哈师大附中2020级高一下4月月考：数学+答案

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填空题
13.1-2i 14.1 15.-34 16.37
解答题
17. = 1 \* ROMAN I∵BD=CD-CB=e1-4e2 …………1分
∴AB=2e1-4e2 =2BD…………2分
∴AB与BD共线，即A,B.D三点共线…………4分
（Ⅱ）BE∙CD=2e1-ke2 ∙2e1-e2 =3,
BE=2e1-ke2 2 = k2-2k+4 ,CD=2e1-e2 2 =3…………7分
cs30°=BE∙CDBE∙CD=3k2-2k+4 ∙3= 3k2-2k+4= 32, …………9分
解得k=2或0…………10分
18. = 1 \* ROMAN I∵BE=BC+CE=AD-23AB ,又 AD=b,AB=a
∴BE=b-23a,…………4分
（Ⅱ）假设线段BC 上存在点F，且BF=λBC(其中0≤λ≤1)，…………6分
AF=AB+BF=AB+λBC=AB+λAD=a+λb…………8分
∵AF⊥BE ∴AF∙BE=0,即a+λb ∙b-23a =0，解得λ=14，…………10分
又AF=a+λb=a+14b，则AF=a+14b 2=214…………12分
19. = 1 \* ROMAN I,
∴
…………4分
∴,
∴V甲海里/小时 ；…………6分
（Ⅱ）在中，
由正弦定理得
∴…………10分
∴.…………12分
20. = 1 \* ROMAN I选①，由正弦定理得，ba=sinBsinA=csB+13sinA，…………2分,
解得3sinB=csB+1, …………4分
平方得3sinB2=csB+12，解得csB=12，所以B=π3…………6分
选②,由正弦定理得，2sinBsinA=sinAtanB，…………2分,
2sinBsinA=sinAsinBcsB，…………4分
解得csB=12，所以B=π3…………6分
选③,由sinA+B=sinc ,有a-csinA+CsinC=bsinB，…………2分
由正弦定理得，a-ca+c2=b2，a2+c2-b2=ac…………4分,
解得csB=12，所以B=π3…………6分
（Ⅱ）SΔABC=12acsinB=34ac=334,解得ac=3…………8分
由余弦定理有，b2=a2+c2-2accsB=a2+c2-ac=a+c2-3ac=7, …………11分
∴b=7,…………12分
21. = 1 \* ROMAN I∵，，且
∴csC=csB3sinA-csA,
则csC+csBcsA=3csBsinA， -cs（A+B）+csBcsA=3csBsinA
有sinAsinB=3csBsinA，………2分
解得tanB=3,解得 B=π3…………4分
（Ⅱ）（ⅰ）∵SΔABC=SΔABD+SΔBCD，
∴12acsinπ3=12c⋅BD⋅sinπ6+12a⋅BD⋅sinπ6=14a+c……6分
解得a+c=3ac，即1a+1c=3，…………8分
（ⅱ）S1+S2=12c⋅BD⋅sinπ6+12a⋅BD⋅sinπ6==14a+c
又a+c⋅1a+1c=ca+ac+2≥2ca⋅ac+2=4，当且仅当a=c时取等,………10分
由（ⅰ）知，1a+1c=3，所以a+c≥433
∴S1+S2≥33，当且仅当a=c时取得最小值33.………12分
22. = 1 \* ROMAN I由余弦定理，ac⋅a2+c2-b22ac-bc⋅b2+c2-a22bc=3b2，………2分
解得a2=4b2，即a=2b，又a+2b=4
解得a=2，b=1，………4分
（Ⅱ）由正弦定理，a2+4b2=6absinC,
SΔABC=12absinC=112a2+4b2=112[a+2b)2-4ab=43-13ab………6分
∵a+2b≥2a⋅2b, ∴ab≤2,当且仅当a=2b=2时取等,此时 SΔABC取得最小值23，………9分
此时sinC=23,由平方关系有csC=±53,
当csC=53时，由余弦定理有，c2=a2+b2-2abcsC=5-453,
当csC=-53时，由余弦定理有，c2=a2+b2-2abcsC=5+453,………12分