2021年高考数学二轮复习课时跟踪检测17《圆锥曲线的方程与性质》小题练(含答案详解)

这是一份2021年高考数学二轮复习课时跟踪检测17《圆锥曲线的方程与性质》小题练(含答案详解)，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,20)=1的渐近线方程为( )
A.y=±eq \f(4,5)x B.y=±eq \f(5,4)x C.y=±eq \f(1,5)x D.y=±eq \f(2\r(5),5)x
已知椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)=1，若直线l经过M(0,1)，与椭圆交于A，B两点，且eq \(MA,\s\up7(―→))=－eq \f(2,3)eq \(MB,\s\up7(―→))，
则直线l的方程为( )
A.y=±eq \f(1,2)x＋1 B.y=±eq \f(1,3)x＋1 C.y=±x＋1 D.y=±eq \f(2,3)x＋1
已知直线l：y=2x＋3被椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)截得的弦长为7，有下列直线：
①y=2x－3; ②y=2x＋1; ③y=－2x－3；④y=－2x＋3.
其中被椭圆C截得的弦长一定为7的有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
已知双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点O，离心率为eq \r(3).若点M在C上，且MF1⊥MF2，M到原点的距离为eq \r(3)，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)=1 B.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)=1 C.x2－eq \f(y2,2)=1 D.y2－eq \f(x2,2)=1
设F是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的一个焦点，过F作双曲线一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于P，Q，若eq \(FP,\s\up7(―→))=3eq \(FQ,\s\up7(―→))，则双曲线的离心率为( )
A.eq \f(\r(6),2) B.eq \f(\r(5),2) C.eq \r(3) D.eq \f(\r(10),2)
已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的焦距为4eq \r(5)，渐近线方程为2x±y=0，则双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,16)=1 B.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)=1 C.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,64)=1 D.eq \f(x2,64)－eq \f(y2,16)=1
已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l.若射线y=2(x－1)(x≤1)与C，l分别交于P，Q两点，则eq \f(|PQ|,|PF|)=( )
A.eq \r(2) B.2 C.eq \r(5) D.5
抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.若抛物线y2=4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为( )
A.eq \f(4,3) B.－eq \f(4,3) C.±eq \f(4,3) D.－eq \f(16,9)
已知椭圆C的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,m2)=1(m>0)，如果直线y=eq \f(\r(2),2)x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为( )
A.2 B.2eq \r(2) C.8 D.2eq \r(3)
已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(3－\r(5),2) C.eq \f(－1＋\r(5),2) D.eq \f(\r(3)－1,2)
已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，若|MF1|－|MF2|=2b，该双曲线的离心率为e，则e2=( )
A.2 B.eq \f(\r(2)＋1,2) C.eq \f(3＋2\r(2),2) D.eq \f(\r(5)＋1,2)
已知双曲线C过点A(2eq \r(2)，eq \r(5))，渐近线为y=±eq \f(\r(5),2)x，抛物线M的焦点与双曲线C的右焦点F重合，Q是抛物线上的点P在直线x=－4上的射影，点B(4,7)，则|BP|＋|PQ|的最小值为( )
A.6 B.5eq \r(2) C.－1＋5eq \r(2) D.1＋5eq \r(2)
二、填空题
若直线2x－y＋c=0是抛物线x2=4y的一条切线，则c=________.
过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点.若|AF|=6，|BF|=3，
则p的值为________.
已知抛物线y2=4x的一条弦AB恰好以P(1,1)为中点，则弦AB所在直线的方程是_______.
已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，P是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2,4]，则eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))的最小值取值范围是______.
\s 0 参考答案
答案为：D；
解析：在双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,20)=1中，a=5，b=2eq \r(5)，∴其渐近线方程为y=±eq \f(2\r(5),5)x，故选D.
答案为：B；
解析：依题意，设直线l：y=kx＋1，点A(x1，y1)，B(x2，y2).
则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,\f(x2,9)＋\f(y2,5)＝1，))消去y，整理得(9k2＋5)x2＋18kx－36=0，
Δ=(18k)2＋4×36×(9k2＋5)>0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－\f(18k,9k2＋5)，,x1x2＝－\f(36,9k2＋5)，,x1＝－\f(2,3)x2，))
由此解得k=±eq \f(1,3)，即直线l的方程为y=±eq \f(1,3)x＋1，故选B.
答案为：C；
解析：易知直线y=2x－3与直线l关于原点对称，直线y=－2x－3与直线l关于x轴对称，直线y=－2x＋3与直线l关于y轴对称，故由椭圆的对称性可知，有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7.故选C.
答案为：C；
解析：由题意可知，OM为Rt△MF1F2斜边上的中线，所以|OM|=eq \f(1,2)|F1F2|=c.
由M到原点的距离为eq \r(3)，得c=eq \r(3)，又e=eq \f(c,a)=eq \r(3)，所以a=1，所以b2=c2－a2=3－1=2.
故双曲线C的方程为x2－eq \f(y2,2)=1.故选C.
答案为：C；
解析：不妨设F(－c,0)，过F作双曲线一条渐近线的垂线，可取其方程为y=eq \f(a,b)(x＋c)，
与y=－eq \f(b,a)x联立可得xQ=－eq \f(a2,c)，与y=eq \f(b,a)x联立可得xP=eq \f(a2c,b2－a2)，
∵eq \(FP,\s\up7(―→)) =3eq \(FQ,\s\up7(―→))，∴eq \f(a2c,b2－a2)＋c=3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a2,c)＋c))，∴a2c2=(c2－2a2)·(2c2－3a2)，
两边同时除以a4得，e4－4e2＋3=0，∵e>1，∴e=eq \r(3).故选C.
答案为：A；
解析：法一：易知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y=0，得eq \f(b,a)=2，因为双曲线的焦距为4eq \r(5)，所以c=2eq \r(5)，结合c2=a2＋b2，可得a=2，b=4，
所以双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,16)=1，故选A.
法二：易知双曲线的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y=0，
可设双曲线的方程为x2－eq \f(y2,4)=λ(λ>0)，即eq \f(x2,λ)－eq \f(y2,4λ)=1，因为双曲线的焦距为4eq \r(5)，
所以c=2eq \r(5)，所以λ＋4λ=20，λ=4，所以双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,16)=1，故选A.
答案为：C；
解析：由题意，知抛物线C：y2=4x的焦点F(1,0)，
设准线l：x=－1与x轴的交点为F1.过点P作直线l的垂线，垂足为P1(图略)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2x－1，x≤1，))得点Q的坐标为(－1，－4)，所以|FQ|=2eq \r(5).
又|PF|=|PP1|，所以eq \f(|PQ|,|PF|)=eq \f(|PQ|,|PP1|)=eq \f(|QF|,|FF1|)=eq \f(2\r(5),2)=eq \r(5)，故选C.
答案为：B；
解析：将y=1代入y2=4x，可得x=eq \f(1,4)，即Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1)).由抛物线的光学性质可知，
直线AB过焦点F(1,0)，所以直线AB的斜率k=eq \f(1－0,\f(1,4)－1)=－eq \f(4,3).故选B.
答案为：B；
解析：根据已知条件得c=eq \r(16－m2)，
则点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(16－m2)，\f(\r(2),2) \r(16－m2)))在椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,m2)=1(m>0)上，
∴eq \f(16－m2,16)＋eq \f(16－m2,2m2)=1，可得m=2eq \r(2).
答案为：B；
解析：由题意得，A(－a,0)，B(0，b)，
由在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，得点P是以点O为圆心，线段F1F2为直径的圆x2＋y2=c2与线段AB的切点，连接OP，则OP⊥AB，且OP=c，即点O到直线AB的距离为c.又直线AB的方程为y=eq \f(b,a)x＋b，整理得bx－ay＋ab=0，点O到直线AB的距离d=eq \f(ab,\r(b2＋a2))=c，两边同时平方整理得，a2b2=c2(a2＋b2)=(a2－b2)(a2＋b2)=a4－b4，可得b4＋a2b2－a4=0，
两边同时除以a4，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,a2)))2＋eq \f(b2,a2)－1=0，可得eq \f(b2,a2)=eq \f(－1＋\r(5),2)，
则e2=eq \f(c2,a2)=eq \f(a2－b2,a2)=1－eq \f(b2,a2)=1－eq \f(－1＋\r(5),2)=eq \f(3－\r(5),2)，故选B.
答案为：D；
解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝c2，,y＝\f(b,a)x，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝a2，,y2＝b2，))即点M(a，b)，
则|MF1|－|MF2|=eq \r(c＋a2＋b2)－eq \r(c－a2＋b2)=2b，
即eq \r(2c2＋2ca)－eq \r(2c2－2ca)=2eq \r(c2－a2)，eq \r(2e2＋2e)－eq \r(2e2－2e)=2eq \r(e2－1)，
化简得e4－e2－1=0，故e2=eq \f(\r(5)＋1,2)，故选D.
答案为：D；
解析：由题意，双曲线C的渐近线为y=±eq \f(\r(5),2)x，
故可设双曲线C的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,\r(5))))2=λ(λ≠0)，即eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)=λ(λ≠0).
又点A(2eq \r(2)，eq \r(5))在双曲线上，所以eq \f(2\r(2)2,4)－eq \f(\r(5)2,5)=λ，解得λ=1，
故双曲线C的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)=1，其右焦点为F(3,0)，
所以抛物线M的方程为y2=12x
.如图，作出抛物线M，其准线为x=－3，显然点B在抛物线的上方.
设PQ与直线x=－3交于点H，连接PF，则由抛物线的定义可得|PH|=|PF|，
所以|PQ|=|PH|＋|QH|=|PF|＋1，故|BP|＋|PQ|=|BP|＋|PF|＋1，
显然，当P为线段BF与抛物线的交点时，|BP|＋|PQ|取得最小值，
且最小值为|BF|＋1=eq \r(4－32＋72)＋1=5eq \r(2)＋1.
所以|BP|＋|PQ|的最小值为1＋5eq \r(2).故选D.
二、填空题
答案为：－4；
解析：由x2=4y，可得y′=eq \f(x,2)，由于直线2x－y＋c=0的斜率k=2，
因此令eq \f(x,2)=2，得x=4，代入x2=4y得y=4，
所以切点为(4,4)，代入切线方程可得8－4＋c=0，故c=－4.
答案为：4；
解析：设抛物线C的准线交x轴于点F′，分别过A，B作准线的垂线，
垂足为A′，B′(图略)，设直线AB交准线于点C，
则|AA′|=|AF|=6，|BB′|=|BF|=3，|AB|=9，|FF′|=p，eq \f(|BB′|,|AA′|)=eq \f(|BC|,|AC|)，
即eq \f(3,6)=eq \f(|BC|,|BC|＋9)，解得|BC|=9，又eq \f(|BB′|,|FF′|)=eq \f(|BC|,|CF|)，即eq \f(3,p)=eq \f(9,12)，解得p=4.
答案为：2x－y－1=0；
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，则y1＋y2=2，又点A，B在抛物线y2=4x上，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝4x1，,y\\al(2,2)＝4x2，))两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)=4(x1－x2)，则eq \f(y1－y2,x1－x2)=eq \f(4,y1＋y2)=2，
即直线AB的斜率k=2，所以直线AB的方程为y－1=2(x－1)，即2x－y－1=0.
答案为：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(15,16)，－\f(3,4)))；
解析：设P(m，n)，则eq \f(m2,a2)－eq \f(n2,b2)=1，即m2=a2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(n2,b2))).
又F1(－1,0)，F2(1,0)，则eq \(PF1,\s\up7(―→))=(－1－m，－n)，eq \(PF2,\s\up7(―→))=(1－m，－n)，
eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))=n2＋m2－1=n2＋a2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(n2,b2)))－1=n2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(a2,b2)))＋a2－1≥a2－1，
当且仅当n=0时取等号，所以eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))的最小值为a2－1.
由2≤eq \f(1,a)≤4，得eq \f(1,4)≤a≤eq \f(1,2)，故－eq \f(15,16)≤a2－1≤－eq \f(3,4)，
即eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))的最小值的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(15,16)，－\f(3,4))).