2022版新教材高考数学一轮复习16导数与函数的单调性训练含解析新人教B版

十六　导数与函数的单调性

(建议用时：45分钟)

A组　全考点巩固练

1．函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调递增区间是(　　)

A．(0，＋∞)　　　　　　 B．(－∞，0)

C．(－∞，1)   D．(1，＋∞)

D　解析：由题意知f′(x)＝ex－e.令f′(x)>0，解得x>1.故选D.

2．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3]∪[－1,1]∪[3，＋∞)

B．∅

C．(－2,2)

D．(－3，－1)∪(1,3)

D　解析：由f(x)＝x3－12x，得f′(x)＝3x2－12.

令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝2.只要f′(x)＝0的解有一个在区间(k－1，k＋1)内，函数f(x)在区间(k－1，k＋1)上就不是单调函数，则k－1<－2<k＋1或k－1<2<k＋1，解得－3<k<－1或1<k<3.

3．(2021·潍坊三区五市模拟)已知函数f(x)＝xsin x，x1，x2∈，且f(x1)＜f(x2)，那么(　　)

A．x1－x2＞0   B．x1＋x2＞0

C．x－x＞0   D．x－x＜0

D　解析：由f(x)＝xsin x，得f′(x)＝sin x＋xcos x，当x∈时，f′(x)＞0，即f(x)在上为增函数．又f(－x)＝－xsin (－x)＝xsin x＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以当f(x1)＜f(x2)时，有f(|x1|)＜f(|x2|)，所以|x1|＜|x2|，x－x＜0.故选D.

4．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　)

A．(－1,1)   B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－1)   D．(－∞，＋∞)

B　解析：由f(x)>2x＋4，得f(x)－2x－4>0.设f(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2.

因为f′(x)>2，所以F′(x)>0在R上恒成立，所以f(x)在R上单调递增．

又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4>0等价于f(x)>F(－1)，所以x>－1.

5．(2020·广东六校联盟第三次联考)函数f(x)＝的图像的大致形状是

(　　)

A　解析：令x＝0，得f(0)＝0，排除C，D，

f′(x)＝，

当x∈时，f′(x)＝>0，当x∈时，f′(x)＝<0，排除B.故选A.

6．已知函数f(x)＝(－x2＋2x)ex(x∈R，e为自然对数的底数)，则函数f(x)的单调递增区间为________．

(－，)　解析：因为f(x)＝(－x2＋2x)ex，

所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.

令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0.

因为ex>0，所以－x2＋2>0，解得－<x<.

所以函数f(x)的单调递增区间为(－，)．

7．若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．

(－3,0)∪(0，＋∞)　解析：由题意知f′(x)＝3ax2＋6x－1.由函数f(x)恰好有三个单调区间，得f′(x)有两个不相等的零点，所以3ax2＋6x－1＝0需满足a≠0，且Δ＝36＋12a>0，解得a>－3，所以实数a的取值范围是(－3,0)∪(0，＋∞)．

8．若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间上单调递减，则实数a的取值范围是________．

　解析：f′(x)＝x2－ax＋1.因为函数f(x)在区间上单调递减，所以f′(x)≤0在区间上恒成立．所以即解得a≥.所以实数a的取值范围为.

9．(2019·天津卷节选)设函数f(x)＝excos x，求f(x)的单调区间．

解：由题意，得f′(x)＝ex(cos x－sin x)．因此，当x∈(k∈Z)时，有sin x>cos x，得f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x∈(k∈Z)时，有sin x<cos x，得f′(x)>0，则f(x)单调递增．

所以，f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．

10．已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.

(1)求a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间．

解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝－－(x>0)．由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x，知f′(1)＝－－a＝－2，

解得a＝.

(2)由(1)知f(x)＝＋－ln x－，

则f′(x)＝＝(x>0)．

令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.

因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．

当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内单调递减；

当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)上单调递增．

综上，f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0,5)．

B组　新高考培优练

11．(多选题)若函数y＝exf(x)(e是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中具有M性质的是(　　)

A．f(x)＝2－x   B．f(x)＝x2

C．f(x)＝3－x   D．f(x)＝ex

AD　解析：设函数g(x)＝ex·f(x)．对于A，g(x)＝ex·2－x＝x，在定义域R上为增函数．对于B，g(x)＝ex·x2，则g′(x)＝x(x＋2)ex.由g′(x)>0得x<－2或x>0，所以g(x)在定义域R上不是增函数．对于C，g(x)＝ex·3－x＝x在定义域R上是减函数．对于D，g(x)＝e2x，则g′(x)＝2e2x，g′(x)>0在定义域R上恒成立，即g(x)在定义域R上为增函数．故选AD.

12．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)<0，且f(2)＝2，则f(ex)－ex>0的解集是(　　)

A．(－∞，ln 2)   B．(ln 2，＋∞)

C．(0，e2)   D．(e2，＋∞)

A　解析：令g(x)＝，g′(x)＝<0.

所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，且g(2)＝＝1，

故f(ex)－ex>0等价为>，即g(ex)>g(2)．

故ex<2，即x<ln 2，则所求的解集为(－∞，ln 2)．

13．(多选题)已知函数f(x)＝xln x，若0＜x1＜x2，则(　　)

A．＜0

B．x1＋f(x1)＜x2＋f(x2)

C．x2f(x1)＜x1f(x2)

D．当x2＞x1＞时，x1f(x1)＋x2f(x2)＞x2f(x1)＋x1f(x2)

CD　解析：因为f(x)＝xln x，f′(x)＝ln x＋1不是恒小于0，所以＜0不恒成立，故A错误．

设h(x)＝f(x)＋x，则h′(x)＝ln x＋2不恒大于0，所以x1＋f(x1)＜x2＋f(x2)不恒成立，故 B错误．

设g(x)＝＝ln x，函数g(x)单调递增，所以g(x2)＞g(x1)．所以＞，即有x1f(x2)＞x2f(x1)，故C正确．

当x＞时，ln x＞－1，故f′(x)＝ln x＋1＞0，函数f(x)＝xln x，x＞，单调递增．

故(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＝x1f(x1)＋x2f(x2)－x2f(x1)－x1f(x2)＞0，

即x1f(x1)＋x2f(x2)＞x2f(x1)＋x1f(x2)，故D正确．故选CD.

14．(多选题)(2021·八省联考)已知函数f(x)＝xln(1＋x)，则(　　)

A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增

B．f(x)有两个零点

C．曲线y＝f(x)在点处切线的斜率为－1－ln 2

D．f(x)是偶函数

AC　解析：由f(x)＝xln(1＋x)知函数的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝ln(1＋x)＋.当x∈(0，＋∞)时，ln(1＋x)>0，>0，∴f′(x)>0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，A正确．由f(0)＝0，当－1<x<0时，ln(1＋x)<0，所以f(x)＝xln(1＋x)>0.当ln(1＋x)>0时，f(x)>0，所以f(x)只有一个零点0，B错误．令x＝－，f′＝ln－1＝－ln 2－1，故曲线y＝f(x)在点处切线的斜率为－1－ln 2，C正确．由函数的定义域为(－1，＋∞)，不关于原点对称知，f(x)不是偶函数，D错误．故选AC.

15．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图像过点(－1，－6)，函数g(x)＝f′(x)＋6x的图像关于y轴对称，则实数m＝________，f(x)的单调递减区间为________．

－3　(0,2)　解析：由函数f(x)的图像过点(－1，－6)，得m－n＝－3.①

由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得f′(x)＝3x2＋2mx＋n.

所以g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n.

因为g(x)的图像关于y轴对称，

所以－＝0.

所以m＝－3.代入①得n＝0，所以f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．

由f′(x)<0，得0<x<2.所以f(x)的单调递减区间是(0,2)．

16．若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．

　解析：f′(x)＝1－·cos 2x＋acos x＝1－(2cos2x－1)＋acos x＝－cos2x＋acos x＋.因为f(x)在R上单调递增，所以f′(x)≥0在R上恒成立．

令cos x＝t，t∈[－1,1]，则－t2＋at＋≥0在[－1,1]上恒成立，

即4t2－3at－5≤0在[－1,1]上恒成立．

令g(t)＝4t2－3at－5，

则解得－≤a≤.

17．已知函数f(x)＝x3－ax－1.

(1)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围；

(2)若函数f(x)在(－1,1)上为单调减函数，求实数a的取值范围；

(3)若函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求实数a的值；

(4)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调，求实数a的取值范围．

解：(1)因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，

即a≤3x2对x∈R恒成立．

因为3x2≥0，

所以只需a≤0.

又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，

f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即实数a的取值范围为(－∞，0]．

(2)由题意知f′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立，

所以a≥3x2在(－1,1)上恒成立．

因为当－1＜x＜1时，3x2＜3，所以a≥3，所以a的取值范围为[3，＋∞)．

(3)由题意知f′(x)＝3x2－a，则f(x)的单调递减区间为.

又f(x)的单调递减区间为(－1,1)，

所以＝1，解得a＝3.

(4)由题意知：f′(x)＝3x2－a，当a≤0时，f′(x)≥0，此时f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，不合题意，故a＞0.

令f′(x)＝0，解得x＝±.

因为f(x)在区间(－1,1)上不单调，所以f′(x)＝0在(－1,1)上有解，需0＜＜1，得0＜a＜3，

所以实数a的取值范围为(0,3)．