江苏省南京市2020-2021学年高一第一学期期末学情调研数学试卷

这是一份江苏省南京市2020-2021学年高一第一学期期末学情调研数学试卷，共19页。

南京市2020－2021学年度第一学期期末学情调研试卷
高 一 数 学 2021.01
注意事项：
1．本试卷包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分。本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置。
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．若角α的终边经过点P(3，a)(a≠0)，则
A．sinα＞0 B．sinα＜0 C．cosα＞0 D．cosα＜0
2．记函数y＝的定义域为A，函数y＝ln(x－1)的定义域为B，则A∩B＝
A．(1，2) B．(1，2] C．(－2，1) D．[－2，1)
3．设实数x满足x＞0，函数y＝2＋3x＋的最小值为
A．4－1 B．4＋2 C．4＋1 D．6
4．已知a，b，m都是负数，且a＜b，则
A．＜ B．＜ C．a＋m＞b＋m D．＞
5．有一组实验数据如下表所示：
t
1.9
3.0
4.0
5.1
6.1
v
1.5
4.0
7.5
12.0
18.0

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是
A．v＝2t－2 B．v＝ C．v＝log0.5t D．v＝log3t
6．若函数f(x)＝sin2x与g(x)＝2cosx都在区间(a，b)上单调递减，则b－a的最大值是
A． B． C． D．
B
－π
π
1
y
x
O
A
x
－π
π
1
y
O
D
1
－π
π
O
x
y
x
C
－π
π
1
y
O
7．函数f(x)＝ 在[－π，π]上的图象大致为










8．若函数f(x)同时满足：①定义域内存在实数x，使得f(x)·f(－x)＜0；②对于定义域内任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0；则称函数f(x)为“DM函数”．下列函数中是“DM函数”的为
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝sinx C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝lnx
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分．
9．关于函数f(x)＝tan2x，下列说法中正确的是
A．最小正周期是 B．图象关于点(，0)对称
C．图象关于直线x＝对称 D．在区间(－，)上单调递增
10．已知曲线C1：y＝sinx，C2：y＝sin(2x＋)，下列说法中正确的是
A．把C1向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到C2
B．把C1向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到C2
C．把C1上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到C2
D．把C1上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到C2
11．我们知道，如果集合AS，那么S的子集A的补集为 ∁sA＝{x|x∈S，且xÏA}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且xÏB}叫作集合A与B的差集，
记作A－B．据此，下列说法中正确的是
A．若AB，则A－B＝Æ B．若BA，则A－B＝A
C．若A∩B＝Æ，则A－B＝A D．若A∩B＝C，则A－B＝A－C
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y＝[x]也被称为“高斯函数”，例如：[－3.5]＝－4，
[2.1]＝2．已知函数f(x)＝[x＋1]－x，下列说法中正确的是
A．f(x)是周期函数 B．f(x)的值域是(0，1]
C．f(x)在(0，1)上是增函数 D．" x∈R，[f(x)]＝0
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．已知幂函数y＝xα的图象过点(2，)，则α的值为 ▲ ．
14．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝3a，则a的值为 ▲ ．
15．已知sin(α＋)＝，则sin(－α)＋sin2(－α)的值为 ▲ ．
16．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级(M)是用据震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式为M＝lgA－lgA0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的 ▲ 倍(精确到1)．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知集合A＝{x|＜1}，B＝{x|2x2＋(m－2)x－m＜0}．
（1）当m＝1时，求A∪B；
（2）已知“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围．

18．（本小题满分12分）
已知sin(π＋α)cos(π－α)＝，且0＜α＜．
（1）求cosα＋cos(＋α)的值；
（2）求tanα的值．




19．（本小题满分12分）
（1）计算：2＋(0.125)＋log9；
（2）已知a＝log0.43，b＝log43，求证：ab＜a＋b＜0．





20．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝x|x－a|为R上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）若不等式f(sin2x)＋f(t－2cosx)≥0对任意x∈[，]恒成立，求实数t的最小值．







21．（本小题满分12分）
如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t(单位：s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h(单位：cm)由关系式h＝Asin(ωt＋)确定，其中A＞0，ω＞0，t∈[0，＋∞)．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s．且最高点与最低点间的距离为10 cm．
（1）求小球相对平衡位置的高度h(单位：cm)和时间t(单位：s)之间的函数关系；
（2）小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次，求t0的取值范围．
（第21题图）








22．（本小题满分12分）
对于定义在D上的函数f(x)，如果存在实数x0，使得f(x0)＝x0，那么称x0是函数f(x)的一个不动点．已知f(x)＝ax2＋1．
（1）当a＝－2时，求f(x)的不动点；
（2）若函数f(x)有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2．
①求实数a的取值范围；
②设g(x)＝loga[f(x)－x]，求证：g(x)在(a，＋∞)上至少有两个不动点．







南京市2020－2021学年度第一学期期末学情调研试卷
高 一 数 学 2021.01
注意事项：
1．本试卷包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分。本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置。
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．若角α的终边经过点P(3，a)(a≠0)，则
A．sinα＞0 B．sinα＜0 C．cosα＞0 D．cosα＜0
【答案】C
【考点】三角函数的定义、在各象限的符号
【解析】由三角函数的定义可知，sinα符号不确定，cosα，故答案选C.
2．记函数y＝的定义域为A，函数y＝ln(x－1)的定义域为B，则A∩B＝
A．(1，2) B．(1，2] C．(－2，1) D．[－2，1)
【答案】B
【考点】定义域的求解、集合的交集
【解析】由题意，，所以A∩B＝(1，2]，故答案选B.
3．设实数x满足x＞0，函数y＝2＋3x＋的最小值为
A．4－1 B．4＋2 C．4＋1 D．6
【答案】A
【考点】利用基本不等式求最值
【解析】由题意x＞0，所以x+1＞0，所以y＝2＋3x＋
，当且仅当，即时等号成立，所以函数y＝2＋3x＋的最小值为4－1，故答案选A.
4．已知a，b，m都是负数，且a＜b，则
A．＜ B．＜ C．a＋m＞b＋m D．＞
【答案】D
【考点】不等式的基本性质
【解析】法一：可取特殊值a＝－2，b＝－1验证可得D选项正确；
法二：由题意a＜b＜0，则＞，选项A错误；由a＜b，不等式两边同除ab，可得，即＜，选项B错误；由不等式的可加性可知，由a＜b，可得a＋m＜b＋m，选项C错误；由，所以＞，选项D正确；故答案选D.
5．有一组实验数据如下表所示：
t
1.9
3.0
4.0
5.1
6.1
v
1.5
4.0
7.5
12.0
18.0

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是
A．v＝2t－2 B．v＝ C．v＝log0.5t D．v＝log3t
【答案】B
【考点】函数的基本性质与解析式
【解析】法一：从图表数据可知，随着t的变大，v变大，则函数为单调递增，且增加速度越来越快，故排除选项A、C、D（A选项为线性增加的函数，C选项为递减函数，D选项为比线性增加较为缓慢的函数），故答案选B.
法二：取t＝4，可得：对于A选项，v＝2×4－2=6，故选项A错误；对于B选项，v＝＝7.5，故选项B可能正确；对于C选项，v＝log0.5t＝－2，故选项C错误；对于D选项，v＝log3t＝log34，故选项D错误；以上只有B选项最接近，故答案选B.
6．若函数f(x)＝sin2x与g(x)＝2cosx都在区间(a，b)上单调递减，则b－a的最大值是
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】三角函数的图象与性质：单调性
【解析】由题意函数f(x)＝sin2x在(，)上单调递减，函数g(x)＝2cosx在(0，)上单调递减，则，，所以b－a的最大值为，故答案选C.
B
－π
π
1
y
x
O
A
x
－π
π
1
y
O
D
1
－π
π
O
x
y
x
C
－π
π
1
y
O
7．函数f(x)＝ 在[－π，π]上的图象大致为









【答案】D
【考点】利用函数的基本性质对函数图象的识别与判断
【解析】由题意该函数f(x)＝在[－π，π]上为奇函数，且f(π)＝，故答案排除A、B、C，故答案选D.
8．若函数f(x)同时满足：①定义域内存在实数x，使得f(x)·f(－x)＜0；②对于定义域内任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0；则称函数f(x)为“DM函数”．下列函数中是“DM函数”的为
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝sinx C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝lnx
【答案】A
【考点】新定义函数的性质
【解析】由题意“DM函数”为单调递增的奇函数，故只有A选项满足，所以答案选A.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分．
9．关于函数f(x)＝tan2x，下列说法中正确的是
A．最小正周期是 B．图象关于点(，0)对称
C．图象关于直线x＝对称 D．在区间(－，)上单调递增
【答案】AB
【考点】正切函数的图象与性质
【解析】由题意函数f(x)＝tan2x的最小正周期为，故选项A正确；由f()＝0，故选项B正确；因为函数f(x)＝tan2x不存在对称轴，故选项C错误；因为x∈(－，)，所以2x，此区间不是函数y＝tanx的单调递增区间，故选项D错误；故答案选AB.
10．已知曲线C1：y＝sinx，C2：y＝sin(2x＋)，下列说法中正确的是
A．把C1向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到C2
B．把C1向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到C2
C．把C1上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到C2
D．把C1上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到C2
【答案】BD
【考点】函数的图象变换
【解析】变换方式一：由函数y＝sinx的图象可向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到y＝sin(2x＋)；变换方式二：因为，所以由函数y＝sinx的图象可讲其图象上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到y＝sin(2x＋)；故答案选BD.
11．我们知道，如果集合AS，那么S的子集A的补集为 ∁sA＝{x|x∈S，且xÏA}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且xÏB}叫作集合A与B的差集，
记作A－B．据此，下列说法中正确的是
A．若AB，则A－B＝Æ B．若BA，则A－B＝A
C．若A∩B＝Æ，则A－B＝A D．若A∩B＝C，则A－B＝A－C
【答案】ACD
【考点】新定义集合的应用
【解析】由差集的定义可知，对于选项A，若AB，则A中的元素均在B中，则A－B＝Æ ，故选项A正确；对于选项B，若BA，则B中的元素均在A中，则A－B＝∁AB≠A，故选项B错误；对于选项C，若A∩B＝Æ，则A、B无公共元素，则A－B＝A，故选项C正确；对于选项D，若A∩B＝C，则A－B＝∁AC＝A－C，故选项D正确；故答案选ACD.
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y＝[x]也被称为“高斯函数”，例如：[－3.5]＝－4，
[2.1]＝2．已知函数f(x)＝[x＋1]－x，下列说法中正确的是
A．f(x)是周期函数 B．f(x)的值域是(0，1]
C．f(x)在(0，1)上是增函数 D．" x∈R，[f(x)]＝0
【答案】AB
【考点】新定义函数的基本性质及应用
【解析】由题意[x＋1]＝，所以f(x)＝[x＋1]－x＝，可画出图象（图略），可得到函数f(x)是周期为1的函数，且值域为(0，1]，在(0，1)上单调递减，故选项A、B正确，C错误；对于选项D，[f(x)]＝1，所以选项D错误，故答案选AB.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．已知幂函数y＝xα的图象过点(2，)，则α的值为 ▲ ．
【答案】
【考点】幂函数的概念
【解析】由题意可知，即，解得，故答案为.
14．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝3a，则a的值为 ▲ ．
【答案】4
【考点】分段函数求参数
【解析】由题意可知，，解得a＝4，故答案为4.
15．已知sin(α＋)＝，则sin(－α)＋sin2(－α)的值为 ▲ ．
【答案】
【考点】三角函数中同角的三角函数关系式与诱导公式综合应用（给值求值）
【解析】因为，，所以sin(－α)＝
，，
所以sin(－α)＋sin2(－α)＝.故答案为.
16．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级(M)是用据震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式为M＝lgA－lgA0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的 ▲ 倍(精确到1)．
【答案】32
【考点】文化题：指对数的运算
【解析】由题意M＝lgA－lgA0，即，则，当M=7.5时，地震的最大振幅为；当M=6时，地震的最大振幅为，所以
，故答案为32.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知集合A＝{x|＜1}，B＝{x|2x2＋(m－2)x－m＜0}．
（1）当m＝1时，求A∪B；
（2）已知“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围．
【考点】集合与逻辑用语（含分式不等式、一元二次不等式的解法）
【解析】
解：（1）由 ＜1，得 ＜0，所以A＝{x|－2＜x＜1}．
B＝{x|2x2＋(m－2)x－m＜0}＝{x|(x－1)(2x＋m)＜0}．
当m＝1时，B＝{x|－＜x＜1}． 3分
所以A∪B＝{x|－2＜x＜1}． 4分
（2）因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以BA． 6分
若－＞1，不符合题意； 7分
若－＝1即m＝－2时，B＝Æ，符合题意； 8分
若－＜1，则B＝{x|－＜x＜1}，
所以－2≤－＜1，解得－2＜m≤4． 9分
综上，m∈[－2，4]． 10分

18．（本小题满分12分）
已知sin(π＋α)cos(π－α)＝，且0＜α＜．
（1）求cosα＋cos(＋α)的值；
（2）求tanα的值．
【考点】同角的三角函数公式、诱导公式
【解析】
解：（1）因为sin(π＋α)cos(π－α)＝sinαcosα，且sin(π＋α)cos(π－α)＝，
所以sinαcosα＝． 2分
故 (cosα－sinα)2＝cos2α－2sinαcosα＋sin2α
＝1－2sinαcosα＝1－2×＝． 4分
又因为0＜α＜，所以cosα＞sinα，即cosα－sinα＞0，
所以cosα－sinα＝．
所以cosα＋cos(＋α)＝cosα－sinα＝． 6分
（2）法一：由（1）知sinαcosα＝，又因为sin2α＋cos2α＝1，
所以 ＝．
因为0＜α＜，cosα≠0，
所以＝，即tan2α－8tanα＋1＝0， 9分
解得tanα＝4－或tanα＝4＋． 10分
因为0＜α＜，所以0＜tanα＜1，
所以tanα＝4－． 12分
法二： 由（1）知
因为0＜α＜，所以cosα＞sinα＞0，
故 10分
所以tanα＝＝4－． 12分

19．（本小题满分12分）
（1）计算：2＋(0.125)＋log9；
（2）已知a＝log0.43，b＝log43，求证：ab＜a＋b＜0．
【考点】指对数的运算、指对数的应用：比较大小
【解析】
解：（1）原式＝5＋[(2)－3]＋log()4
＝5＋4＋4
＝13． 4分
（2）法一：因为y＝log0.4x在(0，＋∞)上递减，y＝log4x在(0，＋∞)上递增，
所以a＝log0.43＜log0.41＝0，b＝log43＞log41＝0，
故ab＜0． 6分
因为＋＝log30.4＋log34＝log3(0.4×4)＝log31.6，
且y＝log3x在(0，＋∞)递增，
所以0＝log31＜log31.6＜log33＝1，即0＜＋＜1． 10分
所以0＞ab(＋)＞ab，即ab＜a＋b＜0． 12分
法二：因为a＝log0.43，b＝log43，
所以a＋b＝log0.43＋log43＝＋＝lg3×＝lg3×，
因为lg3＞0，lg4＞0，lg1.6＞0，lg0.4＜0，
所以a＋b＜0． 6分
(a＋b)－ab＝lg3×－×＝lg3×
＝lg3×＝lg3×． 10分
因为lg3＞0，lg4＞0，lg＜0，lg0.4＜0，
所以(a＋b)－ab＞0，即a＋b＞ab，
综上，ab＜a＋b＜0． 12分

20．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝x|x－a|为R上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）若不等式f(sin2x)＋f(t－2cosx)≥0对任意x∈[，]恒成立，求实数t的最小值．
【考点】函数的基本性质：奇偶性、单调性，及其应用：恒成立问题
【解析】
解：（1）因为函数f(x)＝x|x－a|为R上的奇函数，
所以f(－x)＝－f(x) 对任意x∈R成立，
即(－x)·|－x－a|＝－x·|x－a|对任意x∈R成立， 2分
所以|－x－a|＝|x－a|，所以a＝0． 4分
（2）由f(sin2x)＋f(t－2cosx)≥0得f(sin2x)≥－f(t－2cosx)，
因为函数f(x)为R上的奇函数， 所以f(sin2x)≥f(2cosx－t)． 6分
由（1）得，f(x)＝x|x|＝是R上的单调增函数，
故sin2x≥2cosx－t对任意x∈[，]恒成立． 8分
所以t≥2cosx－sin2x对任意x∈[，]恒成立．
因为2cosx－sin2x＝cos2x＋2cosx－1＝(cosx＋1)2－2，
令m＝cosx，由x∈[，]，得cosx∈[－1，]，即m∈[－1，]． 10分
所以y＝(m＋1)2－2的最大值为，故t≥，
即t的最小值为． 12分

21．（本小题满分12分）
如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t(单位：s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h(单位：cm)由关系式h＝Asin(ωt＋)确定，其中A＞0，ω＞0，t∈[0，＋∞)．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s．且最高点与最低点间的距离为10 cm．
（1）求小球相对平衡位置的高度h(单位：cm)和时间t(单位：s)之间的函数关系；
（2）小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次，求t0的取值范围．
（第21题图）







【考点】三角函数在物理中的应用
【解析】
解：（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为10 cm，所以A＝＝5． 2分
因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s，所以周期为2，
即T＝2＝，所以ω＝π． 4分
所以h＝5sin(πt＋)，t≥0． 5分
（2）由题意，当t＝时，小球第一次到达最高点，
以后每隔一个周期都出现一次最高点， 7分
因为小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次，
所以＋49T≤t0＜＋50T． 9分
因为T＝2，所以98≤t＜100，
所以t0的取值范围为[98，100)． 12分
（注：t0的取值范围不考虑开闭）

22．（本小题满分12分）
对于定义在D上的函数f(x)，如果存在实数x0，使得f(x0)＝x0，那么称x0是函数f(x)的一个不动点．已知f(x)＝ax2＋1．
（1）当a＝－2时，求f(x)的不动点；
（2）若函数f(x)有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2．
①求实数a的取值范围；
②设g(x)＝loga[f(x)－x]，求证：g(x)在(a，＋∞)上至少有两个不动点．
【考点】新定义函数的零点、三个“二次”的转化、利用构造新函数解决零点问题
【解析】
解：（1）当a＝－2时，f(x)＝－2x2＋1．
方程f(x)＝x可化为2x2＋x－1＝0，解得x＝－1或x＝，
所以f(x)的不动点为－1和 ． 2分
（2）①因为函数f(x)有两个不动点x1，x2，
所以方程f(x)＝x，即ax2－x＋1＝0的两个实数根为x1，x2，
记p(x)＝ax2－x＋1，则p(x)的零点为x1和x2，
因为x1＜2＜x2，所以a·p(2)＜0，
即a(4a－1)＜0，解得0＜a＜．
所以实数a的取值范围为(0，)． 6分
②因为g(x)＝loga[f(x)－x]＝loga(ax2－x＋1)．
方程g(x)＝x可化为loga(ax2－x＋1)＝x，即
因为0＜a＜，△＝1－4a＞0，所以p(x)＝0有两个不相等的实数根．
设p(x)＝ax2－x＋1＝0的两个实数根为m，n，不妨设m＜n．
因为函数p(x)＝ax2－x＋1图象的对称轴为直线x＝，p(1)＝a＞0，＞1，p()＝1＞0，
所以1＜m＜＜n＜．
记h(x)＝ax－(ax2－x＋1)，
因为h(1)＝0，且p(1)＝a＞0，所以x＝1是方程g(x)＝x的实数根，
所以1是g(x)的一个不动点． 8分
h(n)＝an－(an2－n＋1)＝an＞0，
因为0＜a＜，所以＞4，h()＝a－1＜a4－1＜0，
且h(x)的图象在[n，]上的图象是不间断曲线，
所以$x0∈(n，)，使得h(x0)＝0， 10分
又因为p(x)在(n，)上单调递增，所以p(x0)＞p(n)＝0，
所以x0是g(x)的一个不动点，
综上，g(x)在(a，＋∞)上至少有两个不动点． 12分