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2021年辽宁省铁岭市中考数学第一次适应性试题（word版 含答案）
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这是一份2021年辽宁省铁岭市中考数学第一次适应性试题（word版 含答案），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年辽宁省铁岭市中考数学第一次适应性试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．桂林是世界著名的风景旅游城市和历史文化名城，地处南岭山系西南部，广西东北部，行政区域总面积27 809平方公里．将27 809用科学记数法表示应为（ ）
A．0.278 09×105 B．27.809×103
C．2.780 9×103 D．2.780 9×104
2．如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知M=，则M的取值范围是（ ）
A．8＜M＜9 B．7＜M＜8 C．6＜M＜7 D．5＜M＜6
4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．某次校运会共有13名同学报名参加百米赛跑，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小勇同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
6．如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC交AC于点E，AE＝AC，若线段BC＝30，那么线段DE的长为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
7．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是
A． B． C． D．不能确定
9．如图，将直角三角板放在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，.将三角板沿轴正方向平移，点的对应点刚好落在反比例函数的图像上，则点平移的距离（ ）
A．3 B．5 C．7 D．10
10．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1与直线y＝m＋2有且只有一个交点；
②若点M（－2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为．
其中正确判断有（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①③
二、填空题
11．有两双完全相同的鞋，从中任取两只，恰好成为一双的概率为_____．
12．已知△ABC的内角满足|tanA﹣1|＋＝0，则∠C＝_____度．
13．若关于的一元二次方程有个根为，则的值为__________．
14．已知二次函数y=x2+（m﹣2）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________．
15．如图，在矩形中，两条对角线相交于点，若，则_________．
16．如图，直线AB交双曲线于A、B两点，交x轴于点C，且B恰为线段AC的中点，连结OA．若，则k的值为___________.
17．如图，PA切⊙O于A，OP交⊙O于B，且PB=1，PA=，则阴影部分的面积：S=_____．
18．如图，点P在等边三角形ABC的内部，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，垂足分别为D、E、F，若，且，则的边长为_____．
三、解答题
19．先化简，再求值：，其中．
20．某学校为了解在校生的体能素质情况，从全校八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格）并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 ；
（2）扇形统计图中∠α的度数是 ，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级有学生1500名，如果全部参加这次体育科目测试，那么估计不及格的人数为 人；
（4）测试老师从被测学生中随机抽取一名，所抽学生为B级的概率是多少？
21．如图，一次函数y＝ax＋b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，若CD＝2，tan∠ACO＝，点A的坐标为（m，3）．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）连接OB，点P在直线AC上，且S△AOP＝2S△BOC，求点P的坐标．
22．如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分∠CBF，过点A作AD⊥BF于点D．
（1）求证：DA为⊙O的切线；
（2）若BD＝1，tan∠ABD＝2，求⊙O的半径．
23．有一种落地晾衣架如图所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度，图是晾衣架的侧面的平面示意图，和分别是两根长度不等的支撑杆，夹角，，，．
（1）若，求点离地面的高度；（参考值：，，，．）
（2）调节的大小，使离地面高度时，求此时点离地面的高度．
24．网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，某市长亲自在某网络平台上进行直播销售板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg．当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元．设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．
（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
25．问题背景
（1）如图（1），，都是等边三角形，可以由通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．
尝试应用
（2）如图（2）．在中，，分别以AC，AB为边，作等边和等边，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若，求的值．
拓展创新
（3）如图（3）．在中，，，将线段AC绕点A顺时针旋转得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．
26．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM＋BM最小时，求点M的坐标．
（3）抛物线上是否存在点P，使△ACP为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1．D
【分析】
科学记数法的表示形式为a×的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】
27 809=2.780 9×，故选D．
【点睛】
本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值
2．D
【分析】
正面看到的平面图形即为主视图．
【详解】
立体图形的主视图为：D；
左视图为：C；
俯视图为：B
故选：D．
【点睛】
本题考查三视图，考查的是空间想象能力，解题关键是在脑海中构建出立体图形．
3．C
【分析】
根据被开方数越大算术平方根越大，即可求解.
【详解】
M=,
∵2<<3,
∴6<4+<7
∴6
本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出2<<3是解题的关键.
4．A
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可；
【详解】
A、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
B、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键；
5．C
【分析】
由于有13名同学参加百米赛跑，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小．
【详解】
解：共有13名学生参加比赛，取前6名，所以小勇需要知道自己的成绩是否进入前六．
我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，
所以小勇知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．
故选：．
【点睛】
本题考查了用中位数的意义解决实际问题，熟悉相关性质是解题的关键．
6．B
【分析】
根据相似三角形的判定和性质，可以求得DE的长，本题得以解决．
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AE＝AC，BC＝30，
∴，
解得，DE＝10，
故选：B．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．D
【分析】
证明BE：EC＝1：3，进而证明BE：BC＝1：4；证明△DOE∽△AOC，得到＝，借助相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】
解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，
∴BE：EC＝1：3；
∴BE：BC＝1：4；
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△AOC，
∴＝，
∴＝，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．
8．A
【分析】
连接BC，过点O作OD⊥AC交半圆O于点D，交AC于点E，由此可得∠AEO=90°，OA=OD，由折叠的性质可得OE=DE=OD=OA，从而可得∠OAC=30°，进而可得∠ABC=60°，由此即可得到.
【详解】
解：连接BC，过点O作OD⊥AC交半圆O于点D，交AC于点E，
∴∠AEO=90°，OA=OD，
又∵由折叠的性质可得OE=DE=OD=OA，
∴∠BAC=30°，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABC=2∠CAB，
∴.
故选A.
【点睛】
熟悉“圆的相关性质和折叠的性质”及“直径三角形中，若一直角边等于斜边的一半，则其所对的锐角为30°”是正确解答本题的关键.
9．A
【分析】
根据平移后的纵坐标为1求出的坐标即可求出平移距离
【详解】
由平移可知的纵坐标为1，
代入，得，
平移的距离为.
故选A.
【点睛】
本题考查平移与反比例函数的简单综合，左右平移纵坐标不变是解题的关键.
10．C
【分析】
将二次函数配方成即可判断①③；将P根据对称性转化到对称轴左边即可判断②；将m＝1代入函数解析式即可求算A，C坐标，作对称根据两点之间线段最短即可求算四边形BCDE周长的最小值．
【详解】
解：将y＝－x2＋2x＋m＋1化为顶点式为：
∴顶点坐标为，函数图形与直线y＝m＋2相切，只有一个公共点，①正确；
根据“上加下减，左加右减”将向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到： ，③正确；
二次函数的对称轴是直线，故P（2，y3）可对称到，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故，②错误；
当m=1时，函数解析式为：，故，，
作B关于y轴对称点N，作C关于x轴对称点M，则 连接MN，则MN为BE，DE，CD和的最小值，四边形BCDE周长最小值为MN与BC的和，则有：
∴当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为，④正确；
故答案选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质综合以及线段和的最小值．掌握二次函数配方成顶点式、二次函数的对称性、线段和的最小值的求算是解题关键．
11．
【分析】
设其中一双鞋分别为a，a′；画出树状图，可知共有12种情况，能配成一双的有8种情况，根据概率公式计算即可；
【详解】
设其中一双鞋分别为a，a′．画树状图得：
∵共有12种情况，能配成一双的有8种情况，∴取出两只刚好配一双鞋的概率是：．
故答案为．
【点睛】
本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．105
【分析】
根据非负数的和为零，可得特殊角三角函数值，根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】
解：∵|tanA﹣1|＋＝0，
∴tanA﹣1＝0，cosB﹣1＝0，
所以tanA＝，cosB＝，
解得∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
故答案为与：105．
【点睛】
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．
13．4
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，把x=0代入得关于a的一元二次方程，且a+4≠0，然后求解即可．
【详解】
解：把x=0代入得a2-16=0，
解得a1=-4，a2=4，
又a+4≠0，即a≠-4，
所以，a的值为4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14．m≥0.
【分析】
根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．
【详解】
抛物线的对称轴为直线x= ，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，∴ −m+1 ≤1，解得m≥0．故m的取值范围是m≥0．故答案为m≥0．考点：二次函数的性质．
15．
【分析】
由矩形的性质得到OA＝OB，然后可得OD＝OB＝AB，求出BD，由勾股定理求出AD．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAC＝90°，OB=OD=BD，
∵AB＝OB＝4，
∴OD＝OB＝AB＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∴AD＝，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了矩形的性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
16．
【分析】
设A点坐标为（a，），C点坐标为（b，0），根据线段中点坐标公式得到B点坐标为（，），利用反比例函数图象上点的坐标特征得到•k，得到b=3a，
然后根据三角形面积公式得到b•，于是可计算出k的值．
【详解】
设A点坐标为（a，），C点坐标为（b，0）．
∵B恰为线段AC的中点，∴B点坐标为（，）．
∵B点在反比例函数图象上，∴•k，∴b=3a．
∵S△OAC=，∴b•，∴•3a•，∴k=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数解析式．
17．
【分析】
连接OA，如图，先根据勾股定理求出圆的半径，进而可求出∠P与∠AOB的度数，再根据阴影部分的面积=S△PAO﹣S扇形OAB计算即可．
【详解】
解：连接OA，如图，
则∠A=90°，设OA=OB=x，
∵PB=OA=1，PA=，
∴在Rt△POA中，可得，
解得：x=1，即OA=1，PO=2，
∴∠P=30°，∠AOB=60°，
∴阴影部分的面积=S△PAO﹣S扇形OAB=×1×﹣=．
故答案为．
【点睛】
本题考查了切线的性质、扇形面积的计算等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
18．8
【分析】
如图，连接PA、PB、PC，由等边三角形的性质可得AB=AC=BC，根据S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP即可得答案.
【详解】
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，
∵S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP，
∴AB·PF+AC·PE+BC·PD=AB(PD+PE+PF)=，
∵，
∴AB=8，即△ABC的边长为8.
故答案为：8
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，灵活运用面积法求边长是解题关键.
19．，.
【分析】
原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算即可求出值．
【详解】
原式= ==．
当x=时，原式．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．（1）40人；（2）54°；见解析；（3）300；（4）0.3
【分析】
（1）根据B级的人数除以B级所占的百分比，可得抽测的人数；
（2）根据A级的人数除以抽测的人数，可得A级人数所占抽测人数的百分比，根据圆周角乘以A级人数所占抽测人数的百分比，可得A级的扇形的圆心角，根据有理数的减法，可得C及抽测的人数；
（3）根据D级抽测的人数除以抽测的总人数，可得D及所占抽测人数的百分比，根据八年级的人数乘以D及所占抽测人数的百分比，可得答案；
（4）根据B级抽测的人数除以抽测的人数，可得答案．
【详解】
解：（1）本次抽样测试的学生人数是12÷30%＝40（人），
故答案为：40；
（2）扇形统计图中∠α的度数是×360°＝54°，
C级的人数为：40-6-12-8=14，
条形统计图为：
，
故答案为： 54°；
（3）该校八年级有学生1500名，如果全部参加这次体育科目测试，那么估计不及格的人数为1500×＝300（人），
故答案为：300
（4）测试老师从被测学生中随机抽取一名，所抽学生为B级的概率是＝0.3，
【点睛】
本题考查了条形统计图，利用样本估计总体观察统计图获得有效信息是解题关键．
21．（1）一次函数的解析式为y＝﹣x＋2，反比例函数解析式为y＝﹣；（2）点P的坐标为（2，1）或（﹣6，5）．
【分析】
（1）根据Rt△COD中，tan∠ACO＝，CD＝2，即可得到D（0，2），C（4，0），运用待定系数法即可求得反比例函数与一次函数的解析式；
（2）先解方程组求得B（6，﹣1），进而得到S△AOP＝2S△BOC＝2××4×1＝4，设P（x，﹣x＋2），再分两种情况：①当点P在CD上时，S△AOP＝S△AOD＋S△DOP，②当点P'在CA延长线上时，S△AOP'＝S△DOP﹣S△AOD，分别求得点P的坐标为（2，1）或（﹣6，5）．
【详解】
解：（1）∵Rt△COD中，tan∠ACO＝，
∴CO＝2OD，
又∵CD＝2，
∴OD2＋4OD2＝（2）2，
解得OD＝2，CO＝4，
∴D（0，2），C（4，0），
∵直线y＝ax＋b（a≠0）与x轴、y轴分别交于C、D两点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x＋2，
把点A的坐标（m，3）代入，可得
3＝﹣m＋2，解得m＝﹣2，
∴A（﹣2，3），
∵反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点A，
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∴反比例函数解析式为y＝﹣；
（2）解方程组，可得或，
∴B（6，﹣1），
∴S△AOP＝2S△BOC＝2××4×1＝4，
设P（x，﹣x＋2），
分两种情况：
①当点P在CD上时，S△AOP＝S△AOD＋S△DOP，
∴4＝×2×2＋×2×|x|，解得x＝2，
∴P（2，1）；
②当点P'在CA延长线上时，S△AOP'＝S△DOP'﹣S△AOD
∴4＝×2×|x|﹣×2×2，解得x＝﹣6，
∴P'（﹣6，5）．
综上所述，点P的坐标为（2，1）或（﹣6，5）．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及解直角三角形的应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，解题时注意分类思想的运用．求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解即可．
22．（1）见解析；（2）2.5
【分析】
（1）要证AD是⊙O的切线，连接OA，只证∠DAO＝90°即可．
（2）根据三角函数的知识可求出AD，从而根据勾股定理求出AB的长，根据三角函数的知识即可得出⊙O的半径．
【详解】
解：（1）证明：连接OA；
∵BC为⊙O的直径，BA平分∠CBF，AD⊥BF，
∴∠ADB＝∠BAC＝90°，∠DBA＝∠CBA，
∴∠BAD=∠OCA，
∵∠OAC＝∠OCA，∴∠OAC=∠BAD，
∴∠DAO＝∠DAB＋∠BAO＝∠BAO＋∠OAC＝90°，
∴DA为⊙O的切线；
（2）∵BD＝1，tan∠ABD＝2，
∴AD＝2，
∴AB＝＝＝，
∴cos∠DBA＝；
∵∠DBA＝∠CBA，
∴BC＝＝＝5，
∴⊙O的半径为2.5．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了三角函数的知识．
23．（1）132cm；（2）100cm
【分析】
（1）根据等边对等角求出∠OBE，在Rt△ABE中，利用求解即可；
（2）证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】
解：（1），，
在中，，
（2），，
，
，
∵，，，
．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解答此题的关键．
24．（1）W＝；（2）当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46400元．
【分析】
（1）分两种情况讨论，由日获利＝销售单价×数量，可求解；
（2）分两种情况讨论，由二次函数的性质，分别求出6≤x≤10和10＜x≤30时的最大利润，即可求解．
【详解】
解：（1）当y≥4000，即﹣100x+5000≥4000，
∴x≤10，
∴当6≤x≤10时，W＝（x﹣6+1）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5500x﹣27000，
当10＜x≤30时，W＝（x﹣6）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5600x﹣32000，
综上所述：W＝；
（2）当6≤x≤10时，W＝﹣100x2+5500x﹣27000＝﹣100（x﹣）2+48625，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝，
∴当6≤x≤10时，y随x的增大而增大，即当x＝10时，W最大值＝18000元，
当10＜x≤30时，W＝﹣100x2+5600x﹣32000＝﹣100（x﹣28）2+46400，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝28，
∴当x＝28时，W有最大值为46400元，
∵46400＞18000，
∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46400元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
25．（1）旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是；（2）；（3）．
【分析】
（1）由等边三角形得出，，，，证明，由旋转性质即可得；
（2）证明，由全等三角形的性质得，，得出，由直角三角形性质得，则可计算得答案；
（3）过点A作，且使AE=AD，连接PE，BE，由直角三角形的性质求出BE、PE的长即可得解．
【详解】
解（1）∵，都是等边三角形，
∴，，，，，
，
，
可以由绕点A顺时针旋转得到，
即旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是；
（2)和都是等边三角形，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设BF=x，则CF=DF=2x，DE=3x，
∴；
（3），
∴点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD，
，
如图，过点A作，且使AE=AD，连接PE，BE，
∵将线段AC绕点A顺时针旋转得到线段AP，
，PA=AC．
，
，
，
∴PE=CD=1．
∵AB=2，AE=AD=1，
∴BE===，
，
∴BP的最大值为+1．
【点睛】
本题是几何变换的综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、圆周角定理；熟练掌握旋转的性质是本题的关键．
26．（1）y＝﹣x2＋5x＋6；（2）；（3）存在4个，P的坐标为（﹣2，﹣8）或（4，10）或（2＋2，4＋2）或（2﹣2，4﹣2）．
【分析】
（1）先确定C（0，6），设交点式y=a（x+1）（x-6），然后把C点坐标代入求出a的值即可；
（2）连接AC，与对称轴交点即为所求点M，先利用待定系数法求出AC所在直线解析式，再将二次函数解析式配方得到其对称轴方程，继而可得答案；
（3）设P点坐标为（x，-x2+5x+6），根据两点间的距离公式得到PC2=x2+（-x2+5x）2，PA2=（x-6）2+（-x2+5x+6）2，AC2=72，讨论：当∠PAC=90°，利用勾股定理得到（x-6）2+（-x2+5x+6）2+72=x2+（-x2+5x）2；当∠PCA=90°，利用勾股定理得到72+x2+（-x2+5x）2=（x-6）2+（-x2+5x+6）2；当∠APC=90°，利用勾股定理得到（x-6）2+（-x2+5x+6）2+x2+（-x2+5x）2=72，然后分别解方程即可得到对应的P点坐标．
【详解】
解：（1）当x＝0时，y＝ax2＋bx＋6＝6，则C（0，6），
设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x﹣6），
把C（0，6）代入得a•1•（﹣6）＝6，解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x＋1）（x﹣6），即y＝﹣x2＋5x＋6；
（2）连接AC，与对称轴交点即为所求点M，
设AC所在直线的解析式为y＝mx＋n，
将A（6，0），C（0，6）代入，得：，
解得：，
则AC所在直线解析式为y＝﹣x＋6，
又y＝﹣x2＋5x＋6＝﹣（x﹣）2＋，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
在直线y＝﹣x＋6中当x＝时，y＝，
则M的坐标为（，）；
（3）设P点坐标为（x，-x2+5x+6），
存在4个点P，使△ACP为直角三角形．
PC2=x2+（-x2+5x）2，PA2=（x-6）2+（-x2+5x+6）2，AC2=62+62=72，
当∠PAC=90°，∵PA2+AC2=PC2，
∴（x-6）2+（-x2+5x+6）2+72=x2+（-x2+5x）2，
整理得x2-4x-12=0，解得x1=6（舍去），x2=-2，此时P点坐标为（-2，-8）；
当∠PCA=90°，∵PC2+AC2=PA2，
72+x2+（-x2+5x）2=（x-6）2+（-x2+5x+6）2，
整理得x2-4x=0，解得x1=0（舍去），x2=4，此时P点坐标为（4，10）；
当∠APC=90°，∵PA2+AC2=PC2，
∴（x-6）2+（-x2+5x+6）2+x2+（-x2+5x）2=72，
整理得x3-10x2+20x+24=0，
x3-10x2+24x-4x+24=0，
x（x2-10x+24）-4（x-6）=0，
x（x-4）（x-6）-4（x-6）=0，
（x-6）（x2-4x-4）=0，
而x-6≠0，
所以x2﹣4x﹣4＝0，解得x1＝2＋2，x2＝2﹣2，
此时P点坐标为（2＋2，4＋2）或（2﹣2，4﹣2）；
综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣2，﹣8）或（4，10）或（2＋2，4＋2）或（2﹣2，4﹣2）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会运用勾股定理解方程，会解一元二次方程；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
2021年辽宁省铁岭市中考数学第一次适应性试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．桂林是世界著名的风景旅游城市和历史文化名城，地处南岭山系西南部，广西东北部，行政区域总面积27 809平方公里．将27 809用科学记数法表示应为（ ）
A．0.278 09×105 B．27.809×103
C．2.780 9×103 D．2.780 9×104
2．如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知M=，则M的取值范围是（ ）
A．8＜M＜9 B．7＜M＜8 C．6＜M＜7 D．5＜M＜6
4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．某次校运会共有13名同学报名参加百米赛跑，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小勇同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
6．如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC交AC于点E，AE＝AC，若线段BC＝30，那么线段DE的长为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
7．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是
A． B． C． D．不能确定
9．如图，将直角三角板放在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，.将三角板沿轴正方向平移，点的对应点刚好落在反比例函数的图像上，则点平移的距离（ ）
A．3 B．5 C．7 D．10
10．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1与直线y＝m＋2有且只有一个交点；
②若点M（－2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为．
其中正确判断有（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①③
二、填空题
11．有两双完全相同的鞋，从中任取两只，恰好成为一双的概率为_____．
12．已知△ABC的内角满足|tanA﹣1|＋＝0，则∠C＝_____度．
13．若关于的一元二次方程有个根为，则的值为__________．
14．已知二次函数y=x2+（m﹣2）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________．
15．如图，在矩形中，两条对角线相交于点，若，则_________．
16．如图，直线AB交双曲线于A、B两点，交x轴于点C，且B恰为线段AC的中点，连结OA．若，则k的值为___________.
17．如图，PA切⊙O于A，OP交⊙O于B，且PB=1，PA=，则阴影部分的面积：S=_____．
18．如图，点P在等边三角形ABC的内部，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，垂足分别为D、E、F，若，且，则的边长为_____．
三、解答题
19．先化简，再求值：，其中．
20．某学校为了解在校生的体能素质情况，从全校八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格）并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 ；
（2）扇形统计图中∠α的度数是 ，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级有学生1500名，如果全部参加这次体育科目测试，那么估计不及格的人数为 人；
（4）测试老师从被测学生中随机抽取一名，所抽学生为B级的概率是多少？
21．如图，一次函数y＝ax＋b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，若CD＝2，tan∠ACO＝，点A的坐标为（m，3）．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）连接OB，点P在直线AC上，且S△AOP＝2S△BOC，求点P的坐标．
22．如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分∠CBF，过点A作AD⊥BF于点D．
（1）求证：DA为⊙O的切线；
（2）若BD＝1，tan∠ABD＝2，求⊙O的半径．
23．有一种落地晾衣架如图所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度，图是晾衣架的侧面的平面示意图，和分别是两根长度不等的支撑杆，夹角，，，．
（1）若，求点离地面的高度；（参考值：，，，．）
（2）调节的大小，使离地面高度时，求此时点离地面的高度．
24．网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，某市长亲自在某网络平台上进行直播销售板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg．当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元．设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．
（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
25．问题背景
（1）如图（1），，都是等边三角形，可以由通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．
尝试应用
（2）如图（2）．在中，，分别以AC，AB为边，作等边和等边，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若，求的值．
拓展创新
（3）如图（3）．在中，，，将线段AC绕点A顺时针旋转得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．
26．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM＋BM最小时，求点M的坐标．
（3）抛物线上是否存在点P，使△ACP为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1．D
【分析】
科学记数法的表示形式为a×的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】
27 809=2.780 9×，故选D．
【点睛】
本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值
2．D
【分析】
正面看到的平面图形即为主视图．
【详解】
立体图形的主视图为：D；
左视图为：C；
俯视图为：B
故选：D．
【点睛】
本题考查三视图，考查的是空间想象能力，解题关键是在脑海中构建出立体图形．
3．C
【分析】
根据被开方数越大算术平方根越大，即可求解.
【详解】
M=,
∵2<<3,
∴6<4+<7
∴6
本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出2<<3是解题的关键.
4．A
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可；
【详解】
A、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
B、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键；
5．C
【分析】
由于有13名同学参加百米赛跑，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小．
【详解】
解：共有13名学生参加比赛，取前6名，所以小勇需要知道自己的成绩是否进入前六．
我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，
所以小勇知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．
故选：．
【点睛】
本题考查了用中位数的意义解决实际问题，熟悉相关性质是解题的关键．
6．B
【分析】
根据相似三角形的判定和性质，可以求得DE的长，本题得以解决．
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AE＝AC，BC＝30，
∴，
解得，DE＝10，
故选：B．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．D
【分析】
证明BE：EC＝1：3，进而证明BE：BC＝1：4；证明△DOE∽△AOC，得到＝，借助相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】
解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，
∴BE：EC＝1：3；
∴BE：BC＝1：4；
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△AOC，
∴＝，
∴＝，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．
8．A
【分析】
连接BC，过点O作OD⊥AC交半圆O于点D，交AC于点E，由此可得∠AEO=90°，OA=OD，由折叠的性质可得OE=DE=OD=OA，从而可得∠OAC=30°，进而可得∠ABC=60°，由此即可得到.
【详解】
解：连接BC，过点O作OD⊥AC交半圆O于点D，交AC于点E，
∴∠AEO=90°，OA=OD，
又∵由折叠的性质可得OE=DE=OD=OA，
∴∠BAC=30°，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABC=2∠CAB，
∴.
故选A.
【点睛】
熟悉“圆的相关性质和折叠的性质”及“直径三角形中，若一直角边等于斜边的一半，则其所对的锐角为30°”是正确解答本题的关键.
9．A
【分析】
根据平移后的纵坐标为1求出的坐标即可求出平移距离
【详解】
由平移可知的纵坐标为1，
代入，得，
平移的距离为.
故选A.
【点睛】
本题考查平移与反比例函数的简单综合，左右平移纵坐标不变是解题的关键.
10．C
【分析】
将二次函数配方成即可判断①③；将P根据对称性转化到对称轴左边即可判断②；将m＝1代入函数解析式即可求算A，C坐标，作对称根据两点之间线段最短即可求算四边形BCDE周长的最小值．
【详解】
解：将y＝－x2＋2x＋m＋1化为顶点式为：
∴顶点坐标为，函数图形与直线y＝m＋2相切，只有一个公共点，①正确；
根据“上加下减，左加右减”将向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到： ，③正确；
二次函数的对称轴是直线，故P（2，y3）可对称到，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故，②错误；
当m=1时，函数解析式为：，故，，
作B关于y轴对称点N，作C关于x轴对称点M，则 连接MN，则MN为BE，DE，CD和的最小值，四边形BCDE周长最小值为MN与BC的和，则有：
∴当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为，④正确；
故答案选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质综合以及线段和的最小值．掌握二次函数配方成顶点式、二次函数的对称性、线段和的最小值的求算是解题关键．
11．
【分析】
设其中一双鞋分别为a，a′；画出树状图，可知共有12种情况，能配成一双的有8种情况，根据概率公式计算即可；
【详解】
设其中一双鞋分别为a，a′．画树状图得：
∵共有12种情况，能配成一双的有8种情况，∴取出两只刚好配一双鞋的概率是：．
故答案为．
【点睛】
本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．105
【分析】
根据非负数的和为零，可得特殊角三角函数值，根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】
解：∵|tanA﹣1|＋＝0，
∴tanA﹣1＝0，cosB﹣1＝0，
所以tanA＝，cosB＝，
解得∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
故答案为与：105．
【点睛】
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．
13．4
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，把x=0代入得关于a的一元二次方程，且a+4≠0，然后求解即可．
【详解】
解：把x=0代入得a2-16=0，
解得a1=-4，a2=4，
又a+4≠0，即a≠-4，
所以，a的值为4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14．m≥0.
【分析】
根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．
【详解】
抛物线的对称轴为直线x= ，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，∴ −m+1 ≤1，解得m≥0．故m的取值范围是m≥0．故答案为m≥0．考点：二次函数的性质．
15．
【分析】
由矩形的性质得到OA＝OB，然后可得OD＝OB＝AB，求出BD，由勾股定理求出AD．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAC＝90°，OB=OD=BD，
∵AB＝OB＝4，
∴OD＝OB＝AB＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∴AD＝，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了矩形的性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
16．
【分析】
设A点坐标为（a，），C点坐标为（b，0），根据线段中点坐标公式得到B点坐标为（，），利用反比例函数图象上点的坐标特征得到•k，得到b=3a，
然后根据三角形面积公式得到b•，于是可计算出k的值．
【详解】
设A点坐标为（a，），C点坐标为（b，0）．
∵B恰为线段AC的中点，∴B点坐标为（，）．
∵B点在反比例函数图象上，∴•k，∴b=3a．
∵S△OAC=，∴b•，∴•3a•，∴k=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数解析式．
17．
【分析】
连接OA，如图，先根据勾股定理求出圆的半径，进而可求出∠P与∠AOB的度数，再根据阴影部分的面积=S△PAO﹣S扇形OAB计算即可．
【详解】
解：连接OA，如图，
则∠A=90°，设OA=OB=x，
∵PB=OA=1，PA=，
∴在Rt△POA中，可得，
解得：x=1，即OA=1，PO=2，
∴∠P=30°，∠AOB=60°，
∴阴影部分的面积=S△PAO﹣S扇形OAB=×1×﹣=．
故答案为．
【点睛】
本题考查了切线的性质、扇形面积的计算等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
18．8
【分析】
如图，连接PA、PB、PC，由等边三角形的性质可得AB=AC=BC，根据S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP即可得答案.
【详解】
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，
∵S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP，
∴AB·PF+AC·PE+BC·PD=AB(PD+PE+PF)=，
∵，
∴AB=8，即△ABC的边长为8.
故答案为：8
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，灵活运用面积法求边长是解题关键.
19．，.
【分析】
原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算即可求出值．
【详解】
原式= ==．
当x=时，原式．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．（1）40人；（2）54°；见解析；（3）300；（4）0.3
【分析】
（1）根据B级的人数除以B级所占的百分比，可得抽测的人数；
（2）根据A级的人数除以抽测的人数，可得A级人数所占抽测人数的百分比，根据圆周角乘以A级人数所占抽测人数的百分比，可得A级的扇形的圆心角，根据有理数的减法，可得C及抽测的人数；
（3）根据D级抽测的人数除以抽测的总人数，可得D及所占抽测人数的百分比，根据八年级的人数乘以D及所占抽测人数的百分比，可得答案；
（4）根据B级抽测的人数除以抽测的人数，可得答案．
【详解】
解：（1）本次抽样测试的学生人数是12÷30%＝40（人），
故答案为：40；
（2）扇形统计图中∠α的度数是×360°＝54°，
C级的人数为：40-6-12-8=14，
条形统计图为：
，
故答案为： 54°；
（3）该校八年级有学生1500名，如果全部参加这次体育科目测试，那么估计不及格的人数为1500×＝300（人），
故答案为：300
（4）测试老师从被测学生中随机抽取一名，所抽学生为B级的概率是＝0.3，
【点睛】
本题考查了条形统计图，利用样本估计总体观察统计图获得有效信息是解题关键．
21．（1）一次函数的解析式为y＝﹣x＋2，反比例函数解析式为y＝﹣；（2）点P的坐标为（2，1）或（﹣6，5）．
【分析】
（1）根据Rt△COD中，tan∠ACO＝，CD＝2，即可得到D（0，2），C（4，0），运用待定系数法即可求得反比例函数与一次函数的解析式；
（2）先解方程组求得B（6，﹣1），进而得到S△AOP＝2S△BOC＝2××4×1＝4，设P（x，﹣x＋2），再分两种情况：①当点P在CD上时，S△AOP＝S△AOD＋S△DOP，②当点P'在CA延长线上时，S△AOP'＝S△DOP﹣S△AOD，分别求得点P的坐标为（2，1）或（﹣6，5）．
【详解】
解：（1）∵Rt△COD中，tan∠ACO＝，
∴CO＝2OD，
又∵CD＝2，
∴OD2＋4OD2＝（2）2，
解得OD＝2，CO＝4，
∴D（0，2），C（4，0），
∵直线y＝ax＋b（a≠0）与x轴、y轴分别交于C、D两点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x＋2，
把点A的坐标（m，3）代入，可得
3＝﹣m＋2，解得m＝﹣2，
∴A（﹣2，3），
∵反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点A，
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∴反比例函数解析式为y＝﹣；
（2）解方程组，可得或，
∴B（6，﹣1），
∴S△AOP＝2S△BOC＝2××4×1＝4，
设P（x，﹣x＋2），
分两种情况：
①当点P在CD上时，S△AOP＝S△AOD＋S△DOP，
∴4＝×2×2＋×2×|x|，解得x＝2，
∴P（2，1）；
②当点P'在CA延长线上时，S△AOP'＝S△DOP'﹣S△AOD
∴4＝×2×|x|﹣×2×2，解得x＝﹣6，
∴P'（﹣6，5）．
综上所述，点P的坐标为（2，1）或（﹣6，5）．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及解直角三角形的应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，解题时注意分类思想的运用．求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解即可．
22．（1）见解析；（2）2.5
【分析】
（1）要证AD是⊙O的切线，连接OA，只证∠DAO＝90°即可．
（2）根据三角函数的知识可求出AD，从而根据勾股定理求出AB的长，根据三角函数的知识即可得出⊙O的半径．
【详解】
解：（1）证明：连接OA；
∵BC为⊙O的直径，BA平分∠CBF，AD⊥BF，
∴∠ADB＝∠BAC＝90°，∠DBA＝∠CBA，
∴∠BAD=∠OCA，
∵∠OAC＝∠OCA，∴∠OAC=∠BAD，
∴∠DAO＝∠DAB＋∠BAO＝∠BAO＋∠OAC＝90°，
∴DA为⊙O的切线；
（2）∵BD＝1，tan∠ABD＝2，
∴AD＝2，
∴AB＝＝＝，
∴cos∠DBA＝；
∵∠DBA＝∠CBA，
∴BC＝＝＝5，
∴⊙O的半径为2.5．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了三角函数的知识．
23．（1）132cm；（2）100cm
【分析】
（1）根据等边对等角求出∠OBE，在Rt△ABE中，利用求解即可；
（2）证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】
解：（1），，
在中，，
（2），，
，
，
∵，，，
．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解答此题的关键．
24．（1）W＝；（2）当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46400元．
【分析】
（1）分两种情况讨论，由日获利＝销售单价×数量，可求解；
（2）分两种情况讨论，由二次函数的性质，分别求出6≤x≤10和10＜x≤30时的最大利润，即可求解．
【详解】
解：（1）当y≥4000，即﹣100x+5000≥4000，
∴x≤10，
∴当6≤x≤10时，W＝（x﹣6+1）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5500x﹣27000，
当10＜x≤30时，W＝（x﹣6）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5600x﹣32000，
综上所述：W＝；
（2）当6≤x≤10时，W＝﹣100x2+5500x﹣27000＝﹣100（x﹣）2+48625，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝，
∴当6≤x≤10时，y随x的增大而增大，即当x＝10时，W最大值＝18000元，
当10＜x≤30时，W＝﹣100x2+5600x﹣32000＝﹣100（x﹣28）2+46400，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝28，
∴当x＝28时，W有最大值为46400元，
∵46400＞18000，
∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46400元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
25．（1）旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是；（2）；（3）．
【分析】
（1）由等边三角形得出，，，，证明，由旋转性质即可得；
（2）证明，由全等三角形的性质得，，得出，由直角三角形性质得，则可计算得答案；
（3）过点A作，且使AE=AD，连接PE，BE，由直角三角形的性质求出BE、PE的长即可得解．
【详解】
解（1）∵，都是等边三角形，
∴，，，，，
，
，
可以由绕点A顺时针旋转得到，
即旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是；
（2)和都是等边三角形，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设BF=x，则CF=DF=2x，DE=3x，
∴；
（3），
∴点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD，
，
如图，过点A作，且使AE=AD，连接PE，BE，
∵将线段AC绕点A顺时针旋转得到线段AP，
，PA=AC．
，
，
，
∴PE=CD=1．
∵AB=2，AE=AD=1，
∴BE===，
，
∴BP的最大值为+1．
【点睛】
本题是几何变换的综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、圆周角定理；熟练掌握旋转的性质是本题的关键．
26．（1）y＝﹣x2＋5x＋6；（2）；（3）存在4个，P的坐标为（﹣2，﹣8）或（4，10）或（2＋2，4＋2）或（2﹣2，4﹣2）．
【分析】
（1）先确定C（0，6），设交点式y=a（x+1）（x-6），然后把C点坐标代入求出a的值即可；
（2）连接AC，与对称轴交点即为所求点M，先利用待定系数法求出AC所在直线解析式，再将二次函数解析式配方得到其对称轴方程，继而可得答案；
（3）设P点坐标为（x，-x2+5x+6），根据两点间的距离公式得到PC2=x2+（-x2+5x）2，PA2=（x-6）2+（-x2+5x+6）2，AC2=72，讨论：当∠PAC=90°，利用勾股定理得到（x-6）2+（-x2+5x+6）2+72=x2+（-x2+5x）2；当∠PCA=90°，利用勾股定理得到72+x2+（-x2+5x）2=（x-6）2+（-x2+5x+6）2；当∠APC=90°，利用勾股定理得到（x-6）2+（-x2+5x+6）2+x2+（-x2+5x）2=72，然后分别解方程即可得到对应的P点坐标．
【详解】
解：（1）当x＝0时，y＝ax2＋bx＋6＝6，则C（0，6），
设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x﹣6），
把C（0，6）代入得a•1•（﹣6）＝6，解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x＋1）（x﹣6），即y＝﹣x2＋5x＋6；
（2）连接AC，与对称轴交点即为所求点M，
设AC所在直线的解析式为y＝mx＋n，
将A（6，0），C（0，6）代入，得：，
解得：，
则AC所在直线解析式为y＝﹣x＋6，
又y＝﹣x2＋5x＋6＝﹣（x﹣）2＋，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
在直线y＝﹣x＋6中当x＝时，y＝，
则M的坐标为（，）；
（3）设P点坐标为（x，-x2+5x+6），
存在4个点P，使△ACP为直角三角形．
PC2=x2+（-x2+5x）2，PA2=（x-6）2+（-x2+5x+6）2，AC2=62+62=72，
当∠PAC=90°，∵PA2+AC2=PC2，
∴（x-6）2+（-x2+5x+6）2+72=x2+（-x2+5x）2，
整理得x2-4x-12=0，解得x1=6（舍去），x2=-2，此时P点坐标为（-2，-8）；
当∠PCA=90°，∵PC2+AC2=PA2，
72+x2+（-x2+5x）2=（x-6）2+（-x2+5x+6）2，
整理得x2-4x=0，解得x1=0（舍去），x2=4，此时P点坐标为（4，10）；
当∠APC=90°，∵PA2+AC2=PC2，
∴（x-6）2+（-x2+5x+6）2+x2+（-x2+5x）2=72，
整理得x3-10x2+20x+24=0，
x3-10x2+24x-4x+24=0，
x（x2-10x+24）-4（x-6）=0，
x（x-4）（x-6）-4（x-6）=0，
（x-6）（x2-4x-4）=0，
而x-6≠0，
所以x2﹣4x﹣4＝0，解得x1＝2＋2，x2＝2﹣2，
此时P点坐标为（2＋2，4＋2）或（2﹣2，4﹣2）；
综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣2，﹣8）或（4，10）或（2＋2，4＋2）或（2﹣2，4﹣2）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会运用勾股定理解方程，会解一元二次方程；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
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