浙江省杭州市2020年中考数学试卷

这是一份浙江省杭州市2020年中考数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


浙江省杭州市2020年中考数学试卷
一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分。（共10题；共30分）
1.× =(   )
A.                                      B.                                      C. 2                                      D. 3
2.(1+y)(1-y)=(    )
A. 1+y²                                    B. -1-y²                                    C. 1-y²                                    D. -1+y
3.已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克收2元。圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费(    )。
A. 17元                                    B. 19元                                    C. 21元                                    D. 23元
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则(    )。

A. c=bsinB                           B. b=csinB                           C. a=btanB                           D. b=ctanB
5.若a>b，则(    )
A. a-1≥b                             B. b+1≥a                             C. a+1>b-1                             D. a-1>b+1
6.在平面直角坐标系中，已知函数y=ax+a(a≠0)的图像经过点p(1，2)，则该函数的图像可能是(    )
A.             B.             C.             D. 
7.在某次演讲比赛中，五位评委要给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数。若去掉一个最高分，平均分为x；去掉一个最低分，平均分为y；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z，则(    )。
A. y>z>x                                B. x>z>y                                C. y>x>z                                D. z>y>x
8.设函数y=a(x-h)2+k(a，h，k是实数，a≠0)，当x=1时，y=1，当x=8时，y=8，(    )
A. 若h=4，则a<0              B. 若h=5，则a>0              C. 若h=6，则a<0              D. 若h=7，则a>0
9.如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上(不与点A，点C重合)，BD与OA交于点E，设∠AED=α，∠AOD=β，则(    )

A. 3α+β=180°                       B. 2α+β=180°                       C. 3α-β=90°                       D. 2α-β=90°
10.在平面直角坐标系中，已知函数y1=x2+ax+1，y2=x2+bx+2，y3=x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2=ac。设函数y1 ， y2 ， y3的图象与x轴的交点个数分别为M1 ， M2 ， M3 ， (    )
A. 若M1=2，M2=2，则M3=0                               B. 若M1=1，M2=0，则M3=0
C. 若M1=0，M2=2，则M3=0                               D. 若M1=0，M2=0，则M3=0
二、填空题：本题有6个小题，每题4分，共24分.（共6题；共24分）
11.若分式 的值等于1，则x=________。
12.如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F，若∠E=30°，∠EFC=130°，则∠A=________。

13.设M=x+y，N=x-y，P=xy。若M=1，N=2，则P=________。
14.如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC，若sin∠BAC= ，则tan∠BOC=________。

15.一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球(只有编号不同)，编号分别为1，2，3，5。从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是________。
16.如图是一张矩形纸片，点E在AB边上， 把△BCE沿直线CE对折， 使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF。若点E，F，D在同一条直线上，AE=2，则DF=________，BE=________。

三、解答题：本大题有7个小题，共66分。（共7题；共66分）
17.以下是圆圆解方程 的解答过程。
解：去分母，得3(x+1)-2(x-3)=1。
去括号，得3x+1-2x+3=1。
移项，合并同类项，得x=-3。
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程。
18.某工厂生产某种产品，3月份的产量为5000件，4月份的产量为10000件。用简单随机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若千件进行检测，并将检测结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和频数直方图(每组不含前一个边界值，含后一个边界值).已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品。

（1）求4月份生产的该产品抽样检测的合格率。
（2）在3月份和4月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数多？为什么？
19.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB。

（1）求证△BDE~△EFC。
（2）设
①若BC=12，求线段BE的长。
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积。
20.设函数y1= ，y2=- (k>0)。
（1）当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a-4，求a和k的值。
（2）设m≠0，且m≠-1，当x=m时，y1=p；当x=m+1时，y1=q。圆圆说：“p一定大于q”。你认为圆圆的说法正确吗？为什么？
21.如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上， 连接AE、∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F，设 =λ(λ>0)。

（1）若AB=2，λ=1，求线段CF的长。
（2）连接EG，若EG⊥AF，
①求证：点G为CD的中点。
②求λ的值。
22.在平面直角坐标系中，设二次函数y1=x2+bx+a，y2=ax2+bx+1(a，b是实数，a≠0)。
（1）若函数y1的对称轴为直线x=3，且函数y1的图象经过点(a，b)，求函数y1的表达式。
（2）若函数y1的图象经过点(r，0)，其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点( ，0)。
（3）若函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n=0，求m，n的值。
23.如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF.

（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC=30°，求线段EF的长。
（2）连接BF，DF
①求证：PE=PF
②若DF=EF，求∠BAC的度数。

答案解析部分
一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分。
1.【解析】【解答】解： × = = .
故答案为：B
【分析】利用两个二次根式相乘，把把被开方数相乘，结果化成最简二次根式。
2.【解析】【解答】解：由平方差公式可得：(1+y)(1-y)=1-y².
故答案为：C
【分析】利用平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2 ， 再进行计算可得答案。
3.【解析】【解答】解：8千克超过了5千克，且超过8-5=3(千克)
13+2(8-5)=19(元).
故答案为：B
【分析】抓住关键的已知条件：超过5千克的部分每千克收2元，根据题意可知8＞5，然后进行计算可得答案。
4.【解析】【解答】解：∵∠C=90°
∵sinB= ，tanB=
∵b=csinB，b=atanB
故答案为：B
【分析】利用锐角三角函数的定义，分别对各选项进行计算，可得结果。
5.【解析】【解答】解：A. ∵a>b，∴a-1>b-1，所以a-1≥b不一定成立，此选项错误；
B. ∵a>b，∴b+1 C. ∵a>b，∴a-1>b-1，那么a+1>b-1-定成立，此选项正确；
D. ∵a>b，∴a-1>b-1，但是a-1>b+1不·定成立，此选项错误.
故答案为：C.
【分析】利用不等式的性质，可知A，B，D不一定成立，即可得正确的选项。
 
6.【解析】【解答】解：∵函数y=ax+a(a0)的图像经过点p(1，2)
∴a+a=2
解之：a=1
∴函数解析式为y=x+1
∵k=1＞0，b=1＞0
所以函数图像经过第一，二，三象限，故B，D不符合题意；
当x=1时y=2，故C不符合题意，A符合题意；
故答案为：A.
【分析】将点P的坐标代入函数解析式可得到a的值，即可得到函数解析式，再利用一次函数图像与系数的关系可知此函数图像过第一，二，三象限，排除B，D，再由点P的坐标可排除C。
7.【解析】【解答】解：五位评委打的五个分数的总分是固定的，当去掉一个最低分之后剩下的四个分数和最大，故y是最大的；比较x和Z的大小时，由于一个去掉了最高分，一个去掉了最高和最低分，可知3z+最低分=4x，因此z>x。
故答案为：A
【分析】抓住已知条件：若去掉一个最高分平均分为x；去掉一个最低分，平均分为y，即可得到x，y，z的大小关系。
8.【解析】【解答】解：函数y=a(x-h)2+k(a，h，k是实数，a*0)，对称轴是直线x=h，当1≤x≤8，且对称轴在取值范围中间时：
若a<0，
若a>0， >h时，满足x=8取到最大值y=8，即h<
故答案为：C
【分析】由函数解析式可得到抛物线的对称轴，当1≤x≤8，且对称轴在取值范围中间时，分情况讨论：a＞0和a＜0，即可求出符合题意的h的值。
9.【解析】【解答】解：如图，连接AB

则∠DBA= ∠DOA= ∠β    
且∠DEA=∠DBA+∠OAB=α
∵OA=OB，∠BOA=90°，即∠OAB=45°
∴α= β+45°
化简后得2α-β=90°
即D选项为正确选项
故答案为：D
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得到∠DBA= ∠β，利用三角形的外角的性质，可证得∠DBA+∠OAB=α，再证明∠OAB=45°，继而可得到α和β之间的关系式。
10.【解析】【解答】解：由题意，令y1=0，y2=0，y3=0
则△1=a2-4，△2=b2-8，△3=c2-16            
∵b²=ac
∴△2=ac-8
A：∵M1=2，M2=2
∴△1=a2-4>0，△2=ac-8>0
∴a>2或a<-2
∴c>4或c<-4
∴c2>16
∴c²-16≥0
∴△3>0
∴M3=2，故A错误；
B：∵M1=1，M2=0
∴△1=a2-4=0，△2=ac-8<0
∴a=±2
∴-4 ∴c2<16
∴c2-16<0
∴△3<0
∴M3=0，故B正确；
C：∵M1=0，M2=2
∴v1=a2-4=0，△2=ac-8>0
∴a=±2
∴c>4或c<-4
..c>16
∴c²-16≥0
∴△3>0
∴M3=2，故C错误；
D：∵M1=0，M2=0
∴△1=a2-4=0，△2=ac-8=0
∴a=±2
∴c=±4
∴c²=16
∴c²-16=0
∴△3=0
∴M3=1，故D错误。
∴综上，故答案为：B
【分析】分别求出y1=0，y2=0，y3=0时的判别式即△1=a2-4，△2=ac-8，△3=c2-16，由M1=2，M2=2，可得到△3的取值范围，可对A做出判断；由M1=1，M2=0，可得到△3的取值范围，可对B做出判断；由M1=0，M2=2，可得到△3的取值范围，可对C做出判断；由M1=0，M2=0，可得到△3的取值范围，可对D做出判断。
二、填空题：本题有6个小题，每题4分，共24分.
11.【解析】【解答】解：∵ =1，
去分母得：x+1=1
∴x=0
故答案为：0.
【分析】根据分式的值为1，建立关于x的方程，解方程即可求出x的值。
12.【解析】【解答】解：∵AB∥CD
∴∠ABE=∠EFC=130°
∵∠E=30°
∴∠A=180°-130°-30°=20°
故答案为：20°.
【分析】利用平行线的性质可求出∠ABE的度数，再利用三角形内角和定理求出∠A的度数。
13.【解析】【解答】解：M=x+y，N=x-y，
p=xy- (x+y)2-(x-y)2]= (MP-N)= (12-22)=
故答案为： .
【分析】将P转化为p= (MP-N)，然后代入求值。
14.【解析】【解答】解：∵BC与⊙O相切于点B
∴∠CBA=90°
∵sin∠BAC=
设BC=X，AC=3x
∴AB=
∴AO=OB= AB= x
∴tan∠BOC=
故答案为：
【分析】利用切线的性质，可知∠CBA=90°，再利用锐角三角函数的定义设BC=X，AC=3x，利用勾股定理用含x的代数式表示出AB，OB的长，然后就可求出tan∠BOC的值。
15.【解析】【解答】解：列表格为，
 
1
2
3
5
1
1+1=2
2+1=3
3+1=4
5+1=6
2
1+2=3
2+2=4
3=2=5
5+2=7
3
1+3=4
2+3=5
3=3=6
5+3=8
5
1+5=6
2+5=7
3+5=8
5=5=10
编号之和为偶数的情况有10个，总数有16个。
∴两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是 。
故答案为： .
【分析】由题意可知此事件是抽取放回，列出树状图，再根据树状图求出所有的可能的结果数及两次摸出的球的编号之和为偶数的情况数，然后利用概率公式可求解。
16.【解析】【解答】解：∵点E，F，D在一条直线上
∴∠DFC=∠CFE=∠EBC=90°
∴∠CDF+∠DCF=90°
又∵∠ADF+∠CDF=90°
∴∠ADF=∠DCF                                        
∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处
∴BC=CF=AD
在△ADE和△FCD中，
AD=CF
∠ADF=∠DCF
∠DFC=∠DAE
∴△ADE≌△FCD
∴DF=AE=2
设BE=X
则EF=X
∵∠AEF=∠AED
∠AFE=∠DAE=90°
∴△AFE∽△DAE
∴AE2=EF·DE
∴X(X+2)=4
X²+2X-4=0
解得：x= -1或x=- -1(舍去)
故答案为：2； -1.
【分析】利用余角的性质可证得∠ADF=∠DCF ，再利用折叠的性质，可得到BC=CF=AD，由此可证得△ADE≌△FCD，利用全等三角形的对应边相等，可得到AE的长，然后证明△AFE∽△DAE，利用相似三角形的对应边成比例，就可求出x的值，即可得到DF，BE的长。
三、解答题：本大题有7个小题，共66分。
17.【解析】【分析】利用等式的性质和去括号法则可知第一步和第二步错误，再解方程求出x的值。
18.【解析】【分析】（1）根据条形统计图可得到检测综合得分大于70分的产品的数量及4月份生产的该产品抽样检测的数量，然后就可求出4月份生产的该产品抽样检测的合格率。
（2）利用扇形统计图求出3月份不合格的件数，再求出4月份不合格的件数，然后比较大小可作出判断。
19.【解析】【分析】（1）利用平行线的性质，可知∠BED=∠C，∠B=∠FEC，利用相似三角形的判定定理，可证得结论。
（2）①利用平行线分线段成比例定理可求出BE的长;②利用EF∥AB，可证得△EFC~△BAC，利用相似三角形的性质，可求出EC与BC的比值，利用相似三角形的面积等于相似比的平方，就可求出△ABC的面积。
 
20.【解析】【分析】（1）利用k>0，且2≤x≤3，可得 y1随x的增大而减小 ，由此可得到k=2a；-k<0，x>0，利用反比例函数的性质，可得到y2随x的增大而增大，即可推出-k=2a-8，由此建立关于k，a的方程组，解方程组求出k，a的值。
（2） 设m=m0满足-10， 分别求出当x=m0时和当x=m0+1时p和q的大小，由此可作出判断。
21.【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可知AD∥BC，再利用平行线的性质和角平分线的性质，可证得∠EAF=∠F，利用等角对等边可证得EA=EF，结合已知，利用勾股定理求出EA，EC的长，即可求出CF的长。
（2）①利用等腰三角形的性质，可得到AG=GF，再证明△DAG≌△CFG，利用全等三角形的对应边相等，可证得DG=CG，即可证得结论；②利用已知条件易证△EGC∽△GFC，利用相似三角形的性质，求出EC，BE的长，然后求出CE与BE的比值。
22.【解析】【分析】（1）利用抛物线的对称轴求出b的值，再由函数y1的图像经过点(a，b)，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，即可得到函数解析式。
（2）函数y1的图像经过点(r，0)， 就可以推出r2+br+a=0，将其转换为1++=0，即可证得结论。
（3）利用求根公式可得到m，n，再由m+n=0，建立关于a，b的方程，由此可以推出4a-b2=0，即可求出m，n的值。
23.【解析】【分析】（1）利用垂径定理及直角三角形的性质，就看求出AE的长，即可求出AB的长，利用圆周角定理可证得∠ABC=90°，利用直角三角形的性质及等边三角形的判定，可证得△OBC为等边三角形，利用等边三角形的性质，然后求出EF的长。
（2）①易证MF是△OBC的中位线，利用已知易证MF和BC的数量关系和位置关系，再证明OE和BC的数量关系和位置关系，由此可证得MF平行且等于OE，由此可以推出OEMF是平行四边形，利用平行四边形的性质，可证得结论；②延长FM交AB于点N，利用已知易证OE∥FN∥BC，利用平行线分线段成比例定理可证得EN=NB，利用线段垂直平分线的判定和性质，可证得BF=EF，然后证明△AOB是等腰直角三角形，由此可求出∠BAC的度数。