2021高考数学（文科）习题 第八章 立体几何 课时撬分练8-3 word版含答案

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基础组
1.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列为真命题的是( )
A．m∥n，m⊥α⇒n⊥α
B．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n
C．m⊥α，m⊥n⇒n∥α
D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β
答案 A
解析 选项A中，如图①，n∥m，m⊥α⇒n⊥α一定成立，选项A正确．选项B中，如图②，α∥β，m⊂α，n⊂β，m与n互为异面直线，∴选项B不正确．选项C中，如图③，m⊥α，m⊥n，n⊂α，∴选项C不正确．选项D中，如图④，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，但α与β相交，∴选项D不正确．
2．直线m，n均不在平面α，β内，给出下列命题：
①若m∥n，n∥α，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥n，n⊥α，则m∥α；④若m⊥β，α⊥β，则m∥α.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 D
解析 对命题①，根据线面平行的判定定理知，m∥α；对命题②，如果直线m与平面α相交，则必与平面β相交，而这与α∥β矛盾，故m∥α；对命题③，在平面α内取一点A，设过A，m的平面γ与平面α相交于直线b.因为n⊥α，所以n⊥b，又m⊥n，所以m∥b，则m∥α；对命题④，设α∩β＝l，在α内作m′⊥β，因为m⊥β，所以m∥m′，从而m∥α.故四个命题都正确．
3．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中错误的是( )
A．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
B．若α∥γ，β∥γ，则α∥β
C．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β
D．若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β
答案 C
解析 由线面垂直的性质可知A正确；由两个平面平行的性质可知B正确；由异面直线的性质易知D也是正确的；对于选项C，α，β可以相交、可以平行，故C错误，选C.
4．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是( )
A．AB∥CD B．AD∥CB
C．AB与CD相交 D．A，B，C，D四点共面
答案 D
解析 充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．
5．如图，在正四棱柱A1C中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
答案 M位于线段FH上
解析 连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只要M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一)
6．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：
①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β， 则α∥β；
②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题为________．
答案 ③
解析 ①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l、m.
②中l与m也可能异面．
③中eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l∥γ,l⊂β,β∩γ＝m))⇒l∥m，
同理l∥n，则m∥n，正确．
7．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是一个直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD.若E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系是________．
答案 平行
解析 取PD的中点F，连接EF，AF.在△PCD中，EF∥CD，且EF＝eq \f(1,2)CD.∵AB∥CD，且CD＝2AB，∴EF∥AB，且EF＝AB，∴四边形ABEF为平行四边形，∴EB∥AF.又∵EB⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.
8．如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝2，E是侧棱PA上的中点．
(1)求证：PC∥平面BDE；
(2)求四棱锥P－ABCD的体积．
解 (1)证明：连接AC交BD于点O，连接OE，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴O是AC的中点．
又E是PA的中点，∴PC∥OE.
∵PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，
∴PC∥平面BDE.
(2)∵PA⊥平面ABCD，
∴VP－ABCD＝eq \f(1,3)S正方形ABCD·PA＝eq \f(1,3)×12×2＝eq \f(2,3)，
∴四棱锥P－ABCD的体积为eq \f(2,3).
9．已知三棱柱ABC－A′B′C′中，平面BCC′B′⊥底面ABC，BB′⊥AC，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA′＝3，E，F分别在棱AA′，CC′上，且AE＝C′F＝2.
(1)求证：BB′⊥底面ABC；
(2)在棱A′B′上找一点M，使得C′M∥平面BEF，并给出证明．
证明 (1)如图，取BC中点O，连接AO，因为三角形ABC是等边三角形，所以AO⊥BC，
又平面BCC′B′⊥底面ABC，AO⊂平面ABC，平面BCC′B′∩平面ABC＝BC，
所以AO⊥平面BCC′B′，
又BB′⊂平面BCC′B′，
所以AO⊥BB′.
又BB′⊥AC，AO∩AC＝A，AO⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，
所以BB′⊥底面ABC.
(2)如图，显然M不是A′，B′，棱A′B′上若存在一点M，使得C′M∥平面BEF，过M作MN∥AA′交BE于N，连接FN，MC′，所以MN∥C′F，即C′M和FN共面，
所以C′M∥FN，
所以四边形C′MNF为平行四边形，
所以MN＝2，
所以MN是梯形A′B′BE的中位线，M为A′B′的中点．
10．如图所示，在棱长均为4的三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别是BC和B1C1的中点．
(1)求证：A1D1∥平面AB1D；
(2)若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC＝60°，求三棱锥B1－ABC的体积．
解 (1)证明：如图所示，连接DD1，
在三棱柱ABC－A1B1C1中，因为D，D1分别是BC与B1C1的中点，
所以B1D1∥BD，且B1D1＝BD.
所以四边形B1BDD1为平行四边形，所以BB1∥DD1，且BB1＝DD1.又因为AA1∥BB1，AA1＝BB1，所以AA1∥DD1，AA1＝DD1，
所以四边形AA1D1D为平行四边形，
所以A1D1∥AD.
又A1D1⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D，故A1D1∥平面AB1D.
(2)在△ABC中，因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC.
因为平面ABC⊥平面B1C1CB，交线为BC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A－B1BC的高．
在△ABC中，因为AB＝AC＝BC＝4，得AD＝2eq \r(3).
在△B1BC中，B1B＝BC＝4，∠B1BC＝60°，
所以△B1BC的面积S△B1BC＝eq \f(1,2)×4×4×eq \f(\r(3),2)＝4eq \r(3)，
所以三棱锥B1－ABC的体积即三棱锥A－B1BC的体积，V＝eq \f(1,3)S△B1BC·AD＝eq \f(1,3)×4eq \r(3)×2eq \r(3)＝8.
11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：
(1)直线EG∥平面BDD1B1；
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
证明 (1)如图，连接SB，
∵E、G分别是BC、SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.
(2)连接SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD.
又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，
又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.
12．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD＝eq \f(π,3)，AD＝2.
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(1)求证：平面FCB∥平面AED；
(2)若二面角A－EF－C为直二面角，求直线BC与平面AEF所成的角θ的正弦值．
解 (1)证明：在矩形BDEF中，FB∥ED，
∵FB⊄平面AED，ED⊂平面AED，
∴FB∥平面AED，
同理BC∥平面AED，
又FB∩BC＝B，∴平面FBC∥平面EDA.
(2)取EF的中点M.连接AM，CM.连接AC交BD于点N.由于ED⊥平面ABCD，ED∥FB，
∴ED⊥AD，ED⊥DC，FB⊥BC，FB⊥AB.
又ABCD是菱形，BDEF是矩形，
∴△ADE，△EDC，△ABF，△BCF是全等三角形，
∴AE＝AF，CE＝CF，
∴AM⊥EF，CM⊥EF，∠AMC就是二面角A－EF－C的平面角．
延长CB到G，使BC＝BG，由已知可得，ADBG是平行四边形，又BDEF是矩形，∴AEFG是平行四边形，即A，E，F，G共面，由此可知，AM⊥MC，CM⊥EF，EF，AM相交于M，
∴CM⊥平面AEFG，∠CGM为所求．
由AD＝2，∠DAB＝60°，得AC＝2eq \r(3)，
等腰Rt△AMC中，AC＝2eq \r(3)，可得MC＝eq \r(6)，Rt△GMC中，sin∠CGM＝eq \f(CM,CG)＝eq \f(\r(6),4).
能力组
13.已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是( )
A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥β
C．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2
答案 D
解析 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可知，选项D可推知α∥β.
14．平面α∥平面β的一个充分条件是________(填写正确的序号)．
①存在一条直线a，a∥α，a∥β；
②存在一条直线a，a⊂α，a∥β；
③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β a∥β，b∥α；
④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β， a∥β，b∥α.
答案 ④
解析 根据两平面平行的条件，只有④符合．
15. 在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．
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(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；
(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．
解 (1)证明：因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.
因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线，
所以AA1⊥平面ABC.
因为直线BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.
又AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线，所以BC⊥平面ACC1A1.
(2)取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．
由已知可知O为AC1的中点．
连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，所以MD綊eq \f(1,2)AC，OE綊eq \f(1,2)AC，因此MD綊OE.
连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.
因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，
所以直线DE∥平面A1MC，
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.