2021高考数学（文科）习题 第八章 立体几何 8-4 word版含答案

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A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
答案 D
解析 由l1⊥l2，l2⊥l3可知l1与l3的位置不确定，
若l1∥l3，则结合l3⊥l4，得l1⊥l4，所以排除选项B、C，
若l1⊥l3，则结合l3⊥l4，知l1与l4可能不垂直，所以排除选项A.故选D.
2．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
在如图所示的阳马P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，点E是PC的中点，连接DE，BD，BE.
(1)证明：DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；
(2)记阳马P－ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求eq \f(V1,V2)的值．
解 (1)证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC.
由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，
所以BC⊥平面PCD.DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE.
又因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC.
而PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC.
由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，
即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB.
(2)由已知，PD是阳马P－ABCD的高，
所以V1＝eq \f(1,3)SABCD·PD＝eq \f(1,3)BC·CD·PD；
由(1)知，DE是鳖臑D－BCE的高，BC⊥CE，
所以V2＝eq \f(1,3)S△BCE·DE＝eq \f(1,6)BC·CE·DE.
在Rt△PDC中，因为PD＝CD，点E是PC的中点，
所以DE＝CE＝eq \f(\r(2),2)CD，
于是eq \f(V1,V2)＝eq \f(\f(1,3)BC·CD·PD,\f(1,6)BC·CE·DE)＝eq \f(2CD·PD,CE·DE)＝4.
3．如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝eq \r(2)，O，M分别为AB，VA的中点．
(1)求证：VB∥平面MOC；
(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；
(3)求三棱锥V－ABC的体积．
解 (1)证明：如图，因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.
又因为VB⊄平面MOC，
所以VB∥平面MOC.
(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.
又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.
所以平面MOC⊥平面VAB.
(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝eq \r(2)，所以AB＝2，OC＝1，所以S△VAB＝eq \r(3)，又因为OC⊥平面VAB，
所以VC－VAB＝eq \f(1,3)OC·S△VAB＝eq \f(\r(3),3).
又因为三棱锥V－ABC的体积与三棱锥C－VAB的体积相等，所以三棱锥V－ABC的体积为eq \f(\r(3),3).
4．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝eq \f(π,2)，AB＝BC＝eq \f(1,2)AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1－BCDE.
(1)证明：CD⊥平面A1OC；
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1－BCDE的体积为36eq \r(2)，求a的值．
解 (1)证明：在题图1中，因为AB＝BC＝eq \f(1,2)AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝eq \f(π,2)，所以BE⊥AC.
即在题图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，
从而BE⊥平面A1OC，
又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.
(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，
且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，
又由(1)，A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，
即A1O是四棱锥A1－BCDE的高．
由题图1知，A1O＝eq \f(\r(2),2)AB＝eq \f(\r(2),2)a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2.
从而四棱锥A1－BCDE的体积为V＝eq \f(1,3)×S×A1O＝eq \f(1,3)×a2×eq \f(\r(2),2)a＝eq \f(\r(2),6)a3，由eq \f(\r(2),6)a3＝36eq \r(2)，得a＝6.
5．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.
(1)证明：平面AEC⊥平面BED；
(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E－ACD的体积为eq \f(\r(6),3)，求该三棱锥的侧面积．
解 (1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.
又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.
(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得
AG＝GC＝eq \f(\r(3),2)x，GB＝GD＝eq \f(x,2).
因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝eq \f(\r(3),2)x.
由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝eq \f(\r(2),2)x.
由已知得，三棱锥E－ACD的体积VE－ACD＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)AC·GD·BE＝eq \f(\r(6),24)x3＝eq \f(\r(6),3)，故x＝2.
从而可得AE＝EC＝ED＝eq \r(6).
所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为eq \r(5).
故三棱锥E－ACD的侧面积为3＋2eq \r(5).
6．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，且AB＝2，∠BAD＝60°.
(1)求证：OM∥平面PAB；
(2)求证：平面PBD⊥平面PAC；
(3)当三棱锥M－BCD的体积等于eq \f(\r(3),4)时，求PB的长．
解 (1)证明：因为在△PBD中，O，M分别是BD，PD的中点，所以OM是△PBD的中位线，所以OM∥PB，
又OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，
所以OM∥平面PAB.
(2)证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.
因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，
又AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA＝A，
所以BD⊥平面PAC.
因为BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC.
(3)因为底面ABCD是菱形，M是PD的中点，
所以VM－BCD＝eq \f(1,2)VM－ABCD＝eq \f(1,4)VP－ABCD，故VP－ABCD＝eq \r(3).
又AB＝2，∠BAD＝60°，所以S四边形ABCD＝2eq \r(3).
因为四棱锥P－ABCD的高为PA，
所以eq \f(1,3)×2eq \r(3)×PA＝eq \r(3)，得PA＝eq \f(3,2)，
因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB.
在Rt△PAB中，PB＝eq \r(PA2＋AB2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2＋22)＝eq \f(5,2).
7．如图，四棱锥P－ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝eq \f(π,3)，M为BC上一点，且BM＝eq \f(1,2).
(1)证明：BC⊥平面POM；
(2)若MP⊥AP，求四棱锥P－ABMO的体积．
解
(1)证明：如图，连接OB，因为ABCD为菱形，O为菱形的中心，所以AO⊥OB.
因为∠BAD＝eq \f(π,3)，
所以OB＝AB·sin∠OAB＝2sineq \f(π,6)＝1，
又因为BM＝eq \f(1,2)，且∠OBM＝eq \f(π,3)，所以在△OBM中，OM2＝OB2＋BM2－2OB·BM·cs∠OBM＝12＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2－2×1×eq \f(1,2)×cseq \f(π,3)＝eq \f(3,4).
所以OB2＝OM2＋BM2，故OM⊥BM，即OM⊥BC.
又PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BC.
从而BC与平面POM内两条相交直线OM，PO都垂直，所以BC⊥平面POM.
(2)由(1)可得，OA＝AB·cs∠OAB＝2·cseq \f(π,6)＝eq \r(3).
设PO＝a，由PO⊥底面ABCD知，△POA为直角三角形，
故PA2＝PO2＋OA2＝a2＋3.
又△POM也是直角三角形，故PM2＝PO2＋OM2＝a2＋eq \f(3,4).
连接AM，在△ABM中，AM2＝AB2＋BM2－2AB·BM·cs∠ABM＝22＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2－2×2×eq \f(1,2)×cseq \f(2π,3)＝eq \f(21,4).
由于MP⊥AP，故△APM为直角三角形，则PA2＋PM2＝AM2，即a2＋3＋a2＋eq \f(3,4)＝eq \f(21,4)，得a＝eq \f(\r(3),2)或a＝－eq \f(\r(3),2)(舍去)，即PO＝eq \f(\r(3),2).
此时S四边形ABMO＝S△AOB＋S△OMB＝eq \f(1,2)·AO·OB＋eq \f(1,2)·BM·OM＝eq \f(1,2)×eq \r(3)×1＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(5\r(3),8).所以VP－ABMO＝eq \f(1,3)·S四边形ABMO·PO＝eq \f(1,3)×eq \f(5\r(3),8)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(5,16).
8.
如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．
(1)求证：EF⊥平面BCG；
(2)求三棱锥D－BCG的体积．
附：锥体的体积公式V＝eq \f(1,3)Sh，其中S为底面面积，h为高．
解
(1)证明：由已知得△ABC≌△DBC. 因此AC＝DC.
又G为AD的中点，
所以CG⊥AD.
同理BG⊥AD，
因此AD⊥平面BGC.
又EF∥AD，
所以EF⊥平面BCG.
(2)在平面ABC内，作AO⊥CB, 交CB延长线于O.
由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BDC.
又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半．
在△AOB中，AO＝AB·sin60°＝eq \r(3)，所以VD－BCG＝VG－BCD＝eq \f(1,3)·S△DBC·h＝eq \f(1,3)·eq \f(1,2)·BD·BC·sin120°·eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,2).