浙江省稽阳联谊学校2021届高三4月联考数学（含答案）

这是一份浙江省稽阳联谊学校2021届高三4月联考数学（含答案），共10页。

本科试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页，满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：
1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：
如果事件A, B互斥, 那么柱体的体积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)V=Sh
如果事件A, B相互独立, 那么其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
P(A·B)=P(A)·P(B)锥体的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是p, 那么nV= SKIPIF 1 < 0 Sh
次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
Pn(k)=C SKIPIF 1 < 0 pk (1－p)n-k (k = 0,1,2,…, n)球的表面积公式
台体的体积公式S = 4πR2
SKIPIF 1 < 0 球的体积公式
其中S1, S2分别表示台体的上、下底面积, V= SKIPIF 1 < 0 πR3
h表示台体的高 其中R表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题，共40分）
选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位）的虚部为
A．1 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
(第4题图)
4．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积
（单位：cm3）是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的图象可能是
A．B．
C．D．
6．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．随机变量 SKIPIF 1 < 0 的取值为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．已知 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0
A．4或0B．4或 SKIPIF 1 < 0 C．0或 SKIPIF 1 < 0 D．2或 SKIPIF 1 < 0
9．过双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点 SKIPIF 1 < 0 ，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线离心率的取值范围是
(第9题图)
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．如图，已知圆柱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值的取值范围是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
(第10题图)
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11．我国《九章算术》中记载有“勾，短面也；股，长面也。长、短相推，以求其弦，故曰勾股。”指出了直角三角形中较短的直角边为“勾”，较长的直角边为“股”，利用“勾”、“股”可以求直角三角形的斜边“弦”。已知直角三角形的“勾”为5，“股”为12，则“弦”为_______，该直角三角形内切圆的面积是_________．
12．二项式 SKIPIF 1 < 0 展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项的系数是_________，所有项的系数和是_________．
13．若实数 SKIPIF 1 < 0 满足约束条件 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是_________， SKIPIF 1 < 0 的最小值是_________．
14．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________， SKIPIF 1 < 0 _________．
15．已知 SKIPIF 1 < 0 且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是_________．
16．已知数列 SKIPIF 1 < 0 ，若数列 SKIPIF 1 < 0 与数列 SKIPIF 1 < 0 都是公差不为0的等差数列，则数列 SKIPIF 1 < 0 的公差是_________．
17．已知E为平面内一定点且 SKIPIF 1 < 0 ，平面内的动点 SKIPIF 1 < 0 满足：存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为平面图形 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为_________．
三、解答题：本大题共5小题，共 74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分14分）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求函数 SKIPIF 1 < 0 的对称中心；
（Ⅱ）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
19．（本题满分15分）如图，已知多面体 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点．
（Ⅰ）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．
(第19题图)
20．（本题满分15分）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（Ⅱ）若 SKIPIF 1 < 0 ，求使 SKIPIF 1 < 0 成立（ SKIPIF 1 < 0 表示不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大整数）的最大整数 SKIPIF 1 < 0 的值．
21．（本题满分15分）已知点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的动点，直线 SKIPIF 1 < 0 截以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆所得的弦长为定值．
（Ⅰ）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（Ⅱ）如图，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 的中垂线过点 SKIPIF 1 < 0 且直线 SKIPIF 1 < 0 不与 SKIPIF 1 < 0 轴平行，求 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值．
(第21题图)
22．（本题满分15分）已知函数 SKIPIF 1 < 0 既有极大值，又有极小值．
（Ⅰ）求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（Ⅱ）记 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值点，实数 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
2021年4月稽阳联考数学科试题卷答案
一、选择题：每小题4分，共40分。
1．C
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
2．D
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故选D
3．B
点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点是 SKIPIF 1 < 0 ，故选B
4．C
半圆锥加半圆柱，故体积为 SKIPIF 1 < 0
5． C
奇函数且 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，故选C
6．A
“ SKIPIF 1 < 0 ” SKIPIF 1 < 0 “ SKIPIF 1 < 0 ”，“ SKIPIF 1 < 0 ” SKIPIF 1 < 0 “ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ”，故选A
7．D
解析： SKIPIF 1 < 0
8．B
解析：（函数零点的根轴法）
SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0
9．B
解：设点 SKIPIF 1 < 0 ，分别联立两组直线方程可得 SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
10．A
解：取 SKIPIF 1 < 0 中点M，连 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，易得
SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故选：A
二、填空题：多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11．13， SKIPIF 1 < 0
弦为直角三角形斜边，内切圆半径为2
12． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
解析： SKIPIF 1 < 0
13．2， SKIPIF 1 < 0
由图可知，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
14． SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
15． SKIPIF 1 < 0
解析： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
16． SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 项系数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 项系数为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 项系数为 SKIPIF 1 < 0 ，所以公差为 SKIPIF 1 < 0
17． SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 如图所示，故面积为 SKIPIF 1 < 0
三、解答题：本大题共5小题，共74分。
18．满分14分。
（Ⅰ）由二倍角公式得
SKIPIF 1 < 0 ，
故
SKIPIF 1 < 0 ， ………………4分
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的对称中心是
SKIPIF 1 < 0 ． ………………6分
（Ⅱ）由 SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0 ， ………………8分
故
SKIPIF 1 < 0 ．
………………14分
19．满分15分。
（1）以A为原点，AB，AD为x,y轴建立如图空间直角坐标系
则 SKIPIF 1 < 0 ，取AB中点S，连FS
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
令面DMN的法向量为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 面DMN………………6分
（2）
SKIPIF 1 < 0
令面BCEF的法向量为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ………………15分
20．满分15分。
（Ⅰ）由 SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0 ，
解得
SKIPIF 1 < 0 ．………………5分
由 SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0 ，
解得
SKIPIF 1 < 0 ． ………………10分
（Ⅱ）由 SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 为单调递减且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0 ，
因此
SKIPIF 1 < 0 ，
故由 SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0 的最大值为44． ………………15分
21．满分15分。
（1） SKIPIF 1 < 0
设截得的弦为GH，圆心C到弦的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0 ，………………4分
SKIPIF 1 < 0 ………………6分
（2）由上题可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线AB的斜率存在且不等于0，设直线 SKIPIF 1 < 0 ，联立直线与抛物线方程得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ………………9分
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，………………12分
记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ． ………………15分
22．满分15分。
（Ⅰ）①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，不存在2个零点，故舍去；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得
SKIPIF 1 < 0 ．
下证，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 既有极大值，又有极小值．
由 SKIPIF 1 < 0 得，存在 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得，存在 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ，故
函数 SKIPIF 1 < 0 既有极大值，又有极小值．………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，故要证 SKIPIF 1 < 0 即证 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以只要证
SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，即证当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
综上， SKIPIF 1 < 0 ．………………15分
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
SKIPIF 1 < 0
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极小值
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极大值
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