黑龙江省实验中学2021届高三下学期第三次模拟考试（三模）数学（文）（含答案）

黑龙江省实验中学2020-2021学年度下学期高三学年

第三次模拟考试数学试题（文科）

考试时间：120分钟            满分：150分 

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）

1.已知集合，则（   ）

A．            B．            C．            D．

2.已知,,, 则的大小关系为（   ）

A.         B.        C.         D.   

3.2020年11月24日凌晨4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭把嫦娥五号探测器顺利地送入预定轨道，开启我国首次外太空采样返回之旅．这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.若火箭的最大速度为，则燃料质量与火箭质量（除燃料外）的比值约为（参考数据：）（    ）

A．         B．          C．         D．

4.已知复数的共轭复数为，若（i为虚数单位），则复数的虚部为（   ）

A.             B.              C.             D.

5.等差数列的前15项和，则（   ）

A． B．6 C．10 D．14

6.在平面直角坐标系中，已知点和圆，在圆上任取一点，连接，则直线的斜率大于的概率是（   ）

A．            B．             C．            D．

7.已知公比为的等比数列的首项，则“”是“”的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8.斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：，…为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．下图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面则该圆锥的体积为（    ）

    A．     B.     C．    D．

9.已知函数的图像相邻的对称轴之间的距离为，将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，则函数在上的最大值为(   )

A．4              B.             C．            D．2

10.已知正三棱柱的六个顶点均在球的球面上，为上底面的外接圆，若的面积为，且侧面矩形的面积为，则球的体积为（   ）

A． B． C． D．

11.已知抛物线C: ()的焦点为，经过点的直线与抛物线C交于A、B两点，若AB的中点为M, 则线段AB的长为（   ）

A．             B．4              C． 5             D．4或5

12.已知，若函数有4个零点，则实数的取值范围是（   ）

A．        B．      C． D．

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知，，则的取值范围是_____________.

14. 已知向量，若), 则实数___________.

15. 已知分别为双曲线：(，)的左、右焦点，p是其右支上一点，若成等差数列，且是直角三角形，则双曲线的离心率是__________．

16．在数列中，，记是数列的前项和，则__________．

三、解答题（共70分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题都必须作答，第22，23题为选考题，根据要求作答）

（一）必考题：每题12分，共60分

17.在中，内角，，的对边依次为，，，．

（1）求角；

（2）若，，求的面积．

18．如图，在正四棱柱中，点是侧棱上一点且．

（1）求证：平面平面；

（2）若是棱的中点，且，求四棱锥的体积．

19. 制成奶嘴的主要材质是橡胶，在加工过程中，可能会残留一些未挥发完全的溶剂，以及橡胶本身含有的化合物等. 因为奶嘴直接接触食物和婴儿口腔，使用过程中，挥发性物质的溶出会污染奶质，甚至通过消化道被宝宝身体吸收，长期潜伏积累，对免疫力尚未健全的婴幼儿会危害甚大，因此我国对奶嘴和安抚奶嘴的挥发性物质做了规定, 要求其含量不得超过0.5%. 某婴儿用品的生产商为了测量某新产品的挥发性物质含量，从试生产的产品中随机抽取100个，得到如下频率分布直方图：

注：以频率作为概率，该婴儿用品的生产商规定挥发性物质含量<18‰为合格产品．

（1）根据频率分布直方图，求这100个奶嘴的挥发性物质含量的中位数；

（2）为了解产品不合格的原因，用分层抽样的方法从[18,20)与[20,22)中抽取6个进行分析，然后从这6个中抽取2个进一步实验，求在[18,20)与[20,22)中各有一个的概率；

（3）若这100个奶嘴的挥发性物质含量的平均值大于16，则需进行技术改进，试问该新产品是否需要技术改进？

20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，左焦点为，左顶点为A，椭圆过点，且.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过左焦点且斜率为的动直线与椭圆交于、两点，试问在轴上是否存在一个定点，使得轴为的平分线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

21. 已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，若的极大值点为,求证：．

（二）选考题：共10分.请在22，23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.

22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系内，曲线C1的参数方程为，以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，点A和点B的极坐标分别是，且A,B关于直线l对称，

（1）求直线l的极坐标方程并把曲线C1化为极坐标方程；

（2）若直线l与曲线C1和C2在第一象限分别交于M,N两点，求的值．

23.【选修4-5：不等式选讲】

已知函数

（1）求不等式的解集；

（2）若的最小值为，且正数满足，求的最小值．

三模答案

一、选择题

二、填空题

13.

14. 0或

15. 2

16．1720

三、解答题

17. 解：（1）由，得，

化简得，

即，即，

即，

解得或．

即或．

又，所以或．

（2）由（1）得或，

当时，

由正弦定理得，，

，

故；

当时，由，，得，，

因此．

综上，的面积是或1．

18．证明：（1）在正四棱柱中，知侧面，

因为平面，可得，

又，且，平面，所以平面，又因为平面，故平面平面．

（2）如图，在正四棱柱中，由于，，两两互相垂直，

因为是棱的中点，且，从而知正四棱柱的底面是边长为的正方形，

设；

由（1）知平面，可得，且，而，

由勾股定理得，可得，

解得，即，则侧棱长，，

过作于，则平面，且；

所以，

即四棱锥的体积为．

19. 解：（1）挥发性物质含量位于[10,16)的频率为2(0.005+0.07+0.14)=0.43,

挥发性物质含量位于[10,18)的频率为2(0.005+0.07+0.14+0.16)=0.75,

所以这100个奶嘴的挥发性物质含量的中位数位于区间[16,18),

设中位数为x，则0.43+0.16(x-16)=0.5, 解得x=16.4375.

（2）[18,20)组的奶嘴的个数为 [20,22)组的奶嘴的个数为

所以从[18,20)组中抽取（个），从[20,22)组中抽取（个）.

记[18,20)组中抽取的5个分别为a, b, c, d, e, [20,22)组中抽取的1个为f,

则从6个中抽取2个的所有情况如下：(a,b), (a,c), (a,d), (a,e), (a,f), (b,c), (b,d), (b,e), (b,f), (c,d), (c,e), (c,f), (d,e), (d,f), (e,f)共15种情况，

其中在[18,20)与[20,22)中各有1个的有(a,f), (b,f), (c,f), (d,f), (e,f)共5种，

所以所求的概率为

（3）因为

故该产品需要进行技术改进.

20.解：（1）由题意知A(-a,0), B1(0,-b), B2(0,b), F(-c,0), 则

因为所以即①

又因为椭圆过点所以②

由①②解得所以椭圆C的标准方程为

（2）由题意设直线l的方程为

联立

得

则

若|x轴为的平分线，得

即

所以

所以

所以

所以

化简得因为直线为动直线，

所以即

故存在满足条件的定点M,其坐标为(-4,0).

21. (1)当时，,

因此，当时， 单调递增；当时，,单调递减，故的增区间为，单调减区间为

（2）证明：

故

令, .

①当,即时，，故,所以在上单调递增，此时无极大值.

②当,即时，的对称轴为直线,

因为,所以函数在区间上有两个零点,

不妨设，其中，

所以，当时，，，所以在上单调递增；

当时，，，所以在上单调递减；

当时，，，所以在上单调递增；

此时函数有唯一的极大值点，且，

又因为，所以,

因此,

令,,

,

则在上单调递增，故

22. 解：（1）因为点A和点B的极坐标分别为所以点A和点B的直角坐标分别为又点A和点B关于直线l对称，故直线l的普通方程为y=x,化为极坐标方程为曲线C1的参数方程为为参数化为普通方程为化为极坐标方程即

（2）若直线l与曲线C1和C2在第一象限分别交于M, N点，

则故

23. 解：（1）当x>6时，f(x)=2x-10<4,解得x<7,故6<x<7；

当时，f(x)=2<4恒成立；

当x<4时，f(x)=10-2x<4, 解得x>3, 故3<x<4.

综上可得不等式f(x)<4的解集为(3,7).

（2）当且仅当时等号成立，故m=2,

因此有

即

当且仅当时等号成立，

故的最小值为