2021届江苏省南京市、盐城市高三第二次模拟考试数学试题（word解析版）

这是一份2021届江苏省南京市、盐城市高三第二次模拟考试数学试题（word解析版），共18页。试卷主要包含了计算所得的结果为，密位制是度量角的一种方法等内容，欢迎下载使用。

南京市、盐城市2021届高三年级第二次模拟考试
数 学
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．53米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
第 I 卷 (选择题 共60分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝3＋4i，则z1z2＝
A．25 B．－25 C．7－24i D．－7－24i
2．设集合A，B是全集U的两个子集，则“A∩B＝”是“AB”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知a，b是相互垂直的单位向量，与a，b共面的向量c满足a×c＝b×c＝2，则c的模为A．1 B． C．2 D．
4．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长．当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N人中有V个人接种过疫苗称为接种率)，那么1个感染者新的传染人数为．已知新冠病毒在某地的基本传染数＝2.5，为了使1个感染者传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为
A．40% B．50% C．60% D．70%
5．计算所得的结果为
A．1 B． C． D．2
6．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78．1周角等于6000密位，记作1周角＝60－00，1直角＝15－00．如果一个半径为2的扇形，它的面积为，则其圆心角用密位制表示为
A．12－50 B．17－50 C．21－00 D．35－00
7．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为θ的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且若|AB|＝|AF1|，则双曲线C的离心率为
A．4 B． C． D．2
8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，其导函数为f′(x)，且当x＞0时，，则不等式的解集为
A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(0，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(1，＋∞)
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．对于两条不同直线m，n和两个不同平面α，β，下列选项中正确的为
A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n B．若m//α，n//β，α⊥β，则m⊥n或m//n
C．若m//α，α//β，则m//β或m⊂β D．若m⊥α，m⊥n，则n//α或nÌα
10．已知a＞b＞0，下列选项中正确的为
A．若－＝1，则a－b＜1 B．若a2－b2＝1，则a－b＜1
C．若－＝1，则a－b＜1 D．若，则a－b＜1
11．已知函数则
A．f(x)是周期函数 B．f(x)的图象必有对称轴
C．f(x)的增区间为 D．f(x)的值域为
12．已知，n≥2，p＋q＝1，设，其中k∈N，k≤2n，则
A． B．
C．若np＝4，则f(k)≤f(8) D．
第II卷 (非选择题 共90分)
三，填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．某班4名同学去参加3个社团，每人只参加1个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有 ▲ 种．(用数字填写答案)
4．已知椭圆的右顶点为A，右焦点为F，以A为圆心，R为半径的圆与椭圆相交于B，C两点，若直线BC过点F，则R的值为 ▲ ．
15．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，且PA＝2．若点E、F分别为AB，AD的中点，则直线EF被四棱锥P－ABCD的外接球所截得的线段长为 ▲ ．
16．牛顿选代法又称牛顿—拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r是函数y＝f(x)的一个零点，任意选取x0作为r的初始近似值，过点作曲线y＝f(x)的切线l1，设l1与x轴交点的横坐标为x1，并称x1为r的1次近似值；过点作曲线y＝f(x)的切线l2，设l2与x轴交点的横坐标为x2，称x2为r的2次近似值．一般的，过点(xn，f(xn))(n∈N)作曲线y＝f(x)的切线ln+1，
记ln+1与x轴交点的横坐标为xn+1，并称xn+1为r的的n＋1次近似值．设(x≥0)的零点为r，取x0＝0，则r的2次近似值为 ▲ ；设，n∈N*，数列的前n项积为Tn．若任意n∈N*，Tn＜λ恒成立，则整数λ的最小值为 ▲ ．


四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
在①b＝a；②a＝3cosB；③asinC＝1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问
题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且，c＝3， ▲ ？






18．(本小题满分12分)
已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，其中r为常数．
(1)求r的值；
(2)设，若数列{bn}中去掉数列{an}的项后余下的项按原来的顺序组成数列{cn}，求的值．















19．(本小题满分12分)
某公司对项目A进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：
项目A投资金额x
(单位：百万元)
1
2
3
4
5
所获利润y
(单位：百万元)
0.3
0.3
0.5
0.9
1
(1)请用线性回归模型拟合y与x的关系，并用相关系数加以说明；
(2)该公司计划用7百万元对A，B两个项目进行投资．若公司对项目B投资x(1≤x≤6)百万
元所获得的利润y近似满足：，求A，B两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大?
附：①对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，……，(xn，yn)，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．
②线性相关系数．一般地，相关系数r的绝对值在0.95以上(含0.95)认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．
参考数据：对项目A投资的统计数据表中，，≈2.1．












20．(本小题满分12分)
如图，三棱柱的所有棱长都为2，B1C＝，
(1)求证：平面平面ABC；
(2)若点P在棱上且直线CP与平面所成角的正弦值为，求BP的长





21．(本小题满分12分)
已知直线l：y＝x＋m交抛物线C：于A，B两点．
(1)设直线l与x轴的交点为T．若＝2，求实数m的值；
(2)若点M，N在抛物线C上，且关于直线l对称，求证：A，B，M，N四点共圆．






22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝－axsinx－x－1，x∈，a∈R．
(1)当a＝时，求证：f(x)≥0；
(2)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围．



南京市、盐城市2021届高三年级第二次模拟考试
数 学
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．53米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
第 I 卷 (选择题 共60分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝3＋4i，则z1z2＝
A．25 B．－25 C．7－24i D．－7－24i
答案：A
解析：，，．
2．设集合A，B是全集U的两个子集，则“A∩B＝”是“AB”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：可以通过画韦恩图的方法判断，选C．
3．已知a，b是相互垂直的单位向量，与a，b共面的向量c满足a×c＝b×c＝2，则c的模为A．1 B． C．2 D．
答案：D
解析：．
4．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长．当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N人中有V个人接种过疫苗称为接种率)，那么1个感染者新的传染人数为．已知新冠病毒在某地的基本传染数＝2.5，为了使1个感染者传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为
A．40% B．50% C．60% D．70%
答案：C
解析：．
5．计算所得的结果为
A．1 B． C． D．2
答案：C
解析：．
6．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78．1周角等于6000密位，记作1周角＝60－00，1直角＝15－00．如果一个半径为2的扇形，它的面积为，则其圆心角用密位制表示为
A．12－50 B．17－50 C．21－00 D．35－00
答案：B
解析：．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为θ的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且若|AB|＝|AF1|，则双曲线C的离心率为
A．4 B． C． D．2
答案：D
解析：，，

．
8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，其导函数为f′(x)，且当x＞0时，，则不等式的解集为
A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(0，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(1，＋∞)
答案：B
解析：，，在(0，)单调递增，，
所以(0，1)，，(1，)，，
所以不等式的解集为(，﹣1)(0，1)
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．对于两条不同直线m，n和两个不同平面α，β，下列选项中正确的为
A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n B．若m//α，n//β，α⊥β，则m⊥n或m//n
C．若m//α，α//β，则m//β或m⊂β D．若m⊥α，m⊥n，则n//α或nÌα
答案：ACD
解析：对于B，在正方体ABCD—A1B1C1D1，取面为平面ABCD，面为平面ADD1A1，直线m为D1B1，n为B1C，此时m，n夹角为，即B错误．其他选项均正确，故选ACD．
10．已知a＞b＞0，下列选项中正确的为
A．若－＝1，则a－b＜1 B．若a2－b2＝1，则a－b＜1
C．若－＝1，则a－b＜1 D．若，则a－b＜1
答案：BC
解析：∵，∴，即A错误；
取a＝4，b＝2，则，此时，即D错误．
综上选BC．
11．已知函数则
A．f(x)是周期函数 B．f(x)的图象必有对称轴
C．f(x)的增区间为 D．f(x)的值域为
答案：ABD
解析：对于A，因为，所以是的周期，即A正确；
对于B，因为，所以直线是的图像的对称轴，即B正确；
对于C，由A可知，是的周期，所以的单调区间长度必然小于，即C错误；
对于D，因为，当且仅当时取等，且，当且仅当时取等，即D正确．
12．已知，n≥2，p＋q＝1，设，其中k∈N，k≤2n，则
A． B．
C．若np＝4，则f(k)≤f(8) D．
答案：AC
解析：对于A，易知，即A正确；
对于B，设随机变量，则，即B错误；
对于C，设随机变量，则，所以，即C正确；
对于D，当时，，即D错误．
第II卷 (非选择题 共90分)
三，填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．某班4名同学去参加3个社团，每人只参加1个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有 ▲ 种．(用数字填写答案)
答案：36
解析：种．
14．已知椭圆的右顶点为A，右焦点为F，以A为圆心，R为半径的圆与椭圆相交于B，C两点，若直线BC过点F，则R的值为 ▲ ．
答案：
解析：A(2，0)，F(1，0)，且，所以，则．
15．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，且PA＝2．若点E、F分别为AB，AD的中点，则直线EF被四棱锥P－ABCD的外接球所截得的线段长为 ▲ ．
答案：
解析：已知外接球球心O为PC的中点，且，则球的半径，过O作OH⊥平面ABCD，过H作HM⊥EF，垂足分别为H，M，则，
，则O到直线EF的距离，
所以直线EF被球截得的线段长．
16．牛顿选代法又称牛顿—拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r是函数y＝f(x)的一个零点，任意选取x0作为r的初始近似值，过点作曲线y＝f(x)的切线l1，设l1与x轴交点的横坐标为x1，并称x1为r的1次近似值；过点作曲线y＝f(x)的切线l2，设l2与x轴交点的横坐标为x2，称x2为r的2次近似值．一般的，过点(xn，f(xn))(n∈N)作曲线y＝f(x)的切线ln+1，
记ln+1与x轴交点的横坐标为xn+1，并称xn+1为r的的n＋1次近似值．设(x≥0)的零点为r，取x0＝0，则r的2次近似值为 ▲ ；设，n∈N*，数列的前n项积为Tn．若任意n∈N*，Tn＜λ恒成立，则整数λ的最小值为 ▲ ．
答案：；2
解析：，设切点为，则切线斜率，
所以切线方程为，则，
因为，所以，即r的2次近似值为，
因为，所以，所以，
又易知，所以，即的最小整数为2．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
在①b＝a；②a＝3cosB；③asinC＝1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问
题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且，c＝3， ▲ ？
解：选①，



所以，
．

18．(本小题满分12分)
已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，其中r为常数．
(1)求r的值；
(2)设，若数列{bn}中去掉数列{an}的项后余下的项按原来的顺序组成数列{cn}，求的值．
解：（1）时，因为是等比所以
；
（2），

．

19．(本小题满分12分)
某公司对项目A进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：
项目A投资金额x
(单位：百万元)
1
2
3
4
5
所获利润y
(单位：百万元)
0.3
0.3
0.5
0.9
1
(1)请用线性回归模型拟合y与x的关系，并用相关系数加以说明；
(2)该公司计划用7百万元对A，B两个项目进行投资．若公司对项目B投资x(1≤x≤6)百万
元所获得的利润y近似满足：，求A，B两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大?
附：①对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，……，(xn，yn)，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．
②线性相关系数．一般地，相关系数r的绝对值在0.95以上(含0.95)认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．
参考数据：对项目A投资的统计数据表中，，≈2.1．
解：（1），

相关性强；
（2）

当且仅当时取等．

20．(本小题满分12分)
如图，三棱柱的所有棱长都为2，B1C＝，
(1)求证：平面平面ABC；
(2)若点P在棱上且直线CP与平面所成角的正弦值为，求BP的长

解：（1）取AB中点D，连接CD，B1D，因为所有棱长为2，
所以上下为等边三角形，侧面为菱形，

所以B1A＝BB1，△ABB1是等边三角形，所以B1D＝，
又因为CD＝，B1C＝，所以B1D⊥CD，又ABCD＝D
所以B1D⊥面ABC，，所以面ABB1A1⊥面ABC．
（2）如图建系
设面法向量为，
设

所以BP＝．

21．(本小题满分12分)
已知直线l：y＝x＋m交抛物线C：于A，B两点．
(1)设直线l与x轴的交点为T．若＝2，求实数m的值；
(2)若点M，N在抛物线C上，且关于直线l对称，求证：A，B，M，N四点共圆．
解：（1），设
因为，即，
所以，

，得：m＜1，
，则：
（2）设，则MN的中点
因为M，N关于直线l对称，所以，
由（1）知：
其中


所以，故M在以AB为直径的圆上，
同理，N也在以AB为直径的圆上，所以A，B，M，N四点共圆．

22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝－axsinx－x－1，x∈，a∈R．
(1)当a＝时，求证：f(x)≥0；
(2)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围．
解：（1）证明：时，

令

故在上单调递增，所以，
即，所以在上单调递增
所以，证毕；
（2）①时，因为，所以，所以
所以，所以，
由（1）知：时，，
时，
故时，在仅有一个零点0，与题意不符；
②时，
，则在上恰有一个零点，

，，又，即，
使
所以单调减，在单调递增，
当，则单调递增，又
所以上有唯一零点m，所以递减，在递增，
又故恰有一个零点，
综上，在上有两个零点．