河北省唐山市一中2020-2021学年高二下学期期中考试：数学试题+答案

这是一份河北省唐山市一中2020-2021学年高二下学期期中考试：数学试题+答案，共10页。试卷主要包含了6826，P=0等内容，欢迎下载使用。

命题人：周国明 审核人：孟征
说明：
1.考试时间120分钟，满分150分。2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
卷Ⅰ(选择题 共60分)
一．单项选择题（共8小题，每小题5 分，计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意.）
1.在复平面内，复数z=2+3i3-4i(i是虚数单位)，则复数z的共轭复数所对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知a，b，c∈R，则“aA. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
3.4名学生报名参加语、数、英兴趣小组，每人选报1种，则不同方法有( )
A. 43种B. 34种C. A43种D. C43种
4.在2x3+1x2n(n∈N*)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是( )
A. 3B. 5C. 8D. 10
5.某中学组织了“自主招生数学选拔赛”，已知此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布 N（75,121），考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为( )人．
(参考数据P(μ-σA. 261B. 341C. 477D. 683
6.某射手每次射击击中目标的概率均为p(0A. 5，12B. 5，35C. 6，12D. 6，35
7.圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径之比为( )
A. 2:1B. 1:2C. 1:4D. 4:1
8.有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是( )
A. 144B. 216C. 288D. 432
二．多项选择题（共4小题，每小题5 分，计20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.）
9.用一个平面去截正方体，截面的形状可能是( )
A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形
10.下列说法正确的是( )
A. 将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍
B. 若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为 14
C. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D. 设两个独立事件A和B都不发生的概率为 19，A发生且B不发生的概率与B发生且 A不发生的概率相同，则事件A发生的概率为 23
11.已知F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，过点F且斜率为3的直线l交抛物线于A、B两点(点A在第一象限)，交抛物线的准线于点C.则下列结论正确的是( )
A. AF=FCB. |AF|=2|BF|
C. |AB|=3pD. 以AF为直径的圆与y轴相切
12.已知函数f(x)=ex+alnx，其中正确结论的是( )
A. 当a=0时，函数f(x)有最大值．
B. 对于任意的a<0，函数f(x)一定存在最小值．
C. 对于任意的a>0，函数f(x)是(0,+∞)上的增函数．
D. 对于任意的a>0，都有函数f(x)>0．
卷Ⅱ(非选择题 共90分)
三．填空题（共4小题，每小题5 分，计20分.）
13.若命题“∃x∈R,x2+(a-1)x+1<0”是假命题，则实数a的取值范围为 .
14.已知(2+mx)(1+x)3的展开式中x3的系数为5，则m=________．
15.根据某地区气象台统计，该地区下雨的概率是 35，刮风的概率为 12，既刮风又下雨的概率为 110，则在刮风天里，下雨的概率为_______．
16.已知实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是 23，没有平局．若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率为____．
四．解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（10分）某城市为鼓励人们乘坐地铁出行，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表：
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站，甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为14，13；甲、乙乘坐超过20站概率分别为12，13．
(1)求甲、乙两人付费相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付费用之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
（12分）在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=2，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠A=60°，E是AD的中点．
(1)求证：BE⊥平面PAD；
(2)求平面PAB与平面PBC所成角的余弦值．

19.（12分）新型冠状病毒的传染性是非常强的，而且可以通过接触传播或者是呼吸道飞沫传播，感染人群年龄大多数是40岁以上的人群.该病毒进入人体后有潜伏期，并且潜伏期越长，感染他人的可能性越高，现对100个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期中位数为5，平均数为7.21，方差为5.08.如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”.按照年龄统计样本得到下面的列联表：
(1)能否有90%以上的把握认为“长潜伏期”与年龄有关；
(2)假设潜伏期Z服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差， 现在很多省份对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；
附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ-σ20.（12分）某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x (万人)与餐厅所用原材料 数量y (袋)，得到如下统计表：
(1)根据所给5组数据，求出y关于x的线性回归方程y=bx+a．
(2)已知购买原材料的费用C(元)与数量t(袋)的关系为
C=400t-20,0投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加，根据(1)中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？(注：利润L=销售收入-原材料费用)．
参考公式：b=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2，a=y-bx．
参考数据：i=15xiyi=1343，i=15xi2=558，i=15yi2=3237．
21.（12分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(2,2)，一个焦点F的坐标为(2,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l:y=kx+1与椭圆C交于A,B两点，O为坐标原点，求OA·OB的取值范围．
22.（12分）已知f(x)=12x2+aex-lnx．
(1)设x=12是f(x)的极值点，求实数a的值，并求f(x)的单调区间；
(2)a>0时，求证：f(x)>12．
高二期中考试数学参考答案
一、单选题 CBBB BBAD
二、多选题 9. ABD 10. BD 11. AD 12. BC
三、填空题 13. [-1,3] 14. 1 15. 15 16. 2027
四、解答题
17.解：(1)由题意知甲乘坐超过10站且不超过20站的概率为1-14-12=14，
乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为1-13-13=13，
设“甲、乙两人付费相同”为事件A，
则PA=14×13+14×13+12×13=13，
所以甲、乙两人付费相同的概率是13．……………………………………（4分）
(2)由题意可知X的所有可能取值为：6，9，12，15，18．
PX=6=14×13=112，PX=9=14×13 +14×13=16，
PX=12=14×13+12 ×13+14×13=13，P(X=15)=14×13+12 ×13=14，
PX=18=12×13=16．…………………………………………………………（8分）
因此X的分布列如下：
所以X的数学期望EX=6×112+9×16 +12×13+15×14+18×16=514．……（10分）
18.(1)证明：由PA=PD=2，E是AD的中点，得PE⊥AD，
由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，且PE⊂平面PAD，
可得PE⊥平面ABCD，又BE⊂平面ABCD，所以PE⊥BE，
又由于四边形ABCD是边长为2的菱形，∠A=60°，所以BE⊥AD，
又PE∩AD=E，且PE，AD⊂平面PAD，
所以BE⊥平面PAD；……………………（5分）
(2)解：由(1)可知EA，EB，EP两两垂直，
以E为原点，EA,EB,EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，
则P(0,0,3)，A(1,0，0)，B(0,3,0)，C(-2,3,0)，
所PA=(1,0,-3)，PB=(0,3,-3)，PC=(-2,3,-3)，
设平面PAB的一个法向量为n=(x,y，z)，
则PA⋅n=0PB⋅n=0，即x-3z=03y-3z=0,
令z=1，可得n=(3,1,1)，………………（8分）
同理可得平面PBC的一个法向量为m=（0,1,1），………………（10分）
所以平面PAB与平面PBC所成角的余弦值为|cs⟨m,n⟩|=m⋅n|m| |n|=105．………（12分）
19.解：(1)K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(15×20-55×10)270×30×25×75≈1.587，
由于1.587<2.706，
故没有90%以上的把握认为“长潜伏期”与年龄有关；………………（6分）
(2)若潜伏期Z～N(7.21,2.252)，
此时μ+3σ=7.21+3×2.25=13.96，
由P(Z≥13.96)=1-0.99742=0.0013，
显然潜伏期超过14天的概率很低，
因此隔离14天是合理的．………………………………（12分）
20.解：(1)由所给数据可得：x=13+9+8+10+125=10.4，y=32+23+18+24+285=25（2分）
b=i=15xiyi-5xyi=15xi2-5x2=1343-5×10.4×25558-5×10.42=2.5………………（4分）
，a=y-bx=25-2.5×10.4=-1，
则y关于x的线性回归方程为y=2.5x-1;………………（6分）
(2)由(1)中求出的线性回归方程知，当x=15时，y=36.5，
即预计需要原材料36.5袋，因为C=400t-20,0所以当t<36时，利润L=700t-400t-20=300t+20，
当t=35时，Lmax=300×35+20=10520；
当t>36时，利润L=700×36.5-380t，最大为700×36.5-380×37=11490，
当t=36时，L=700×36-380×36=11520，
综上，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，为11520元.……（12分）
21.解：(1)解：(1)根据椭圆的定义，
2a=|PF1|+|PF2|=(2+2)2+(2)2+2=42，解得a=22，
又c=2，∴b2=a2-c2=(22)2-22=4，
∴所以椭圆C的方程为x28+y24=1；………………（5分）
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由y=kx+1x28+y24=1，消去y，整理得(1+2k2)x2+4kx-6=0；
又△=16k2+24(1+2k2)=64k2+24>0，解得k∈R；
由根与系数的关系得x1+x2=-4k1+2k2,x1x2=-61+2k2；………………（8分）
∴y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1=-6k21+2k2-4k21+2k2+1=1-8k21+2k2，
OA⋅OB=x1x2+y1y2=-61+2k2+1-8k21+2k2=-8k2-51+2k2=-4-11+2k2；
又-1≤-11+2k2<0，
∴OA⋅OB的取值范围是[-5,-4)．………………（12分）
22.解：(1)由题意，函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
又由f'(x)=x+aex-1x，且x=12是函数f(x)的极值点，
所以f'(12)=12+ae12-2=0，解得a=3e2e，………………（2分）
又a>0时，在(0,+∞)上，f'(x)是增函数，且f'(12)=0，
所以f'(x)>0，得x>12，f'(x)<0，得0所以函数fx的单调递增区间为(12,+∞)，单调递减区间为(0,12)．………………（5分）
(2)由(1)知因为a>0，在(0,+∞)上，f'(x)=x+aex-1x是增函数，
又f'(1)=1+ae-1>0(且当自变量x逐渐趋向于0时，f'(x)趋向于-∞)，
所以，∃x0∈(0,1)，使得f'(x0)=0，
所以x0+aex0-1x0=0，即aex0=1x0-x0，………………（7分）
在x∈(0,x0)上，f'(x)<0，函数f(x)是减函数，
在x∈(x0,+∞)上，f'(x)>0，函数f(x)是增函数，
所以，当x=x0时，fx取得极小值，也是最小值，
所以f(x)min=f(x0)=12x02+aex0-lnx0=12x02+1x0-x0-lnx0,(0令g(x)=12x2+1x-x-lnx,(0则g'(x)=x-1x2-1-1x=(x-1)-1+xx2，
当x∈(0,1)时，g'(x)<0，函数g(x)单调递减，所以g(x)>g(1)=12，
即f(x)≥f(x)min>12成立．………………（12分）
乘坐站数x
01020票价(元)
3
6
9
长潜伏期
非长潜伏期
40岁以上
15
55
40岁及以下
10
20
K2≥k
0.1
0.05
k
2.706
3.841
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
参会人数x (万人)
13
9
8
10
12
原材料y (袋)
32
23
18
24
28
X
6
9
12
15
18
P
112
16
13
14
16