2021届江苏省南京市、盐城市高三下学期数学3月第二次模拟考试试卷及答案

这是一份2021届江苏省南京市、盐城市高三下学期数学3月第二次模拟考试试卷及答案，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三下学期数学3月第二次模拟考试试卷
一、单项选择题
1.设复数 在复平面内的对应点关于实轴对称， 那么 〔    〕
A. 25                                  B. -25                                  C.                                   D. 



2.设集合 、 是全集 的两个子集，那么“ 〞是“ 〞的〔    〕
A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件
3. 是相互垂直的单位向量，与 共面的向量 满足 那么 的模为〔    〕
A. 1                                         B.                                          C. 2                                         D. 



4.在流行病学中，根本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当根本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长．当根本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的根本传染数．假设某种传染病的根本传染数为 ，1个感染者在每个传染期会接触到 个新人，这 人中有 个人接种过疫苗( 称为接种率)，那么1个感染者新的传染人数为 ．新冠病毒在某地的根本传染数 为了使1个感染者传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为〔    〕
A. 40%                                     B. 50%                                     C. 60%                                     D. 70%



5.计算 所得的结果为〔    〕
A. 1                                         B.                                          C.                                          D. 2



6.密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做 密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“ 〞，478密位写成“ 〞，1周角等于6000密位，记作1周角 ， 直角 ．如果一个半径为2的扇形，它的面积为 ，那么其圆心角用密位制表示为〔    〕
A. 12-50                                 B. 17-50                                 C. 21-00                                 D. 35-00



7.双曲线 的左、右焦点分别为 ，过点 作倾斜角为 的直线 交双曲线 的右支于 两点，其中点 在第一象限，且 假设 ，那么双曲线 的离心率为〔    〕
A. 4                                         B.                                          C.                                          D. 2



8. 是定义在 上的奇函数，其导函数为 且当 时， ，那么不等式 的解集为〔    〕
A.               B. 

              C.               D. 



二、多项选择题
9.对于两条不同直线 和两个不同平面 ，以下选项中正确的为〔    〕
A. 假设 ，那么                   B. 假设 ，那么 或


C. 假设 ，那么 或               D. 假设 ，那么 或



10. ，以下选项中正确的为〔    〕
A. 假设 ，那么
B. 假设 ，那么


C. 假设 ，那么
D. 假设 ，那么



11.函数 ，那么〔    〕
A. 是周期函数
B. 的图象必有对称轴


C. 的增区间为
D. 的值域为



12. ， 设 ，其中 那么〔    〕
A.                                                         B. 


C. 假设 ，那么                                 D. 



三、填空题
13.某班4名同学去参加3个社团，每人只参加1个社团，每个社团都有人参加，那么满足上述要求的不同方案共有________种．(用数字填写答案)
14.椭圆 的右顶点为 右焦点为 以 为圆心， 为半径的圆与椭圆相交于 两点，假设直线 过点 那么 的值为________．
15.在四棱锥 中， 面 四边形 是边长为2的正方形，且 ．假设点 分别为 的中点，那么直线 被四棱锥 的外接球所截得的线段长为________．
16.牛顿选代法又称牛顿—拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设 是函数 的一个零点，任意选取 作为 的初始近似值，过点 作曲线 的切线 ，设 与 轴交点的横坐标为 ，并称 为 的1次近似值；过点 作曲线 的切线 ，设 与 轴交点的横坐标为 ，称 为 的2次近似值．一般的，过点 作曲线 的切线 ，记 与 轴交点的横坐标为 ，并称 为 的 次近似值．设 的零点为 ，取 ，那么 的 次近似值为________；设 ， 数列 的前 项积为 ．假设任意 恒成立，那么整数 的最小值为________．
四、解答题
17.在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．假设问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；假设问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ，    ▲   ？
18.等比数列 的前 项和 其中 为常数．
〔1〕求 的值；
〔2〕设 ，假设数列 中去掉数列 的项后余下的项按原来的顺序组成数列 ，求 的值．
19.某公司对工程进 行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：
工程 投资金额 〔单位：百万元〕
1
2
3
4
5
所获利润 〔单位：百万元〕




1
附：①对于一组数据 、 、 、 ，其回归直线方程 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， ．
②线性相关系数 ．一般地，相关系数 的绝对值在0.95以上〔含0.95〕认为线性相关性较强；否那么，线性相关性较弱．
参考数据：对工程 投资的统计数据表中 ， ， ．
〔1〕请用线性回归模型拟合 与 的关系，并用相关系数加以说明；
〔2〕该公司方案用 百万元对 、 两个工程进行投资．假设公司对工程 投资 百万元所获得的利润 近似满足： ，求 、 两个工程投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？
20.如图，三棱柱 的所有棱长都为

〔1〕求证：平面 平面 ；
〔2〕假设点 在棱 上且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长
21.直线 交抛物线 于 两点．
〔1〕设直线 与 轴的交点为 ．假设 ，求实数 的值；
〔2〕假设点 在抛物线 上，且关于直线 对称，求证： 四点共圆．
22.函数 ， ．
〔1〕当 时，求证： ；
〔2〕假设函数 有两个零点，求 的取值范围．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】复数 在复平面内的对应点关于实轴对称，
那么 ，所以 。
故答案为：A

【分析】利用条件结合复数的几何意义，再结合点与点关于实轴对称的判断方法，进而求出， 进而结合复数的乘法运算法那么，从而求出复数。
2.【解析】【解答】如下列图，

，
同时 .
应选:C.
【分析】作出韦恩图，数形结合，即可得出结论.
3.【解析】【解答】 是相互垂直的单位向量，
不妨设 ， ，
设 ，由
可得 ，即 ，
那么 的模为 。
故答案为：D

【分析】利用 是相互垂直的单位向量，再利用单位向量的定义结合两向量垂直数量积为0，不妨设 ， ，设 ，由 再结合数量积的坐标表示，进而求出， 再利用向量的模的求解公式，进而求出向量 的模 。
4.【解析】【解答】由题意可得： 。
故答案为：C.

【分析】利用实际问题的条件得出， 进而求， 从而求出该地疫苗至少的接种率。
5.【解析】【解答】
。
故答案为：C

【分析】利用两角差的余弦公式化简求出 的结果。
6.【解析】【解答】设扇形所对的圆心角为 ， 所对的密位为 ，那么 ，解得 ，
由题意可得 ，解得 ，
因此，该扇形圆心角用密位制表示为17-50。
故答案为：B.

【分析】利用密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做 密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制，再利用条件解得，进而求出该扇形圆心角用密位制表示为17-50。
7.【解析】【解答】由双曲线的定义知， ，
因为 ，即 ，
所以 ，

在 中，由余弦定理知， ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，解得 或 〔舍去〕
所以双曲线的离心率为2。
故答案为：D.

【分析】由双曲线的定义结合 ，所以 ，在 中，由余弦定理结合条件 进而得出， 再利用双曲线的离心率公式变形求出双曲线的离心率。
8.【解析】【解答】设 ，那么 ，所以 在 上递增，
又因为 ，所以 时， ，此时 ，所以 ，
时， ，此时， ，所以 ，
所以 时， ，
因为 是奇函数，所以 时， ，
由 得 或 ，所以 或 。
故答案为：B．

【分析】设 ，再利用求导的方法判断函数g(x)的单调性，又因为 ，所以 时， ，此时 ，所以 ，时， ，此时， ，所以 ，所以 时， ，再利用奇函数的定义结合同号为正、异号为负的性质，从而求出不等式 的解集。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】假设 ， 的方向向量是 的法向量， 的方向向量是 的法向量， ，那么 的方向向量垂直，所以 的方向向量与 的方向向量垂直，那么 ，A符合题意；
假设 ， 可平行，可相交，可异面，不一定垂直，B不符合题意；
假设 ，那么 或 ， 与 不相交，C符合题意；
假设 ，那么 或 ， 与 不相交，D符合题意．
故答案为：ACD．

【分析】利用条件结合线线垂直的判断方法、线线平行的判断方法、线面平行的判定定理合直线与平面的位置关系判断方法，进而找出选项正确的选项。
10.【解析】【解答】A不符合题意，例如 满足 ，便 ；
B符合题意， ， ，又 ，所以 ，而 ，所以 ；
C符合题意，设 ， ， ，那么 ， ，
所以 ，即 ．
D不符合题意， ， ， ，所以 ， 不一定成立．
故答案为：BC．

【分析】利用条件结合不等式的根本性质、平方差公式、指数的运算性质和对数的运算性质，进而找出正确的选项。
11.【解析】【解答】对A， ，故 是 的周期，A符合题意；
对B， ，故 关于 轴对称，B符合题意；
对C，当 时，区间为 ， ， ，故 在 不单调递增，C不符合题意；
对D，由AB可得 ，那么 关于 对称，且周期为 ，
故 的值域即为 在 的取值范围，此时 ，
， ， ， ，
可知 在 单调递增，
， ，故 的值域为 。
故答案为：ABD.

【分析】利用正切函数的定义、图象的对称性、增函数的定义判断函数的单调性，进而求出对应的单调递增区间、再利用函数的值域的求解方法，再结合绝对值的定义，从而找出正确的选项。
12.【解析】【解答】A． ，A符合题意；
B． ，
所以
〔除非 〕，B不符合题意；
C．设 是 中最大项，
，即 ，
注意到 ， ，又 ，
不等式组可解为 ，所以 ，所以 ，C符合题意；
D．例如 时， ， ，
，D不符合题意．
故答案为：AC．

【分析】利用 ， 设 ，其中 再利用组合数与排列数的关系式结合求和方法，再利用最大项求解方法合特殊值排除法，进而找出满足要求的选项。
三、填空题
13.【解析】【解答】由题意得：有一个社团去2个人，
先从3个社团中选一个去2个人有 种方案，
其余2个人去剩下的两个社团有 =2种方案，
所以满足上述要求的不同方案共有 种。
故答案为：36。

【分析】利用条件结合组合数公式和排列数公式，再利用分步乘法计数原理，进而求出满足要求的不同方案的种数。
14.【解析】【解答】由 ， ，因为 过焦点 ，所以由对称性知 轴，所以 ， ，所以 。
故答案为： 。

【分析】 椭圆 的右顶点为 右焦点为 再结合椭圆的标准方程，进而求出点A,F的坐标，因为 过焦点 ，所以由对称性知 轴，再利用圆与椭圆相交联立二者方程求出B,C两点的距离，再利用两点距离公式求出点A,F的距离，再结合勾股定理求出圆的半径的长。
15.【解析】【解答】如下列图：

因为 面 四边形 是正方形，
所以 均为以 为斜边的直角三角形，
所以外接球的球心O为PC的中点，
那么 ,
取EF的中点G,
因为 ，
所以 ，那么 ，
所以 ，
所以球心到直线的距离为 ，
所以 ，
所以所截得的线段长为 。
故答案为： 。

【分析】因为 面 四边形 是正方形，所以 均为以 为斜边的直角三角形，所以外接球的球心O为PC的中点，再利用中点的性质结合勾股定理，进而求出球的半径，取EF的中点G,因为 ，所以 ，再利用对应边成比例得出两三角形相似，那么 ，所以 ，再利用勾股定理求出球心到直线的距离，再利用弦长公式求出直线 被四棱锥 的外接球所截得的线段长。
16.【解析】【解答】〔1〕
，所以
当 ，所以
当 进而求出 的 次近似值为;
〔2〕



因为
所以， 为整数，
故答案为： ；2。

【分析】因为 再利用求导的方法求出函数在切点处的切线斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再利用点斜式求出切线的方程，从而得出当 时得出当 ， 进而求出 的 次近似值 ；因为再利用求导的方法求出函数在切点处的切线斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再利用点斜式求出切线的方程，进而得出：， 从而推出， 所以， 再利用求积的方法，进而求出数列 的前 项积 ， 因为 ， 所以为整数，进而求出 整数 的最小值 。
四、解答题
17.【解析】【分析】 在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个，补充问题中，再利用三角形内角和为180度的性质结合诱导公式，再结合两角和的正弦公式合三角形中角C的取值范围，进而求出角A的余弦值，再利用三角形中角A的取值范围，进而求出角A的值。 选择①： 利用条件结合正弦定理结合三角形中角B的取值范围，再利用分类讨论的方法结合三角形内角和为180度的性质求出角C的值，再结合三角形面积公式求出三角形 的面积； 选择②： 利用条件结合余弦定理求出角C的值，再利用三角形内角和为180度的性质求出角A的值，再利用余弦函数和正弦函数的定义，进而求出a,b的值，再结合三角形面积公式求出三角形 的面积； 选择③： 利用条件结合正弦定理得 ，这与 矛盾，所以 不存在。
 
18.【解析】【分析】〔1〕利用两种方法求解。 方法1：利用条件结合与的关系式，再利用等比数列的通项公式， 再利用分类讨论的方法，进而求出r的值。方法2：利用条件结合与的关系式，再利用分类讨论的方法结合等比数列的通项公式，进而求出r的值。
〔2〕利用〔1〕求出的r的值求出等比数列 的通项公式，再利用 ， 进而求出数列的通项公式，再利用数列 中去掉数列 的项后余下的项按原来的顺序组成数列 ，进而求出数列 ，再利用分组求和的方法结合等差数列前n项和公式，进而求出 的值 。
 
19.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合最小二乘法，进而求出线性回归方程，再利用相关系数推出投资金额 与所获利润 之间的线性相关关系较强，用线性回归方程 对该组数据进行拟合合理。
〔2〕利用条件设对 工程投资 百万元，那么对 工程投资 百万元，所获总利润 ，再利用均值不等式求最值的方法，进而求出对A、B工程分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大 。
20.【解析】【分析】〔1〕 取 中点 连接 ， 因为三棱柱 的所有棱长都为 所以 ，又因为 再利用线线垂直证出线面垂直， 所以 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直， 所以 ， 在直角三角形 中结合条件和勾股定理求出 ， 在三角形 中结合条件和勾股定理， 进而证出线线垂直，所以 又因为 再利用线线垂直证出线面垂直， 所以 平面 ，再利用线面垂直证出面面垂直，即证出平面 平面 。
〔2〕 以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，因为点 在棱 上，那么设 ，其中 ，再利用数量积求向量夹角公式，进而结合诱导公式求出直线 与平面 所成角的正弦值，再利用条件直线 与平面 所成角的正弦值为 ， 进而解一元二次方程求出的值，从而求出 的长 。
21.【解析】【分析】〔1〕利用直线 交抛物线 于 两点，联立二者方程结合韦达定理，得出 ， 再利用判别式法求出m的取值范围，再利用直线 与 轴的交点为 ， 将联立两直线方程求交点的方法求出点T的坐标，再利用条件 结合共线的坐标表示 ，进而解得 从而 ，因为 进而求出m的值。
〔2〕 设 ， 因为点 在抛物线 上，且关于直线 对称，再利用两点关于直线对称的求解方法， 所以 ， 再利用数量积的坐标表示求出数量积
 为0，再利用数量积为0两向量垂直，进而证出，同理 于是点 在以 为直径的圆上，即 四点共圆。
22.【解析】【分析】〔1〕利用a的值求出函数f(x)的解析式，再利用导数的运算法那么求出导函数，即
设 ， 因为 ， 再利用求导的方法判断函数即 在 上的单调性，于是 ，因此推出函数 在 上的单调性，进而求出函数的最小值，从而证出不等式 成立。
〔2〕 由〔1〕知，当 时， ， 当且仅当 时取等号，此时函数 仅有 个零点，当 时，因为 ，再利用导数的运算法那么求出导函数，即，设 ，再利用求导的方法结合分类讨论的方法，进而判断出函数的单调性， 即 的单调性，又因为 ，因此 在 上存在唯一的零点 ，且 ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数f(x)的单调性，又因为 所以 在 上存在唯一零点，因此 在 上有两个零点，进而求出实数a的取值范围。