2021年四川省泸州市泸县中考数学一诊试卷

这是一份2021年四川省泸州市泸县中考数学一诊试卷，共23页。试卷主要包含了填空题，解答题.，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）方程x2﹣2x＝0的根是（ ）
A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝2C．x1＝0，x2＝2D．x1＝0，x2＝﹣2
2．（3分）已知关于x的方程x2+x+2a﹣4＝0的一个根是﹣1，则a的值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
3．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．将油滴入水中，油会浮在水面上
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C．如果a2＝b2，那么a＝b
D．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上
4．（3分）下面4个图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）将一元二次方程x2﹣2x＝1配方，其正确的结果是（ ）
A．（x+1）2＝2B．（x﹣2）2＝5C．（x﹣1）2＝1D．（x﹣1）2＝2
6．（3分）抛物线y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（ 1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）
7．（3分）从，0，π，3.14，这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠BOC＝130°，则∠A的度数是（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
9．（3分）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，OP＝4，∠APO＝30°，则⊙O的半径长为（ ）
A．1B．C．2D．3
10．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将△ABC绕顶点C顺时针旋转至△A'B'C的位置，且A、C、B'三点在同一条直线上，则点A经过的路线的长度是（ ）
A．8B．4C．πD．π
11．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则代数式x12+x22﹣x1x2+1的最小值是（ ）
A．﹣8B．﹣5C．1D．2
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：
①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）⊙O的半径为2cm，则⊙O的内接正方形的面积是 cm2．
14．（3分）抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是 ．
15．（3分）如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是 ．
16．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，方程ax2+bx+c＝0的解是 ．
三、解答题（每小题6分，共18分）.
17．（6分）解方程：x（x﹣1）＝4x﹣4．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+7x+11﹣m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为负整数时，求方程的两个根．
19．（6分）如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，弦AD交BC于点E，连接DC．
（1）求∠D的度数；
（2）若AE＝8cm，DE＝2cm，求AB的长．
四、解答题（每小题7分，共14分）
20．（7分）如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1．
（1）在正方形网格中，作出△AB1C1；（不要求写作法）
（2）设网格小正方形的边长为1cm，求线段AB所扫过的图形的面积．（结果保留π）
21．（7分）某服装经营户以20元/件的价格购进一批衣服，以30元/件的价格出售，每天可售出20件．为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种衣服每件降价1元，每天可多售出5件．另外，每天的房租等固定成本共25元，该经营户要想每天盈利200元，应将每件衣服的售价降低多少元？
五、解答题（每小题8分，共16分）
22．（8分）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y＝﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
23．（8分）为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法．学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人，在扇形统计图中，m的值是 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
六、解答题（每小题12分，共24分）
24．（12分）如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF，DC．已知OA＝OB，CA＝CB，DE＝10，DF＝6．
（1）求证：①直线AB是⊙O的切线；
②∠EDC＝∠FDC；
（2）求CD的长．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P，与直线BC相交于点M，连接AC，PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年四川省泸州市泸县中考数学一诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上
1．（3分）方程x2﹣2x＝0的根是（ ）
A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝2C．x1＝0，x2＝2D．x1＝0，x2＝﹣2
【分析】直接利用因式分解法将方程变形进而求出答案．
【解答】解：x2﹣2x＝0
x（x﹣2）＝0，
解得：x1＝0，x2＝2．
故选：C．
2．（3分）已知关于x的方程x2+x+2a﹣4＝0的一个根是﹣1，则a的值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】把x＝﹣1代入方程x2+x+2a﹣4＝0得1﹣1+2a﹣4＝0，然后解关于a的方程．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+x+2a﹣4＝0得1﹣1+2a﹣4＝0，
解得a＝2．
故选：D．
3．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．将油滴入水中，油会浮在水面上
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C．如果a2＝b2，那么a＝b
D．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故A符合题意；
B、车辆随机到达一个路口，遇到红灯是随机事件，故B不符合题意；
C、如果a2＝b2，那么a＝b是随机事件，
D、掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上是随机事件，
故选：A．
4．（3分）下面4个图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形．故此选项错误．
故选：A．
5．（3分）将一元二次方程x2﹣2x＝1配方，其正确的结果是（ ）
A．（x+1）2＝2B．（x﹣2）2＝5C．（x﹣1）2＝1D．（x﹣1）2＝2
【分析】两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【解答】解：x2﹣2x＝1，
配方得：x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2．
故选：D．
6．（3分）抛物线y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（ 1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）
【分析】根据抛物线的顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），可直接写出顶点坐标．
【解答】解：由y＝2（x﹣1）2+3，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，3）．
故选：A．
7．（3分）从，0，π，3.14，这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】从所列五个实数中找到有理数的个数，利用概率公式求解即可．
【解答】解：在所列的5个实数中，有理数的有0，3.14，这3个数，
所以随机抽取一个数，抽到有理数的概率是，
故选：C．
8．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠BOC＝130°，则∠A的度数是（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
【分析】利用圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵∠A＝∠BOC，∠BOC＝130°，
∴∠A＝65°．
故选：A．
9．（3分）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，OP＝4，∠APO＝30°，则⊙O的半径长为（ ）
A．1B．C．2D．3
【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得∠OAP＝90°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出OA即可．
【解答】解：连接OA，如图，
∵PA是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
∵∠APO＝30°，
∴OA＝OP＝×4＝2，
即⊙O的半径长为2．
故选：C．
10．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将△ABC绕顶点C顺时针旋转至△A'B'C的位置，且A、C、B'三点在同一条直线上，则点A经过的路线的长度是（ ）
A．8B．4C．πD．π
【分析】由旋转可知，点A经过的路线是弧长，计算出半径和圆心角即可．
【解答】解：Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝30°，BC＝2，
∴∠ACB＝60°，
AC＝2BC＝4，
∵A、C、B'三点在同一条直线上，
∴∠ACA′＝120°，
由弧长公式可知：
点A经过的路线长度为：．
故选：D．
11．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则代数式x12+x22﹣x1x2+1的最小值是（ ）
A．﹣8B．﹣5C．1D．2
【分析】先根据△≥0得到k的范围；再将所求式子变形，用韦达定理把它表示成k的代数式；最后根据k的范围得到所求代数式的最小值．
【解答】解：∵x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0有两个实数根，
∴△≥0即4（k+2）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≥﹣2；
∵x1、x2是x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2k+4，x1•x2＝k2+2k，
x12+x22﹣x1•x2+1＝（x1+x2）2﹣3x1•x2+1＝（2k+4）2﹣3（k2+2k）+1＝k2+10k+17＝（k+5）2﹣8，
当k≥﹣2时，（k+5）2﹣8的值随k的增大而增大，
∴k＝﹣2时，x12+x22﹣x1•x2+1的值最小为（﹣2+5）2﹣8＝1．
故选：C．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：
①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，则有4a+b＝0；观察函数图象得到当x＝﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x＝﹣1时，y＝0，则a﹣b+c＝0，易得c＝﹣5a，所以8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x＝2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，（故①正确）；
∵当x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
即9a+c＜3b，（故②错误）；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣4a，
∴a+4a+c＝0，即c＝﹣5a，
∴8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，（故③正确）；
∵对称轴为直线x＝2，
∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，
当x＞2时，y随x的增大而减小，（故④错误）．
故选：B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）⊙O的半径为2cm，则⊙O的内接正方形的面积是 8 cm2．
【分析】由正方形的性质得出BD、AC是直径，求出对角线的长，即可得出正方形的面积．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，BD＝AC，
∴BD、AC是直径，
∵⊙O的半径为2cm，
∴BD＝AC＝2×2＝4（cm），
∴正方形ABCD的面积＝AC•BD＝×4×4＝8（cm2），
故答案为：8．
14．（3分）抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是 y＝（x﹣2）2+3 ．
【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
∴平移后的抛物线顶点坐标为（2，3），
∴得到的抛物线解析式是y＝（x﹣2）2+3．
故答案是：y＝（x﹣2）2+3．
15．（3分）如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是 3≤OP≤5 ．
【分析】因为⊙O的直径为10，所以半径为5，则OP的最大值为5，OP的最小值就是弦AB的弦心距的长，所以，过点O作弦AB的弦心距OM，利用勾股定理，求出OM＝3，即OP的最小值为3，所以3≤OP≤5．
【解答】解：如图：连接OA，作OM⊥AB与M，
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，
∴OP的最大值为5，
∵OM⊥AB与M，
∴AM＝BM，
∵AB＝8，
∴AM＝4，
在Rt△AOM中，OM＝，
OM的长即为OP的最小值，
∴3≤OP≤5．
16．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，方程ax2+bx+c＝0的解是 x＝﹣1或x＝3 ．
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分可知该抛物线的对称轴是x＝1，然后由抛物线的对称性求得该图象与x轴的另一个交点，即方程ax2+bx+c＝0的另一个解．
【解答】解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝1，与x轴的一个交点坐标为A（3，0），
根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝1对称，即
抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与A（3，0）关于直线x＝1对称，
∴另一个交点的坐标为（﹣1，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的另一个解是x＝﹣1．
故答案为x＝﹣1或x＝3．
三、解答题（每小题6分，共18分）.
17．（6分）解方程：x（x﹣1）＝4x﹣4．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：移项得：x（x﹣1）﹣4（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x﹣4）＝0，
x﹣1＝0，x﹣4＝0，
x1＝1，x2＝4．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+7x+11﹣m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为负整数时，求方程的两个根．
【分析】（1）根据根的判别式的意义得到△＝72﹣4（11﹣m）≥0，然后解不等式即可得到m的取值范围；
（2）在（1）的范围内确定m的负整数值为﹣1，则原方程变形为x2+7x+12＝0，然后利用因式分解法解此方程．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+7x+11﹣m＝0有实数根，
∴△＝72﹣4（11﹣m）≥0，
∴m≥﹣；
（2）∵m为负整数，
∴m＝﹣1，
此时方程为x2+7x+12＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝﹣4．
19．（6分）如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，弦AD交BC于点E，连接DC．
（1）求∠D的度数；
（2）若AE＝8cm，DE＝2cm，求AB的长．
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等即可求解．
（2）证明△ACE∽△ADC，利用对应边成比例，求出AC，即可求出AB．
【解答】解：（1）∵△ABC是⊙O的内接等边三角形．
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∵．
∴∠D＝∠ABC＝60°．
（2）由（1）可知：∠D＝∠ACB．
∵∠EAC＝∠CAD．
∴△ACE∽△ADC，
∴．
∴AC2＝AD•AE＝（8+2）×8＝80．
∴．
∵△ABC是等边三角形．
∴AB＝AC＝4．
四、解答题（每小题7分，共14分）
20．（7分）如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1．
（1）在正方形网格中，作出△AB1C1；（不要求写作法）
（2）设网格小正方形的边长为1cm，求线段AB所扫过的图形的面积．（结果保留π）
【分析】（1）按照将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°的要求，画出图形；
（2）根据旋转的知识可知，线段AB所扫过的图形为圆心角为90°，半径为4的扇形，由扇形面积公式求解．
【解答】（1）作图如下：
（2）根据网格图知：AB＝4，
线段AB所扫过的图形为圆心角为90°，半径为4的扇形，
其面积为S＝π•42＝4π．
21．（7分）某服装经营户以20元/件的价格购进一批衣服，以30元/件的价格出售，每天可售出20件．为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种衣服每件降价1元，每天可多售出5件．另外，每天的房租等固定成本共25元，该经营户要想每天盈利200元，应将每件衣服的售价降低多少元？
【分析】设应将每件衣服的售价降低x元，则每件的利润为（30﹣20﹣x）元，每天可售出（20+5x）件，利用每天获得的利润＝每件的利润×每天的销售量﹣固定成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设应将每件衣服的售价降低x元，则每件的利润为（30﹣20﹣x）元，每天可售出（20+5x）件，
依题意得：（30﹣20﹣x）（20+5x）﹣25＝200，
整理得：x²﹣6x+5＝0，
解得：x1＝1，x2＝5．
答：应将每件衣服的售价降低1元或5元．
五、解答题（每小题8分，共16分）
22．（8分）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y＝﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
【分析】（1）在y＝﹣5x2+20x中，令y＝0，得关于x的一元二次方程，求得方程的解，再用较大的x值减去较小的x值即可得出答案．
（2）将y＝﹣5x2+20x写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）∵y＝﹣5x2+20x，
∴令y＝0，得0＝﹣5x2+20x，
解得x1＝0，x2＝4，
∵4﹣0＝4（s），
∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s．
（2）y＝﹣5x2+20x
＝﹣5（x﹣2）2+20，
∴当x＝2时，y取得最大值，最大值为20．
∴在飞行过程中，在2s时小球飞行高度最大，最大高度是20m．
23．（8分）为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法．学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 50 人，在扇形统计图中，m的值是 30% ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
【分析】（1）由舞蹈的人数除以占的百分比求出调查学生总数，确定出扇形统计图中m的值；
（2）求出绘画与书法的学生数，补全条形统计图即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好为一男一女的情况数，即可求出所求概率．
【解答】解：（1）20÷40%＝50（人），15÷50＝30%；
故答案为：50；30%；
（2）50×20%＝10（人），50×10%＝5（人），如图所示：
（3）∵5﹣2＝3（名），
∴选修书法的5名同学中，有3名男同学，2名女同学，
所有等可能的情况有20种，其中抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的情况有12种，
则P（一男一女）＝＝．
六、解答题（每小题12分，共24分）
24．（12分）如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF，DC．已知OA＝OB，CA＝CB，DE＝10，DF＝6．
（1）求证：①直线AB是⊙O的切线；
②∠EDC＝∠FDC；
（2）求CD的长．
【分析】（1）①欲证明直线AB是⊙O的切线，只要证明OC⊥AB即可．
②首先证明OC∥DF，再证明∠FDC＝∠OCD，∠EDC＝∠OCD即可．
（2）作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M，在Rt△CDM中，求出DM、CM即可解决问题．
【解答】（1）①证明：连接OC．
∵OA＝OB，AC＝CB，
∴OC⊥AB，
∵点C在⊙O上，
∴AB是⊙O切线．
②证明：∵OA＝OB，AC＝CB，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OD＝OF，
∴∠ODF＝∠OFD，
∵∠AOB＝∠ODF+∠OFD＝∠AOC+∠BOC，
∴∠BOC＝∠OFD，
∴OC∥DF，
∴∠CDF＝∠OCD，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠ADC＝∠CDF．
（2）解：作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M．
∵ON⊥DF，
∴DN＝NF＝3，
在Rt△ODN中，∠OND＝90°，OD＝5，DN＝3，
∴ON＝＝4，
∵∠OCM+∠CMN＝180°，∠OCM＝90°，
∴∠OCM＝∠CMN＝∠MNO＝90°，
∴四边形OCMN是矩形，
∴ON＝CM＝4，MN＝OC＝5，
在Rt△CDM中，∠DMC＝90°，CM＝4，DM＝DN+MN＝8，
∴CD＝＝＝4．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P，与直线BC相交于点M，连接AC，PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把三点坐标代入函数式，列式求得a，b，c的值，即求出解析式；
（2）求得抛物线顶点P和N点的坐标，分两种情况根据三角形相似列比例式可得点G的坐标；
（3）根据平行求得的两条直线的解析式，分别于抛物线的解析式联立方程，解方程组即可求得点Q．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点代入抛物线解析式得：
，
解得：，
所以抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）存在，
由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
则顶点P（1，4），对称轴为直线x＝1，
∴N（1，0），
∵A（﹣1，0）、C（0，3），
∴OA＝1，OC＝3，
分两种情况：
①当△AOC∽△ONG时，，
即，
∴NG＝3，
∴G（1，3）或（1，﹣3），
②当△AOC∽△GNO时，，
即，
∴GN＝，
∴G（1，）或（1，﹣），
综上，点G的坐标为G（1，3）或（1，﹣3）或（1，）或（1，﹣）；
（3）存在，
设直线BC的解析式为：y＝mx+n，
∴，解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝2，
∴M（1，2），
∴设过点P与直线BC平行的直线为：y＝﹣x+b1，
将点P（1，4）代入，得y＝﹣x+5，
，解得：，，
∵P（1，4），
∴Q（2，3），
设过点N（1，0）与直线BC平行的直线为：y＝﹣x+b2，
将点N（1，0）代入，得y＝﹣x+1，
，解得：，，
∴Q的坐标为（，）或（，），
综上，点Q的坐标为（2，3）或（，）或（，）．

男1
男2
男3
女1
女2
男1
﹣﹣﹣
男2男1
男3男1
女1男1
女2男1
男2
（男1男2）
﹣﹣﹣
男3男2
女1男2
女2男2
男3
（男1男3）
男2男3
﹣﹣﹣
女1男3
女2男3
女1
（男1，女1）
男2女1
男3女1
﹣﹣﹣
女2女1
女2
（男1女2）
男2女2
男3女2
女1女2
﹣﹣﹣