2020-2021学年四川绵阳高三上数学月考试卷

这是一份2020-2021学年四川绵阳高三上数学月考试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若集合A=x|y=lg2x−1，B=x|x2−x−6≤0，则ðRA∩B=( )
A.(−2,1]B.−2,1C.[−2,1)D.1,3

2. 在△ABC中，若sinA=csB=12，则∠C=( )
A.90∘B.60∘C.45∘D.30∘

3. 下列函数中，值域为R且为奇函数的是( )
A.y=x+2B.y=sinxC.y=x−x3D.y=2x

4. 已知a，b∈R，则lg3a>lg3b是“(12)a<(12)b”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5. 已知命题p：∀x∈R， x+1x≥2；命题q：∃x0∈0,π2，使sinx0+csx0≥2，则下列命题中为真命题的是( )
A.p∨¬qB.p∧¬qC.¬p∧¬qD.¬p∧q

6. 已知a，b为非零实数，且a<0A.a2
7. 已知θ是第二象限角，P(x, 2)为其终边上一点且csθ=55x，则2sinθ−csθsinθ+csθ的值为( )
A.5B.52C.32D.34

8. 设sin2α−sinα=0，α∈−π2,0，则tan2α的值是( )
A.3B.−3C.33D.−33

9. 方程(13)x=|lg3x|的解的个数是( )
A.0个B.1个C.2个D.3个

10. 设函数fx是定义在R上的偶函数，当x≥0时， fx=3x−2，则不等式f2−x>1的解集为( )
A.{x|x<1或x>3}B.x|1
11. 函数y=3cs2x−4csx+1，x∈π3,2π3的最大值是( )
A.14B.34C.15D.154

12. 已知函数f(x)=sinx+acsx(a∈R)图象的一条对称轴是x=π6，则a的值为( )
A.5B.5C.3D.3
二、填空题

已知cs(π3+α)=13，则sin(5π6+α)=________．

1+tan19∘⋅1+tan26∘=________.

已知定义在R上的函数fx=3sinx−2x+1，则在−5,5上fx的最大值与最小值之和等于________.

已知函数fx=x+2lnx+12x2−4x+72，则函数fx的所有零点为________.
三、解答题

已知函数fx=3sinxcsx−sin2x+12.
(1)求fx的最小正周期；

(2)求fx的单调递增区间.

已知函数fx=2sin2x+π4−3cs2x，x∈π4,π2.
(1)求fx的值域；

(2)若不等式|fx−m|<2在x∈π4,π2上恒成立，求实数m的取值范围．

已知函数fx=ax+bxlnx ，fx在x=e处的切线方程是x+y−e=0，其中e是自然对数的底数．
(1)求实数a，b的值；

(2)求函数fx的极值．

已知函数fx=1x+alnx−2a∈R，gx=1x+x2+x.
(1)讨论函数fx在定义域上的单调性；

(2)当a=3时，求证：fx≤gx恒成立．

已知函数f(x)=x2−mx+2lnx(m∈R)．
(1)若f(x)在其定义域内单调递增，求实数m的取值范围；

(2)若4
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2+6csαy=6sinα’（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ−π3+2=0．
(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；

(2)直线l与y轴的交点为P，经过点P的动直线l′与曲线C交于M，N两点，求|PM|−|PN|的最大值．

设函数fx=|2x−1|+mx+2，m∈R.
(1)若m=1，解不等式fx<6；

(2)若fx有最小值，且关于x的方程fx=−x2+x+1有两个不等实根，求实数m的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川绵阳高三上数学月考试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
一元二次不等式的解法
对数函数的定义域
交、并、补集的混合运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵A=x|y=lg2x−1
=x|x−1>0=1,+∞，
∴ ðRA=(−∞,1].
∵B=x|x2−x−6≤0=−2,3，
∴ ðRA∩B=−2,1.
故选B.
2.
【答案】
A
【考点】
三角函数值的符号
【解析】
由条件求得B的值，再求得A的值，利用三角形的内角和公式求得C的值．
【解答】
解：在△ABC中，若sinA=csB=12，
A，B∈(0,π)，
则∠B=60∘，∠A=30∘，
∴ ∠C=180∘−60∘−30∘=90∘.
故选A．
3.
【答案】
C
【考点】
函数奇偶性的判断
函数的值域及其求法
【解析】
分别结合奇偶性及函数的值域判断各选项即可求解．
【解答】
解：A，y=x+2为非奇非偶函数，不符合题意；
B，y=sinx的值域[−1, 1]，不符合题意；
C，y=x−x3为奇函数且值域为R，符合题意；
D，y=2x为非奇非偶函数，不符合题意．
故选C.
4.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据对数函数的性质由“lg3a>lg3b”可得a>b>0，然后根据指数函数的性质由“(12)a<(12)b，可得a>b，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．
【解答】
解：∵ a，b∈R，lg3a>lg3b，
∴ a>b>0.
∵ (12)a<(12)b，
∴ a>b，
∴ “lg3a>lg3b”⇒“(12)a<(12)b”，
反之则不成立，
∴ “lg3a>lg3b”是“(12)a<(12)b”的充分不必要条件.
故选A．
5.
【答案】
D
【考点】
全称命题与特称命题
逻辑联结词“或”“且”“非”
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于命题p：当x≤0时， x+1x≥2不成立，
∴ 命题p是假命题，则¬p是真命题；
对于命题q：当x0=π4时，sinx0+csx0=2，
∴ 命题q是真命题，则¬q是假命题.
结合选项知，只有¬p∧q是真命题．
故选D.
6.
【答案】
B
【考点】
不等式的基本性质
不等式的概念与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于选项A，令a=−1，b=1时，a2=1=b2，故A不正确；
对于选项B，a2b>0>ab2，则1ab2<0<1a2b，故B正确；
对于选项C，a2b>0>ab2，故C不正确；
对于选项D，令a=−1，b=1时，ba=−1=ab，故D不正确.
故选B.
7.
【答案】
A
【考点】
任意角的三角函数
同角三角函数间的基本关系
三角函数线
【解析】
(Ⅰ)由题意利用任意角的三角函数的定义求得x的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
(Ⅱ)由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得α，β的值．
【解答】
解：已知θ是第二象限角，P(x, 2)为其终边上一点，
且csθ=55x=xx2+4<0，
∴ x<0，x=−1，
∴ tanθ=2x=−2，
∴ 2sinθ−csθsinθ+csθ=2tanθ−1tanθ+1=5．
故选A.
8.
【答案】
A
【考点】
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
由角的范围求得sinα,csα,由同角三角函数关系式以及二倍角公式化简求值.
【解答】
解：∵sin2α−sinα=0，
∴2sinαcsα−sinα=sinα2csα−1=0.
∵α∈−π2,0，
∴sinα≠0，2csα−1=0，csα=12，
∴sinα=−1−cs2α=−32，
∴tan2α=sin2αcs2α=2sinαcsαcs2α−sin2α
=2×−32×1214−34=3.
故选A.
9.
【答案】
C
【考点】
对数函数的图象与性质
函数的零点与方程根的关系
指数函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：在同一坐标系中画出函数y=(13)x与y=|lg3x|的图象，
如图所示：
易判断其交点个数为2个．
则方程(13)x=|lg3x|的解的个数也为2个.
故选C.
10.
【答案】
A
【考点】
绝对值不等式
指数型复合函数的性质及应用
奇偶性与单调性的综合
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当x≥0时， fx=3x−2，
此时函数y=fx单调递增.
因为函数y=fx是定义在R上的偶函数，
且f1=31−2=1，
由f2−x>1，得f|x−2|>f1，
所以|x−2|>1，
解得x<1或x>3，
因此，不等式f2−x>1的解集为{x|x<1或x>3}.
故选A.
11.
【答案】
D
【考点】
二次函数在闭区间上的最值
余弦函数的定义域和值域
【解析】
首先把函数的关系式变形成二次函数的形式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，最后求出函数的最大值．
【解答】
解：由于x∈π3,2π3，
则csx∈−12,12,
所以函数y=3cs2x−4csx+1
=3csx−232−43+1
=3csx−232−13．
当csx=−12时，
ymax=3×−12−232−13=154．
故选D.
12.
【答案】
D
【考点】
两角和与差的正弦公式
正弦函数的对称性
【解析】
利用辅助角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过x=π6，函数取得最值，求出a的值即可．
【解答】
解：∵ y=sinx+acsx=a2+1sin(x+φ)，
其中tanφ=a，
其在对称轴x=π6处取得最大值或最小值，
∴ sinπ6+acsπ6=±a2+1，
∴ 12+3a2=±a2+1，
解得a=3.
故选D.
二、填空题
【答案】
13
【考点】
诱导公式
【解析】
由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．
【解答】
解：∵ cs(π3+α)=13，
∴ sin(5π6+α)
=sin(π2+π3+α)
=cs(π3+α)
=13.
故答案为：13.
【答案】
2
【考点】
两角和与差的正切公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由于tan45∘=tan19∘+26∘
=tan19∘+tan26∘1−tan19∘⋅tan26∘
=1，
所以tan19∘+tan26∘=1−tan19∘⋅tan26∘，
即tan19∘+tan26∘+tan19∘⋅tan26∘=1，
所以1+tan19∘⋅1+tan26∘
=1+tan19∘+tan26∘+tan19∘⋅tan26∘
=2.
故答案为：2.
【答案】
2
【考点】
函数奇偶性的判断
函数的最值及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据题意，设g(x)=f(x)−1=3sinx−2x，x∈−5,5，
有g(−x)=3sin(−x)−2(−x)=−(3sinx−2x)=−g(x)，
即函数g(x)为奇函数，其图象关于原点对称，
则g(x)max+g(x)min=0，
则有[f(x)max−1]+[f(x)min−1]
=f(x)max+f(x)min−2
=0，
变形可得f(x)max+f(x)min=2，
所以，当x∈−5,5时，函数fx的最大值与最小值之和等于2.
故答案为：2.
【答案】
1
【考点】
利用导数研究与函数零点有关的问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：函数fx的定义域为0,+∞，
且f′x=lnx+2x+x−3.
设gx=lnx+2x+x−3，
则g′x=1x−2x2+1
=x2+x−2x2
=x+2x−1x2x>0.
当01时， g′x>0，
即函数gx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
所以当x>0时， gx≥g1=0（当且仅当x=1时取等号），
即当x>0时， f′x≥0 （当且仅当x=1时取等号），
所以函数fx在0,+∞上单调递增，至多有一个零点.
因为f1=0，
所以x=1是函数fx唯一的零点.
综上，函数fx的所有零点只有x=1.
故答案为：1.
三、解答题
【答案】
解：(1)fx=3sinxcsx−sin2x+12
=322sinxcsx+121−2sin2x
=32sin2x+12cs2x
=sin2xcsπ6+cs2xsinπ6
=sin2x+π6，
T=2π2=π，
所以fx的最小正周期是π.
(2)令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ（k∈Z），
得−π3+kπ≤x≤π6+kπ（k∈Z），
所以fx的单调递增区间为：
[−π3+kπ,π6+kπ]（k∈Z）.
【考点】
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
两角和与差的正弦公式
正弦函数的周期性
正弦函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)fx=3sinxcsx−sin2x+12
=322sinxcsx+121−2sin2x
=32sin2x+12cs2x
=sin2xcsπ6+cs2xsinπ6
=sin2x+π6，
T=2π2=π，
所以fx的最小正周期是π.
(2)令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ（k∈Z），
得−π3+kπ≤x≤π6+kπ（k∈Z），
所以fx的单调递增区间为：
[−π3+kπ,π6+kπ]（k∈Z）.
【答案】
解：(1)∵ fx=2sin2x+π4−3cs2x
=1−csπ2+2x−3cs2x
=1+sin2x−3cs2x
=1+2sin2x−π3，
又∵ x∈π4,π2，
∴ π6≤2x−π3≤2π3，
即2≤1+2sin2x−π3≤3，
∴ fx∈2,3.
(2)由|fx−m|<2恒成立，
可得fx−2又∵ x∈π4,π2，
∴ m>fxmax−2且m结合(1)知，1即m的取值范围是1,4.
【考点】
二倍角的余弦公式
两角和与差的正弦公式
三角函数的最值
绝对值不等式
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ fx=2sin2x+π4−3cs2x
=1−csπ2+2x−3cs2x
=1+sin2x−3cs2x
=1+2sin2x−π3，
又∵ x∈π4,π2，
∴ π6≤2x−π3≤2π3，
即2≤1+2sin2x−π3≤3，
∴ fx∈2,3.
(2)由|fx−m|<2恒成立，
可得fx−2又∵ x∈π4,π2，
∴ m>fxmax−2且m结合(1)知，1即m的取值范围是1,4.
【答案】
解：(1)由fx=ax+bxlnx，
得f′x=a+b1+lnx，
由fx在x=e处的切线方程是x+y−e=0，
知切点为e,0，斜率为−1，
所以fe=a+be=0，f′e=a+2b=−1，
解之得a=1，b=−1.
(2)fx=x−xlnx，f′x=−lnx，
令f′x=0，得x=1，
因此可得下表，
由表可知，当x=1时，f(x)取得极大值1；f(x)无极小值.
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由fx=ax+bxlnx，
得f′x=a+b1+lnx，
由fx在x=e处的切线方程是x+y−e=0，
知切点为e,0，斜率为−1，
所以fe=a+be=0，f′e=a+2b=−1，
解之得a=1，b=−1.
(2)fx=x−xlnx，f′x=−lnx，
令f′x=0，得x=1，
因此可得下表，
由表可知，当x=1时，f(x)取得极大值1；f(x)无极小值.
【答案】
(1)解：f′(x)=−1+axx2(x>0)，
当a≤0时， f′x<0，
故f(x)在0,+∞上单调递减；
当a>0时， x∈0,1a时，f′x<0，
x∈1a,+∞时， f′x>0，
故fx在0,1a上单调递减，在1a,+∞上单调递增．
(2)证明：当a=3时， fx=1x+3lnx−2，
令hx=gx−fx=x2+x−3lnx+2，
则h′x=2x+3x−1xx>0，
令h′x>0，解得：x>1，
令h′x<0，解得： 0故hx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
故hx极小值=hxmin=h1=4≥0，显然成立，
故fx≤gx恒成立．
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：f′(x)=−1+axx2(x>0)，
当a≤0时， f′x<0，
故f(x)在0,+∞上单调递减；
当a>0时， x∈0,1a时，f′x<0，
x∈1a,+∞时， f′x>0，
故fx在0,1a上单调递减，在1a,+∞上单调递增．
(2)证明：当a=3时， fx=1x+3lnx−2，
令hx=gx−fx=x2+x−3lnx+2，
则h′x=2x+3x−1xx>0，
令h′x>0，解得：x>1，
令h′x<0，解得： 0故hx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
故hx极小值=hxmin=h1=4≥0，显然成立，
故fx≤gx恒成立．
【答案】
解：(1)由题意知，f(x)的定义域为(0, +∞)．
∵ f(x)在(0, +∞)上单调递增，
∴ f′(x)=2x−m+2x≥0在(0, +∞)上恒成立，
即m≤2x+2x在(0, +∞)上恒成立．
又2x+2x≥22x⋅2x=4（当且仅当x=1时等号成立），
∴ m≤4．
(2)由题意得，f′(x)=2x−m+2x=2x2−mx+2x．
∵ f(x)有两个极值点x1，x2，
∴ x1，x2为方程2x2−mx+2=0的两个不相等的实数根.
由根与系数的关系得，x1+x2=m2，x1⋅x2=1．
∵ 0∴ 0又m=2(x1+x2)=2x1+1x1∈(4,5)，
解得12∴ f(x1)−f(x2)
=(x12−mx1+2lnx1)−(x22−mx2+2lnx2)
=(x12−x22)+2(lnx1−lnx2)−2(x1+x2)(x1−x2)
=(x22−x12)+2(lnx1−lnx2)
=1x12−x12+4lnx1．
设g(x)=1x2−x2+4lnx12则g′(x)=−2x3−2x+4x
=−2(x4−2x2+1)x3
=−2(x2−1)2x3<0，
∴ g(x)在12,1上为减函数．
又g12=4−14+4ln12=154−4ln2，
g(1)=1−1+0=0，
∴ 0即f(x1)−f(x2)的取值范围为0,154−4ln2．
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
根与系数的关系
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
（1）f(x)的定义域为(0, +∞)．由f(x)在(0, +∞)上单调递增，得f′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立．分离参数m，利用基本不等式求最值即可；
（2）求出原函数的导函数，由f(x)有两个极值点x1，x2，可得x1，x2为方程2x2−mx+2＝0的两个不相等的实数根，写出根与系数的关系，求出x1的范围，
f(x1)−f(x2)=1x12−x12+41nx1．设g(x)=1x2−x2+41nx(12【解答】
解：(1)由题意知，f(x)的定义域为(0, +∞)．
∵ f(x)在(0, +∞)上单调递增，
∴ f′(x)=2x−m+2x≥0在(0, +∞)上恒成立，
即m≤2x+2x在(0, +∞)上恒成立．
又2x+2x≥22x⋅2x=4（当且仅当x=1时等号成立），
∴ m≤4．
(2)由题意得，f′(x)=2x−m+2x=2x2−mx+2x．
∵ f(x)有两个极值点x1，x2，
∴ x1，x2为方程2x2−mx+2=0的两个不相等的实数根.
由根与系数的关系得，x1+x2=m2，x1⋅x2=1．
∵ 0∴ 0又m=2(x1+x2)=2x1+1x1∈(4,5)，
解得12∴ f(x1)−f(x2)
=(x12−mx1+2lnx1)−(x22−mx2+2lnx2)
=(x12−x22)+2(lnx1−lnx2)−2(x1+x2)(x1−x2)
=(x22−x12)+2(lnx1−lnx2)
=1x12−x12+4lnx1．
设g(x)=1x2−x2+4lnx12则g′(x)=−2x3−2x+4x
=−2(x4−2x2+1)x3
=−2(x2−1)2x3<0，
∴ g(x)在12,1上为减函数．
又g12=4−14+4ln12=154−4ln2，
g(1)=1−1+0=0，
∴ 0即f(x1)−f(x2)的取值范围为0,154−4ln2．
【答案】
解：(1)由x=2+6csα,y=6sinα（α为参数），
得x−22+y2=36，
则曲线C的直角坐标方程为x−22+y2=36．
由ρsinθ−π3+2=0，
得12ρsinθ−32ρcsθ+2=0，
即12y−32x+2=0，即3x−y−4=0，
所以直线l的直角坐标方程为3x−y−4=0．
(2)易知P的坐标为0,−4，
设直线l′的参数方程为x=tcsα，y=−4+tsinα（t为参数），
代入x−22+y2=36并整理，
得t2−8sinα+4csαt−16=0 ，
所以t1+t2=8sinα+4csα，t1t2=−16<0，
所以|PM|−|PN|=|t1|−|t2|=t1+t2或−t1+t2．
因为t1+t2=45sinα+φ≤45，
故|PM|−|PN|的最大值为45．
【考点】
利用圆锥曲线的参数方程求最值
参数方程与普通方程的互化
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
【解析】


【解答】
解：(1)由x=2+6csα,y=6sinα（α为参数），
得x−22+y2=36，
则曲线C的直角坐标方程为x−22+y2=36．
由ρsinθ−π3+2=0，
得12ρsinθ−32ρcsθ+2=0，
即12y−32x+2=0，即3x−y−4=0，
所以直线l的直角坐标方程为3x−y−4=0．
(2)易知P的坐标为0,−4，
设直线l′的参数方程为x=tcsα，y=−4+tsinα（t为参数），
代入x−22+y2=36并整理，
得t2−8sinα+4csαt−16=0 ，
所以t1+t2=8sinα+4csα，t1t2=−16<0，
所以|PM|−|PN|=|t1|−|t2|=t1+t2或−t1+t2．
因为t1+t2=45sinα+φ≤45，
故|PM|−|PN|的最大值为45．
【答案】
解：(1)当m=1时，fx=|2x−1|+x+2，
当x≤12时，
fx=1−2x+x+2<6，
解得x>−3，
综合得−3当x>12时，
fx=2x−1+x+2<6，
解得x<53，
综合得12综上，不等式的解集为−3,53.
(2)当x≤12时，
fx=1−2x+mx+2=m−2x+3；
当x>12时，
fx=2x−1+mx+2=m+2x+1，
则fx=m−2x+3,x≤12，m+2x+1,x>12.
要使f(x)有最小值，
则m−2≤0，m+2≥0，
解得−2≤m≤2.
要使方程f(x)=−x2+x+1有两个不等实根，
则y=f(x)与g(x)=−x2+x+1有两个交点，
易知当x=12时，
fx有最小值12m+2，gx有最大值54，
作出示意图如图所示：
则12m+2<54，
解得m<−32.
综合得−2≤m<−32.
【考点】
二次函数的性质
绝对值不等式的解法与证明
分段函数的应用
函数的零点与方程根的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当m=1时，fx=|2x−1|+x+2，
当x≤12时，
fx=1−2x+x+2<6，
解得x>−3，
综合得−3当x>12时，
fx=2x−1+x+2<6，
解得x<53，
综合得12综上，不等式的解集为−3,53.
(2)当x≤12时，
fx=1−2x+mx+2=m−2x+3；
当x>12时，
fx=2x−1+mx+2=m+2x+1，
则fx=m−2x+3,x≤12，m+2x+1,x>12.
要使f(x)有最小值，
则m−2≤0，m+2≥0，
解得−2≤m≤2.
要使方程f(x)=−x2+x+1有两个不等实根，
则y=f(x)与g(x)=−x2+x+1有两个交点，
易知当x=12时，
fx有最小值12m+2，gx有最大值54，
作出示意图如图所示：
则12m+2<54，
解得m<−32.
综合得−2≤m<−32.x
(0,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
−
f(x)
↗
极大值
↘
x
(0,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
−
f(x)
↗
极大值
↘