣7），且点Q到两坐标轴的距离相等，则点Q的坐标是（ ）
A．（3，3） B．（3，﹣3）
C．（1，﹣1） D．（3，3）或（1，﹣1）
7．（3分）下列说法中正确的个数为（ ）
①在平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（3分）已知按照一定规律排成的一列实数：
﹣1，，，﹣2，，，﹣，，，﹣，…则按此规律可推得这一列数中的第2021个数应是（ ）
A． B．﹣ C． D．2021
9．（3分）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝119°，则∠EMF的度数为（ ）
A．57° B．58° C．59° D．60°
10．（3分）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内CD上方的一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④180°﹣α﹣β，⑤360°﹣α﹣β中，∠AEC的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上
11．（3分）若a3＝8，＝2，则a+b＝ ．
12．（3分）实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，则|﹣b|+|a+|+的值 ．
13．（3分）如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”位于点（1，﹣1），“炮”位于点（﹣1，0），则“马”位于点 ．
14．（3分）定义：f（x，y）＝（﹣x，﹣y），g（a，b）＝（b，a），例如：f（1，2）＝（﹣1，﹣2），g（2，3）＝（3，2），则g（f（﹣5，2））＝ ．
15．（3分）教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，若两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（，），例如：点A（1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为（，），即M（2，4）请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于x轴上，且到y轴的距离是2，则2a+b的值等于 ．
16．（3分）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为 ．
三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程.
17．（8分）（1）计算+﹣；
（2）解方程3（x+1）2＝12．
18．（8分）如图，BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H，∠3+∠4＝180°，试说明∠1＝∠2．（请通过填空完善下列推理过程）
解：∵∠3+∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（ ）．
∴∠3+ ＝180°（等量代换）．
∴FG∥BD（ ）．
∴∠1＝ （ ）．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝ （ ）．
∴∠1＝∠2（ ）．
19．（8分）已知2a+1的算术平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2，c是的整数部分，试求a﹣b+c的平方根．
20．（8分）如图，D，E分别在△ABC的边AB，AC上，F在线段CD上，且∠1+∠2＝180，DE∥BC．
（1）求证：∠3＝∠B；
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝3∠B，求∠1的度数．
21．（8分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，我们将小正方形的顶点叫做格点，如图，△ABC的三个顶点均在格点上．仅用一把无刻度直尺在给定的网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）将△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应的△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1；
（2）如图，AC边上有一格点M，试在AB上找一点N，使得MN∥BC；
（3）连BM，计算△MBC的面积为 （直接写出结果）．
22．（10分）【学科融合】
物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：
在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）．
【数学推理】如图1，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：∠1＝∠2，∠3＝∠4．在这样的条件下，求证：AB∥CD．
【尝试探究】两块平面镜OM，ON，且∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．
（1）如图2，光线AB与CD相交于点E，则∠BEC＝ ；
（2）如图3，光线AB与CD所在的直线相交于点E，CBED＝β，则α与β之间满足的等量关系是 ．
23．（10分）已知：直线AB∥CD，M，N分别在直线AB，CD上，H为平面内一点，连HM，HN．
（1）如图1，延长HN至G，∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E．
求证：2∠MEN﹣∠MHN＝180°；
（2）如图2，∠BMH和∠HND的角平分线相交于点E．
①请直接写出∠MEN与∠MHN的数量关系： ；
②作MP平分∠AMH，NQ∥MP交ME的延长线于点Q，若∠H＝140°，求∠ENQ的度数．（可直接运用①中的结论）
24．（12分）如图1，已知在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（0，3），将线段AB向右平移4个单位长度至OC的位置，连BC．
（1）直接写出点C的坐标 ；
（2）如图2，过点C作CD⊥x轴于点D，在x轴正半轴有一点E（1，0），过点E作x轴的垂线EF交BC于F，动点P从F点开始，以每秒1个单位长度的速度沿射线FE运动，设运动的时间为t（秒），连接AC．
①试问：△PCD的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由；
②当△PCA的面积为时，求t的值及此时点P的坐标．
2020-2021学年湖北省武汉市洪山区七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择悬（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑.
1．（3分）下列实数，，3.14159，﹣，，0.3030030003中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：是分数，属于有理数；
3.14159，0.3030030003是有限小数，属于有理数；
是整数，属于有理数；
无理数有，，共2个．
故选：B．
2．（3分）下列图案是由图中所示的图案通过平移后得到的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据图形平移的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误；
B、由图中所示的图案通过平移而成，故本选项正确；
C、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误；
D、由图中所示的图案通过翻折而成，故本选项错误．
故选：B．
3．（3分）＝（ ）
A．±2 B．2 C．±4 D．4
【分析】根据算术平方根，即可解答．
【解答】解：＝4．故选：D．
4．（3分）估计的值应在（ ）
A．5和6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．2和3之间
【分析】直接利用估算无理数的方法分析得出答案．
【解答】解：4＜＜5，
则的值应在4和5之间．
故选：B．
5．（3分）如图，D，E，F分别在△ABC的三边上，能判定DE∥AC的条件是（ ）
A．∠1+∠2＝180° B．∠1＝∠3 C．∠2＝∠4 D．∠3＝∠C
【分析】直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案．
【解答】解：A、当∠1+∠2＝180°时，EF∥BC，不符合题意；
B、当∠1＝∠3时，EF∥BC，不符合题意；
C、当∠2＝∠4时，无法得到DE∥AC，不符合题意；
D、当∠3＝∠C时，DE∥AC，符合题意．
故选：D．
6．（3分）已知点Q的坐标为（﹣2+a，2a﹣7），且点Q到两坐标轴的距离相等，则点Q的坐标是（ ）
A．（3，3） B．（3，﹣3）
C．（1，﹣1） D．（3，3）或（1，﹣1）
【分析】根据点Q到坐标轴的距离相等列出绝对值方程，然后求出a的值，再解答即可．
【解答】解：∵点Q（﹣2+a，2a﹣7）到两坐标轴的距离相等，
∴|﹣2+a|＝|2a﹣7|，
∴﹣2+a＝2a﹣7或﹣2+a＝﹣（2a﹣7），
解得a＝5或a＝3，
所以，点Q的坐标为（3，3）或（1，﹣1）．
故选：D．
7．（3分）下列说法中正确的个数为（ ）
①在平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据平行线的判定与性质，点到直线的距离，平行线，平行公理及推论，进行逐一判断即可．
【解答】解：①在平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直，故①错误；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确；
③经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故③错误；
④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故④正确；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故⑤错误．
故正确的是②④，共2个．
故选：A．
8．（3分）已知按照一定规律排成的一列实数：
﹣1，，，﹣2，，，﹣，，，﹣，…则按此规律可推得这一列数中的第2021个数应是（ ）
A． B．﹣ C． D．2021
【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以得到这一列数中的第2021个数．
【解答】解：∵一列实数：﹣1，，，﹣2，，，﹣，，，﹣，…，
∴每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的负的算术平方根、算术平方根、立方根，
∵2021÷3＝673…2，
∴这一列数中的第2021个数应是，
故选：A．
9．（3分）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝119°，则∠EMF的度数为（ ）
A．57° B．58° C．59° D．60°
【分析】根据平行线的性质得到∠DEG+∠AFH＝119°，由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，从而得到∠DEM与∠AFH的和．
利用两个平角求出∠FEM与∠EFM的和，最后根据三角形内角和等于180°即可求出答案．
【解答】解：∵长方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DEG＝α，∠AFH＝β，
∴∠DEG+∠AFH＝α+β＝119°，
由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，
∴∠DEM+∠AFM＝2×119°＝238°，
∴∠FEM+∠EFM＝360°﹣238°＝122°，
在△EFM中，
∠EMF＝180°﹣（∠FEM+∠EFM）＝180°﹣122°＝58°，
故选：B．
10．（3分）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内CD上方的一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④180°﹣α﹣β，⑤360°﹣α﹣β中，∠AEC的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【分析】根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
【解答】解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，
∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C＝β﹣α．
（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，
∴∠AE2C＝α+β．
（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，
∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C＝α﹣β．
（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，
∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．
（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．
综上所述，∠AEC的度数可能是β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β．
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上
11．（3分）若a3＝8，＝2，则a+b＝ 6 ．
【分析】根据立方根的概念得a的值，根据算术平方根的概念得b的值，然后代入计算可得答案．
【解答】解：∵a3＝8，＝2，
∴a＝2，b＝4，
∴a+b＝2+4＝6．
故答案为：6．
12．（3分）实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，则|﹣b|+|a+|+的值 ﹣2a﹣b ．
【分析】直接利用数轴结合绝对值以及平方根的性质化简得出答案．
【解答】解：由数轴可得：a＜﹣，0＜b＜，
故|﹣b|+|a+|+
＝﹣b﹣（a+）﹣a
＝﹣b﹣a﹣﹣a
＝﹣2a﹣b．
故答案为：﹣2a﹣b．
13．（3分）如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”位于点（1，﹣1），“炮”位于点（﹣1，0），则“马”位于点 （4，﹣3） ．
【分析】由“兵”位于点（1，﹣1），“炮”位于点（﹣1，0），找出坐标原点，即可得出答案．
【解答】解：∵“兵”位于点（1，﹣1），“炮”位于点（﹣1，0），
∴坐标系如图：
∴“马”点的位于（4，﹣3）．
故答案为：（4，﹣3）．
14．（3分）定义：f（x，y）＝（﹣x，﹣y），g（a，b）＝（b，a），例如：f（1，2）＝（﹣1，﹣2），g（2，3）＝（3，2），则g（f（﹣5，2））＝ （﹣2，5） ．
【分析】直接利用已知得出符号的意义进而得出答案．
【解答】解：g（f（﹣5，2））
＝g（5，﹣2）
＝（﹣2，5）．
故答案为：（﹣2，5）．
15．（3分）教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，若两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（，），例如：点A（1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为（，），即M（2，4）请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于x轴上，且到y轴的距离是2，则2a+b的值等于 或﹣4 ．
【分析】根据线段的中点坐标公式即可得到结论．
【解答】解：∵点E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），
∴中点G（，），
∵中点G恰好位于x轴上，且到y轴的距离是2，
∴，
解得：，，
∴2a+b＝或﹣4；
故答案为：或﹣4．
16．（3分）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为 ∠P＝360°﹣2a ．
【分析】根据平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和可以得到∠P和a的关系，然后即可用a表示∠P．
【解答】解：延长AB交PD于点G，延长FE交CD于点H，
∵BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，
∵∠PBG＝180°﹣2∠1，
∴∠PBG＝180°﹣2∠5，
∴∠5＝90°﹣∠PBG，
∵∠FED＝180°﹣∠HED，∠5＝180°﹣∠EHD，∠EHD+∠HED+∠3＝180°，
∴180°﹣∠5+180°﹣∠FED+∠3＝180°，
∴∠FED＝180°﹣∠5+∠3，
∴∠FED＝180°﹣（90°﹣∠PBG）+∠6＝90°+（∠PBG+∠6）＝90°+（180°﹣∠P）＝180°﹣∠P，
∵∠FED＝a，
∴a＝180°﹣∠P
∴∠P＝360°﹣2a．
故答案为：∠P＝360°﹣2a．
三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程.
17．（8分）（1）计算+﹣；
（2）解方程3（x+1）2＝12．
【分析】（1）原式利用算术平方根和立方根定义，计算即可求出值；
（2）利用平方根的意义，即可求出解，注意不要丢解．
【解答】解：（1）原式＝3+3﹣，
＝；
（2）系数化为1得：（x+1）2＝4，
开平方得：x+1＝±2，
解得：x1＝1，x2＝﹣3．
18．（8分）如图，BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H，∠3+∠4＝180°，试说明∠1＝∠2．（请通过填空完善下列推理过程）
解：∵∠3+∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（ 对顶角相等 ）．
∴∠3+ ∠FHD ＝180°（等量代换）．
∴FG∥BD（ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
∴∠1＝ ∠ABD （ 两直线平行，同位角相等 ）．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝ ∠2 （ 角平分线的定义 ）．
∴∠1＝∠2（ 等量代换 ）．
【分析】求出∠3+∠FHD＝180°，根据平行线的判定得出FG∥BD，根据平行线的性质得出∠1＝∠ABD，根据角平分线的定义得出∠ABD＝∠2即可．
【解答】解：∵∠3+∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（对顶角相等），
∴∠3+∠FHD＝180°（等量代换），
∴FG∥BD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠1＝∠ABD（两直线平行，同位角相等），
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠2（角平分线的性质），
∴∠1＝∠2（等量代换），
故答案为：对顶角相等，∠FHD，同旁内角互补，两直线平行，∠ABD，两直线平行，同位角相等，∠2，角平分线的定义，等量代换．
19．（8分）已知2a+1的算术平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2，c是的整数部分，试求a﹣b+c的平方根．
【分析】根据算术平方根和立方根定义得出2a+1＝9，3a﹣b﹣1＝8，求出a、b的值，再估算出的大小，求出c的值，去吃a﹣b+c的值，最后根据平方根的的定义求出即可．
【解答】解：∵2a+1的算术平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2，
∴2a+1＝9，3a﹣b﹣1＝8，
解得：a＝4，b＝3，
∵c是的整数部分，6＜＜7，
∴c＝6，
∴a﹣b+c＝4﹣3+6＝7，
∴a﹣b+c的平方根是．
20．（8分）如图，D，E分别在△ABC的边AB，AC上，F在线段CD上，且∠1+∠2＝180，DE∥BC．
（1）求证：∠3＝∠B；
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝3∠B，求∠1的度数．
【分析】（1）利用平行线的判定和性质一一判断即可．
（2）利用角平分线及邻补角的定义、平行线的性质、对顶角性质求解即可．
【解答】解：（1）∵∠1+∠DFE＝180°，∠1+∠2＝180，
∴∠2＝∠DFE，
∴AB∥EF，
∴∠3＝∠ADE，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∴∠3＝∠B．
（2）∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠EDC＝∠B，
∵∠2＝3∠B，∠2+∠ADE+∠EDC＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°，
又∵∠3＝∠B，
∴∠1＝∠3+∠EDC＝36°+36°＝72°．
21．（8分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，我们将小正方形的顶点叫做格点，如图，△ABC的三个顶点均在格点上．仅用一把无刻度直尺在给定的网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）将△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应的△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1；
（2）如图，AC边上有一格点M，试在AB上找一点N，使得MN∥BC；
（3）连BM，计算△MBC的面积为 2 （直接写出结果）．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（3）根据S△BCM＝S△ABC，求解即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图，线段MN即为所求作．
（3）S△BCM＝S△ABC＝××4×3＝2，
故答案为：2．
22．（10分）【学科融合】
物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：
在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）．
【数学推理】如图1，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：∠1＝∠2，∠3＝∠4．在这样的条件下，求证：AB∥CD．
【尝试探究】两块平面镜OM，ON，且∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．
（1）如图2，光线AB与CD相交于点E，则∠BEC＝ 180°﹣2α ；
（2）如图3，光线AB与CD所在的直线相交于点E，CBED＝β，则α与β之间满足的等量关系是 β＝2a ．
【分析】【数学推理】根据平面镜反射光线的规律得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再利用∠2+∠3＝90°得出∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，即可得出∠DCB+∠ABC＝180°，即可证得AB∥CD；
（1）根据三角形内角和定理求得∠2+∠3＝125°，根据平面镜反射光线的规律得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再利用∠DCB＝180°﹣2∠3，∠ABC＝180°﹣2∠2，得∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD；
（2）利用平角的定义得出∠ABC＝180°﹣2∠2，∠BCD＝180°﹣2∠3，利用外角的性质∠BED＝∠ABC﹣∠BCD＝（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）＝2（∠3﹣∠2）＝β，而∠BOC＝∠3﹣∠2＝α，即可证得β＝2α．
【解答】解：如图1，∵OM⊥ON，
∴∠CON＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∠DCB+∠ABC＝180°，
AB∥CD；
【尝试探究】
（1）如图2，在△OBC中，∵∠COB＝55°，
∴∠2+∠3＝125°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠DCB＝180°﹣2∠3，∠ABC＝180°﹣2∠2，
∴∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD
＝180°﹣（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）
＝2（∠2+∠3）﹣180°
＝2（180°﹣a）﹣180°
＝180°﹣2α，
故答案为：180°﹣2α；
（2）如图4，B＝2a，
理由如下：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠ABC＝180°﹣2∠2，
∠BCD＝180°﹣2∠3，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BCD
＝（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）
＝2（∠3﹣∠2）＝∠β，
∵∠BOC＝∠3﹣∠2＝a，
∴β＝2a．
故答案为：β＝2a．
23．（10分）已知：直线AB∥CD，M，N分别在直线AB，CD上，H为平面内一点，连HM，HN．
（1）如图1，延长HN至G，∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E．
求证：2∠MEN﹣∠MHN＝180°；
（2）如图2，∠BMH和∠HND的角平分线相交于点E．
①请直接写出∠MEN与∠MHN的数量关系： 2∠MEN+∠MHN＝360° ；
②作MP平分∠AMH，NQ∥MP交ME的延长线于点Q，若∠H＝140°，求∠ENQ的度数．（可直接运用①中的结论）
【分析】（1）过点E作EP∥AB交MH于点Q，利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为180°，角与角之间的基本运算、等量代换等即可得证．
（2）①过点H作GI∥AB，利用（1）中结论2∠MEN﹣∠MHN＝180°，利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为180°，角与角之间的基本运算、等量代换等得出∠AMH+∠HNC＝360°﹣（∠BMH+∠HND），进而用等量代换得出2∠MEN+∠MHN＝360°．
②过点H作HT∥MP，由①的结论得2∠MEN+∠MHN＝360°，∠H＝140°，∠MEN＝110°．利用平行线性质得∠ENQ+∠ENH+∠NHT＝180°，由角平分线性质及邻补角可得∠ENQ+∠ENH+140°﹣（180°﹣∠BMH）＝180°．继续使用等量代换可得∠ENQ度数．
【解答】解：（1）证明：过点E作EP∥AB交MH于点Q．如答图1
∵EP∥AB且ME平分∠BMH，
∴∠MEQ＝∠BME＝∠BMH．
∵EP∥AB，AB∥CD，
∴EP∥CD，又NE平分∠GND，
∴∠QEN＝∠DNE＝∠GND．（两直线平行，内错角相等）
∴∠MEN＝∠MEQ+∠QEN＝∠BMH+∠GND＝（∠BMH+∠GND）．
∴2∠MEN＝∠BMH+∠GND．
∵∠GND+∠DNH＝180°，∠DNH+∠MHN＝∠MON＝∠BMH．
∴∠DHN＝∠BMH﹣∠MHN．
∴∠GND+∠BMH﹣∠MHN＝180°，
即2∠MEN﹣∠MHN＝180°．
（2）①：过点H作GI∥AB．如答图2．
由（1）可得∠MEN＝（∠BMH+∠HND），
由图可知∠MHN＝∠MHI+∠NHI，
∵GI∥AB，
∴∠AMH＝∠MHI＝180°﹣∠BMH，
∵GI∥AB，AB∥CD，
∴GI∥CD．
∴∠HNC＝∠NHI＝180°﹣∠HND．
∴∠AMH+∠HNC＝180°﹣∠BMH+180°﹣∠HND＝360°﹣（∠BMH+∠HND）．
又∵∠AMH+∠HNC＝∠MHI+∠NHI＝∠MHN，
∴∠BMH+∠HND＝360°﹣∠MHN．
即2∠MEN+∠MHN＝360°．
故答案为：2∠MEN+∠MHN＝360°．
②：由①的结论得2∠MEN+∠MHN＝360°，
∵∠H＝∠MHN＝140°，
∴2∠MEN＝360°﹣140°＝220°．
∴∠MEN＝110°．
过点H作HT∥MP．如答图2．
∵MP∥NQ，
∴HT∥NQ．
∴∠ENQ+∠ENH+∠NHT＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵MP平分∠AMH，
∴∠PMH＝∠AMH＝（180°﹣∠BMH）．
∵∠NHT＝∠MHN﹣∠MHT＝140°﹣∠PMH．
∴∠ENQ+∠ENH+140°﹣（180°﹣∠BMH）＝180°．
∵∠ENH＝∠HND．
∴∠ENQ+∠HND+140°﹣90°+∠BMH＝180°．
∴∠ENQ+（HND+∠BMH）＝130°．
∴∠ENQ+∠MEN＝130°．
∴∠ENQ＝130°﹣110°＝20°．
24．（12分）如图1，已知在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（0，3），将线段AB向右平移4个单位长度至OC的位置，连BC．
（1）直接写出点C的坐标 （4，3） ；
（2）如图2，过点C作CD⊥x轴于点D，在x轴正半轴有一点E（1，0），过点E作x轴的垂线EF交BC于F，动点P从F点开始，以每秒1个单位长度的速度沿射线FE运动，设运动的时间为t（秒），连接AC．
①试问：△PCD的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由；
②当△PCA的面积为时，求t的值及此时点P的坐标．
【分析】（1）由平移的性质直接得出结论；
（2）①先求出CD＝3，再判断出EF∥CD，进而用三角形的面积公式计算，即可得出结论；
②先求出直线AC的解析式，进而求出点Q的坐标，进而求出△FAC的面积，判断出点P在直线AC下方，用△PAC的面积建立方程求解，求出点P的坐标，即可得出结论．
【解答】解：（1）由平移得，C（0+4，3），即C（4，3），
故答案为：（4，3）；
（2）①由（1）知，C（4，3），
∵CD⊥x轴，
∴D（4，0），CD＝3，
∵E（1，0），
∴DE＝4﹣1＝3，
∵CD⊥x轴，EF⊥x轴，
∴CD∥EF，
∵点P在射线FE上，
∴S△PCD＝CD•DE＝×3×3＝4.5，
即△PCD的面积是定值，其定值为4.5；
②由（1）知，C（4，3），
∵A（﹣4，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AC的解析式为y＝x+，
设点P（1，m）（m≤3），
记EF与AC的交点为Q，则Q（1，），
当点P和点F重合时，P（1，3），
∴PQ＝3﹣＝，
此时，S△PAC＝PQ•（xC﹣xA）＝××（4+4）＝9＜，
∴点P只能在AC下方，则PQ＝﹣m，
∴S△PAC＝PQ•（xC﹣xA）＝×（﹣m）×（4+4）＝，
∴m＝﹣，
∴P（1，﹣），
∴t＝（3+）÷1＝，
即t的值为．
2020-2021学年湖北省武汉市洪山区七年级（下）期中数学试卷
一、选择悬（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑.
1．（3分）下列实数，，3.14159，﹣，，0.3030030003中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）下列图案是由图中所示的图案通过平移后得到的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）＝（ ）
A．±2 B．2 C．±4 D．4
4．（3分）估计的值应在（ ）
A．5和6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．2和3之间
5．（3分）如图，D，E，F分别在△ABC的三边上，能判定DE∥AC的条件是（ ）
A．∠1+∠2＝180° B．∠1＝∠3 C．∠2＝∠4 D．∠3＝∠C
6．（3分）已知点Q的坐标为（﹣2+a，2a﹣7），且点Q到两坐标轴的距离相等，则点Q的坐标是（ ）
A．（3，3） B．（3，﹣3）
C．（1，﹣1） D．（3，3）或（1，﹣1）
7．（3分）下列说法中正确的个数为（ ）
①在平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（3分）已知按照一定规律排成的一列实数：
﹣1，，，﹣2，，，﹣，，，﹣，…则按此规律可推得这一列数中的第2021个数应是（ ）
A． B．﹣ C． D．2021
9．（3分）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝119°，则∠EMF的度数为（ ）
A．57° B．58° C．59° D．60°
10．（3分）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内CD上方的一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④180°﹣α﹣β，⑤360°﹣α﹣β中，∠AEC的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上
11．（3分）若a3＝8，＝2，则a+b＝ ．
12．（3分）实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，则|﹣b|+|a+|+的值 ．
13．（3分）如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”位于点（1，﹣1），“炮”位于点（﹣1，0），则“马”位于点 ．
14．（3分）定义：f（x，y）＝（﹣x，﹣y），g（a，b）＝（b，a），例如：f（1，2）＝（﹣1，﹣2），g（2，3）＝（3，2），则g（f（﹣5，2））＝ ．
15．（3分）教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，若两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（，），例如：点A（1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为（，），即M（2，4）请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于x轴上，且到y轴的距离是2，则2a+b的值等于 ．
16．（3分）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为 ．
三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程.
17．（8分）（1）计算+﹣；
（2）解方程3（x+1）2＝12．
18．（8分）如图，BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H，∠3+∠4＝180°，试说明∠1＝∠2．（请通过填空完善下列推理过程）
解：∵∠3+∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（ ）．
∴∠3+ ＝180°（等量代换）．
∴FG∥BD（ ）．
∴∠1＝ （ ）．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝ （ ）．
∴∠1＝∠2（ ）．
19．（8分）已知2a+1的算术平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2，c是的整数部分，试求a﹣b+c的平方根．
20．（8分）如图，D，E分别在△ABC的边AB，AC上，F在线段CD上，且∠1+∠2＝180，DE∥BC．
（1）求证：∠3＝∠B；
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝3∠B，求∠1的度数．
21．（8分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，我们将小正方形的顶点叫做格点，如图，△ABC的三个顶点均在格点上．仅用一把无刻度直尺在给定的网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）将△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应的△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1；
（2）如图，AC边上有一格点M，试在AB上找一点N，使得MN∥BC；
（3）连BM，计算△MBC的面积为 （直接写出结果）．
22．（10分）【学科融合】
物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：
在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）．
【数学推理】如图1，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：∠1＝∠2，∠3＝∠4．在这样的条件下，求证：AB∥CD．
【尝试探究】两块平面镜OM，ON，且∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．
（1）如图2，光线AB与CD相交于点E，则∠BEC＝ ；
（2）如图3，光线AB与CD所在的直线相交于点E，CBED＝β，则α与β之间满足的等量关系是 ．
23．（10分）已知：直线AB∥CD，M，N分别在直线AB，CD上，H为平面内一点，连HM，HN．
（1）如图1，延长HN至G，∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E．
求证：2∠MEN﹣∠MHN＝180°；
（2）如图2，∠BMH和∠HND的角平分线相交于点E．
①请直接写出∠MEN与∠MHN的数量关系： ；
②作MP平分∠AMH，NQ∥MP交ME的延长线于点Q，若∠H＝140°，求∠ENQ的度数．（可直接运用①中的结论）
24．（12分）如图1，已知在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（0，3），将线段AB向右平移4个单位长度至OC的位置，连BC．
（1）直接写出点C的坐标 ；
（2）如图2，过点C作CD⊥x轴于点D，在x轴正半轴有一点E（1，0），过点E作x轴的垂线EF交BC于F，动点P从F点开始，以每秒1个单位长度的速度沿射线FE运动，设运动的时间为t（秒），连接AC．
①试问：△PCD的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由；
②当△PCA的面积为时，求t的值及此时点P的坐标．
2020-2021学年湖北省武汉市洪山区七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择悬（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑.
1．（3分）下列实数，，3.14159，﹣，，0.3030030003中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：是分数，属于有理数；
3.14159，0.3030030003是有限小数，属于有理数；
是整数，属于有理数；
无理数有，，共2个．
故选：B．
2．（3分）下列图案是由图中所示的图案通过平移后得到的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据图形平移的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误；
B、由图中所示的图案通过平移而成，故本选项正确；
C、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误；
D、由图中所示的图案通过翻折而成，故本选项错误．
故选：B．
3．（3分）＝（ ）
A．±2 B．2 C．±4 D．4
【分析】根据算术平方根，即可解答．
【解答】解：＝4．故选：D．
4．（3分）估计的值应在（ ）
A．5和6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．2和3之间
【分析】直接利用估算无理数的方法分析得出答案．
【解答】解：4＜＜5，
则的值应在4和5之间．
故选：B．
5．（3分）如图，D，E，F分别在△ABC的三边上，能判定DE∥AC的条件是（ ）
A．∠1+∠2＝180° B．∠1＝∠3 C．∠2＝∠4 D．∠3＝∠C
【分析】直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案．
【解答】解：A、当∠1+∠2＝180°时，EF∥BC，不符合题意；
B、当∠1＝∠3时，EF∥BC，不符合题意；
C、当∠2＝∠4时，无法得到DE∥AC，不符合题意；
D、当∠3＝∠C时，DE∥AC，符合题意．
故选：D．
6．（3分）已知点Q的坐标为（﹣2+a，2a﹣7），且点Q到两坐标轴的距离相等，则点Q的坐标是（ ）
A．（3，3） B．（3，﹣3）
C．（1，﹣1） D．（3，3）或（1，﹣1）
【分析】根据点Q到坐标轴的距离相等列出绝对值方程，然后求出a的值，再解答即可．
【解答】解：∵点Q（﹣2+a，2a﹣7）到两坐标轴的距离相等，
∴|﹣2+a|＝|2a﹣7|，
∴﹣2+a＝2a﹣7或﹣2+a＝﹣（2a﹣7），
解得a＝5或a＝3，
所以，点Q的坐标为（3，3）或（1，﹣1）．
故选：D．
7．（3分）下列说法中正确的个数为（ ）
①在平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据平行线的判定与性质，点到直线的距离，平行线，平行公理及推论，进行逐一判断即可．
【解答】解：①在平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直，故①错误；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确；
③经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故③错误；
④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故④正确；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故⑤错误．
故正确的是②④，共2个．
故选：A．
8．（3分）已知按照一定规律排成的一列实数：
﹣1，，，﹣2，，，﹣，，，﹣，…则按此规律可推得这一列数中的第2021个数应是（ ）
A． B．﹣ C． D．2021
【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以得到这一列数中的第2021个数．
【解答】解：∵一列实数：﹣1，，，﹣2，，，﹣，，，﹣，…，
∴每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的负的算术平方根、算术平方根、立方根，
∵2021÷3＝673…2，
∴这一列数中的第2021个数应是，
故选：A．
9．（3分）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝119°，则∠EMF的度数为（ ）
A．57° B．58° C．59° D．60°
【分析】根据平行线的性质得到∠DEG+∠AFH＝119°，由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，从而得到∠DEM与∠AFH的和．
利用两个平角求出∠FEM与∠EFM的和，最后根据三角形内角和等于180°即可求出答案．
【解答】解：∵长方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DEG＝α，∠AFH＝β，
∴∠DEG+∠AFH＝α+β＝119°，
由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，
∴∠DEM+∠AFM＝2×119°＝238°，
∴∠FEM+∠EFM＝360°﹣238°＝122°，
在△EFM中，
∠EMF＝180°﹣（∠FEM+∠EFM）＝180°﹣122°＝58°，
故选：B．
10．（3分）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内CD上方的一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④180°﹣α﹣β，⑤360°﹣α﹣β中，∠AEC的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【分析】根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
【解答】解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，
∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C＝β﹣α．
（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，
∴∠AE2C＝α+β．
（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，
∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C＝α﹣β．
（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，
∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．
（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．
综上所述，∠AEC的度数可能是β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β．
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上
11．（3分）若a3＝8，＝2，则a+b＝ 6 ．
【分析】根据立方根的概念得a的值，根据算术平方根的概念得b的值，然后代入计算可得答案．
【解答】解：∵a3＝8，＝2，
∴a＝2，b＝4，
∴a+b＝2+4＝6．
故答案为：6．
12．（3分）实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，则|﹣b|+|a+|+的值 ﹣2a﹣b ．
【分析】直接利用数轴结合绝对值以及平方根的性质化简得出答案．
【解答】解：由数轴可得：a＜﹣，0＜b＜，
故|﹣b|+|a+|+
＝﹣b﹣（a+）﹣a
＝﹣b﹣a﹣﹣a
＝﹣2a﹣b．
故答案为：﹣2a﹣b．
13．（3分）如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”位于点（1，﹣1），“炮”位于点（﹣1，0），则“马”位于点 （4，﹣3） ．
【分析】由“兵”位于点（1，﹣1），“炮”位于点（﹣1，0），找出坐标原点，即可得出答案．
【解答】解：∵“兵”位于点（1，﹣1），“炮”位于点（﹣1，0），
∴坐标系如图：
∴“马”点的位于（4，﹣3）．
故答案为：（4，﹣3）．
14．（3分）定义：f（x，y）＝（﹣x，﹣y），g（a，b）＝（b，a），例如：f（1，2）＝（﹣1，﹣2），g（2，3）＝（3，2），则g（f（﹣5，2））＝ （﹣2，5） ．
【分析】直接利用已知得出符号的意义进而得出答案．
【解答】解：g（f（﹣5，2））
＝g（5，﹣2）
＝（﹣2，5）．
故答案为：（﹣2，5）．
15．（3分）教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，若两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（，），例如：点A（1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为（，），即M（2，4）请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于x轴上，且到y轴的距离是2，则2a+b的值等于 或﹣4 ．
【分析】根据线段的中点坐标公式即可得到结论．
【解答】解：∵点E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），
∴中点G（，），
∵中点G恰好位于x轴上，且到y轴的距离是2，
∴，
解得：，，
∴2a+b＝或﹣4；
故答案为：或﹣4．
16．（3分）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为 ∠P＝360°﹣2a ．
【分析】根据平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和可以得到∠P和a的关系，然后即可用a表示∠P．
【解答】解：延长AB交PD于点G，延长FE交CD于点H，
∵BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，
∵∠PBG＝180°﹣2∠1，
∴∠PBG＝180°﹣2∠5，
∴∠5＝90°﹣∠PBG，
∵∠FED＝180°﹣∠HED，∠5＝180°﹣∠EHD，∠EHD+∠HED+∠3＝180°，
∴180°﹣∠5+180°﹣∠FED+∠3＝180°，
∴∠FED＝180°﹣∠5+∠3，
∴∠FED＝180°﹣（90°﹣∠PBG）+∠6＝90°+（∠PBG+∠6）＝90°+（180°﹣∠P）＝180°﹣∠P，
∵∠FED＝a，
∴a＝180°﹣∠P
∴∠P＝360°﹣2a．
故答案为：∠P＝360°﹣2a．
三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程.
17．（8分）（1）计算+﹣；
（2）解方程3（x+1）2＝12．
【分析】（1）原式利用算术平方根和立方根定义，计算即可求出值；
（2）利用平方根的意义，即可求出解，注意不要丢解．
【解答】解：（1）原式＝3+3﹣，
＝；
（2）系数化为1得：（x+1）2＝4，
开平方得：x+1＝±2，
解得：x1＝1，x2＝﹣3．
18．（8分）如图，BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H，∠3+∠4＝180°，试说明∠1＝∠2．（请通过填空完善下列推理过程）
解：∵∠3+∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（ 对顶角相等 ）．
∴∠3+ ∠FHD ＝180°（等量代换）．
∴FG∥BD（ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
∴∠1＝ ∠ABD （ 两直线平行，同位角相等 ）．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝ ∠2 （ 角平分线的定义 ）．
∴∠1＝∠2（ 等量代换 ）．
【分析】求出∠3+∠FHD＝180°，根据平行线的判定得出FG∥BD，根据平行线的性质得出∠1＝∠ABD，根据角平分线的定义得出∠ABD＝∠2即可．
【解答】解：∵∠3+∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（对顶角相等），
∴∠3+∠FHD＝180°（等量代换），
∴FG∥BD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠1＝∠ABD（两直线平行，同位角相等），
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠2（角平分线的性质），
∴∠1＝∠2（等量代换），
故答案为：对顶角相等，∠FHD，同旁内角互补，两直线平行，∠ABD，两直线平行，同位角相等，∠2，角平分线的定义，等量代换．
19．（8分）已知2a+1的算术平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2，c是的整数部分，试求a﹣b+c的平方根．
【分析】根据算术平方根和立方根定义得出2a+1＝9，3a﹣b﹣1＝8，求出a、b的值，再估算出的大小，求出c的值，去吃a﹣b+c的值，最后根据平方根的的定义求出即可．
【解答】解：∵2a+1的算术平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2，
∴2a+1＝9，3a﹣b﹣1＝8，
解得：a＝4，b＝3，
∵c是的整数部分，6＜＜7，
∴c＝6，
∴a﹣b+c＝4﹣3+6＝7，
∴a﹣b+c的平方根是．
20．（8分）如图，D，E分别在△ABC的边AB，AC上，F在线段CD上，且∠1+∠2＝180，DE∥BC．
（1）求证：∠3＝∠B；
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝3∠B，求∠1的度数．
【分析】（1）利用平行线的判定和性质一一判断即可．
（2）利用角平分线及邻补角的定义、平行线的性质、对顶角性质求解即可．
【解答】解：（1）∵∠1+∠DFE＝180°，∠1+∠2＝180，
∴∠2＝∠DFE，
∴AB∥EF，
∴∠3＝∠ADE，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∴∠3＝∠B．
（2）∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠EDC＝∠B，
∵∠2＝3∠B，∠2+∠ADE+∠EDC＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°，
又∵∠3＝∠B，
∴∠1＝∠3+∠EDC＝36°+36°＝72°．
21．（8分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，我们将小正方形的顶点叫做格点，如图，△ABC的三个顶点均在格点上．仅用一把无刻度直尺在给定的网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）将△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应的△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1；
（2）如图，AC边上有一格点M，试在AB上找一点N，使得MN∥BC；
（3）连BM，计算△MBC的面积为 2 （直接写出结果）．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（3）根据S△BCM＝S△ABC，求解即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图，线段MN即为所求作．
（3）S△BCM＝S△ABC＝××4×3＝2，
故答案为：2．
22．（10分）【学科融合】
物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：
在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）．
【数学推理】如图1，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：∠1＝∠2，∠3＝∠4．在这样的条件下，求证：AB∥CD．
【尝试探究】两块平面镜OM，ON，且∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．
（1）如图2，光线AB与CD相交于点E，则∠BEC＝ 180°﹣2α ；
（2）如图3，光线AB与CD所在的直线相交于点E，CBED＝β，则α与β之间满足的等量关系是 β＝2a ．
【分析】【数学推理】根据平面镜反射光线的规律得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再利用∠2+∠3＝90°得出∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，即可得出∠DCB+∠ABC＝180°，即可证得AB∥CD；
（1）根据三角形内角和定理求得∠2+∠3＝125°，根据平面镜反射光线的规律得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再利用∠DCB＝180°﹣2∠3，∠ABC＝180°﹣2∠2，得∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD；
（2）利用平角的定义得出∠ABC＝180°﹣2∠2，∠BCD＝180°﹣2∠3，利用外角的性质∠BED＝∠ABC﹣∠BCD＝（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）＝2（∠3﹣∠2）＝β，而∠BOC＝∠3﹣∠2＝α，即可证得β＝2α．
【解答】解：如图1，∵OM⊥ON，
∴∠CON＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∠DCB+∠ABC＝180°，
AB∥CD；
【尝试探究】
（1）如图2，在△OBC中，∵∠COB＝55°，
∴∠2+∠3＝125°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠DCB＝180°﹣2∠3，∠ABC＝180°﹣2∠2，
∴∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD
＝180°﹣（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）
＝2（∠2+∠3）﹣180°
＝2（180°﹣a）﹣180°
＝180°﹣2α，
故答案为：180°﹣2α；
（2）如图4，B＝2a，
理由如下：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠ABC＝180°﹣2∠2，
∠BCD＝180°﹣2∠3，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BCD
＝（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）
＝2（∠3﹣∠2）＝∠β，
∵∠BOC＝∠3﹣∠2＝a，
∴β＝2a．
故答案为：β＝2a．
23．（10分）已知：直线AB∥CD，M，N分别在直线AB，CD上，H为平面内一点，连HM，HN．
（1）如图1，延长HN至G，∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E．
求证：2∠MEN﹣∠MHN＝180°；
（2）如图2，∠BMH和∠HND的角平分线相交于点E．
①请直接写出∠MEN与∠MHN的数量关系： 2∠MEN+∠MHN＝360° ；
②作MP平分∠AMH，NQ∥MP交ME的延长线于点Q，若∠H＝140°，求∠ENQ的度数．（可直接运用①中的结论）
【分析】（1）过点E作EP∥AB交MH于点Q，利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为180°，角与角之间的基本运算、等量代换等即可得证．
（2）①过点H作GI∥AB，利用（1）中结论2∠MEN﹣∠MHN＝180°，利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为180°，角与角之间的基本运算、等量代换等得出∠AMH+∠HNC＝360°﹣（∠BMH+∠HND），进而用等量代换得出2∠MEN+∠MHN＝360°．
②过点H作HT∥MP，由①的结论得2∠MEN+∠MHN＝360°，∠H＝140°，∠MEN＝110°．利用平行线性质得∠ENQ+∠ENH+∠NHT＝180°，由角平分线性质及邻补角可得∠ENQ+∠ENH+140°﹣（180°﹣∠BMH）＝180°．继续使用等量代换可得∠ENQ度数．
【解答】解：（1）证明：过点E作EP∥AB交MH于点Q．如答图1
∵EP∥AB且ME平分∠BMH，
∴∠MEQ＝∠BME＝∠BMH．
∵EP∥AB，AB∥CD，
∴EP∥CD，又NE平分∠GND，
∴∠QEN＝∠DNE＝∠GND．（两直线平行，内错角相等）
∴∠MEN＝∠MEQ+∠QEN＝∠BMH+∠GND＝（∠BMH+∠GND）．
∴2∠MEN＝∠BMH+∠GND．
∵∠GND+∠DNH＝180°，∠DNH+∠MHN＝∠MON＝∠BMH．
∴∠DHN＝∠BMH﹣∠MHN．
∴∠GND+∠BMH﹣∠MHN＝180°，
即2∠MEN﹣∠MHN＝180°．
（2）①：过点H作GI∥AB．如答图2．
由（1）可得∠MEN＝（∠BMH+∠HND），
由图可知∠MHN＝∠MHI+∠NHI，
∵GI∥AB，
∴∠AMH＝∠MHI＝180°﹣∠BMH，
∵GI∥AB，AB∥CD，
∴GI∥CD．
∴∠HNC＝∠NHI＝180°﹣∠HND．
∴∠AMH+∠HNC＝180°﹣∠BMH+180°﹣∠HND＝360°﹣（∠BMH+∠HND）．
又∵∠AMH+∠HNC＝∠MHI+∠NHI＝∠MHN，
∴∠BMH+∠HND＝360°﹣∠MHN．
即2∠MEN+∠MHN＝360°．
故答案为：2∠MEN+∠MHN＝360°．
②：由①的结论得2∠MEN+∠MHN＝360°，
∵∠H＝∠MHN＝140°，
∴2∠MEN＝360°﹣140°＝220°．
∴∠MEN＝110°．
过点H作HT∥MP．如答图2．
∵MP∥NQ，
∴HT∥NQ．
∴∠ENQ+∠ENH+∠NHT＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵MP平分∠AMH，
∴∠PMH＝∠AMH＝（180°﹣∠BMH）．
∵∠NHT＝∠MHN﹣∠MHT＝140°﹣∠PMH．
∴∠ENQ+∠ENH+140°﹣（180°﹣∠BMH）＝180°．
∵∠ENH＝∠HND．
∴∠ENQ+∠HND+140°﹣90°+∠BMH＝180°．
∴∠ENQ+（HND+∠BMH）＝130°．
∴∠ENQ+∠MEN＝130°．
∴∠ENQ＝130°﹣110°＝20°．
24．（12分）如图1，已知在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（0，3），将线段AB向右平移4个单位长度至OC的位置，连BC．
（1）直接写出点C的坐标 （4，3） ；
（2）如图2，过点C作CD⊥x轴于点D，在x轴正半轴有一点E（1，0），过点E作x轴的垂线EF交BC于F，动点P从F点开始，以每秒1个单位长度的速度沿射线FE运动，设运动的时间为t（秒），连接AC．
①试问：△PCD的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由；
②当△PCA的面积为时，求t的值及此时点P的坐标．
【分析】（1）由平移的性质直接得出结论；
（2）①先求出CD＝3，再判断出EF∥CD，进而用三角形的面积公式计算，即可得出结论；
②先求出直线AC的解析式，进而求出点Q的坐标，进而求出△FAC的面积，判断出点P在直线AC下方，用△PAC的面积建立方程求解，求出点P的坐标，即可得出结论．
【解答】解：（1）由平移得，C（0+4，3），即C（4，3），
故答案为：（4，3）；
（2）①由（1）知，C（4，3），
∵CD⊥x轴，
∴D（4，0），CD＝3，
∵E（1，0），
∴DE＝4﹣1＝3，
∵CD⊥x轴，EF⊥x轴，
∴CD∥EF，
∵点P在射线FE上，
∴S△PCD＝CD•DE＝×3×3＝4.5，
即△PCD的面积是定值，其定值为4.5；
②由（1）知，C（4，3），
∵A（﹣4，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AC的解析式为y＝x+，
设点P（1，m）（m≤3），
记EF与AC的交点为Q，则Q（1，），
当点P和点F重合时，P（1，3），
∴PQ＝3﹣＝，
此时，S△PAC＝PQ•（xC﹣xA）＝××（4+4）＝9＜，
∴点P只能在AC下方，则PQ＝﹣m，
∴S△PAC＝PQ•（xC﹣xA）＝×（﹣m）×（4+4）＝，
∴m＝﹣，
∴P（1，﹣），
∴t＝（3+）÷1＝，
即t的值为．
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