沪教版高中一年级 第二学期5.3同角三角比的关系和诱导公式教案

高一数学春季班（教师版）

1.       同角三角比的关系

（1）倒数关系：；；；

（2）商数关系：；；

（3）平方关系：；；.

   这些关系式还可以如图样加强形象记忆：

（1） 对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系).

（2） 任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系).

（3） 阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系).

注意：

1）   “同角”的概念与角的表达形式无关，如：

，.

2）上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立.

3）由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号.

2.     诱导公式

        第一组：

        第二组：

        第三组：

        第四组：

        第五组：

  第六组：

 诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是“奇变偶不变，符号看象限”．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．

【析】①以上诱导公式都是当取使等式两边都有意义的任意值；

②以上诱导公式的正负号的确定；将看成锐角时，等号左边的角的三角比的正负，决定了等号的正负号；

③利用以上五组诱导公式可将任意角的三角比转化成锐角或零角的三角比，转化的一般途径是：负角正角内的角锐角或零角，以上的转化途径不唯一。

一、同角三角比的关系

 1、三角比求值

【例1】已知，，求、的值．

【难度】★

【答案】见解析

【解析】，，，

．

【例2】已知，求的值．

【难度】★

【答案】见解析

【解析】解：∵,　　∴是第二或第三象限角．因此要对所在象限分类．

当是第二象限角时，

当是第三象限时,

【例3】已知，求和．

【难度】★

【答案】见解析

【解析】

∵,∴

∵,∴是第一或第三象限角

当是第一象限角时,

当是第三象限角时,

【例4】已知（），求，的值．

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】由于三角函数的值不确定，所以需要对角的范围进行讨论，并逐一求解．

解：因为，所以，

（1）当b=0时，角的终边在轴上，

若角的终边在轴的非负半轴上时， ，不存在．

若角的终边在轴的非正半轴上时， ，不存在．

（2）当，且时，则角为象限角，

 若为第一或第二象限时，．

若为第一或第二象限时，．

特别提示：

本题易错解为：

因为，

所以（1）当为第一象限角时，；

（2）当为第二象限角时，；

（3）当为第三象限角时，；

（4）当为第四象限角时，．

其错误的原因在于没有重视条件，认为为正值，同时也时，角的终边在轴上，此时不存在，所以在解答讨论时，应注意条件的限制，如函数本身对答角的范围要求，在各个象限的符号等．

【巩固训练】

1．已知且为第四象限的角，求的其他三角比的值．

【难度】★

【答案】见解析

【解析】解：为第四象限的角，

2．已知，求的值．

【难度】★

【答案】1

3．已知 ，求．

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】:

∵,∴角的终边不在坐标轴上.

当是第一象限或第二象限角时

,

当是第三象限或第四象限角时

,

4．已知，求和的函数值．

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】解：由方程组，解得。

若是第一、四象限的角则，。

若是第二、三象限的角得：，

 2、正余弦应用

【例5】已知：是三角形的内角，若的值．

【难度】★

【答案】见解析

【解析】由　　解得　　或

　所以　

所以　

【例6】已知是方程的两个根，求和的值．

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】是方程的两个根

解得

【例7】已知sinα+cosα＝，求

  ⑴sinαcosα;  ⑵sin3α+cos3α;  ⑶tanα+cotα;  ⑷tan2α+cot2α

【难度】★★

【答案】⑴－  ⑵  ⑶－  ⑷

【例8】如果满足条件　，则所在象限是________．

【难度】★★

【答案】第二象限的角。　提示：可得．

【例9】已知，，求、的值．

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】

解法一：运用方程思想，

解法二：将两边平方得到：，，，，，（这里强调符号看象限），

，．

解法三：当时，，可推出，

，，，由

得

由 得：，．

【巩固训练】

1．＝_____________．

【难度】★

【答案】见解析

【解析】，提示

及可得。

2．已知3sinα＝－4cosα，求．

【难度】★

【答案】

3．若，则            ．

【难度】★★

【答案】

4．已知，，求、的值．

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】

解析：运用方程思想，由 得，，解得：

（一个约等于0.95，另一个约等于-0.82），，

又，．

5．已知，，求、的值．

【难度】★★

【答案】，

 3、正切应用

【例10】已知，求

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】，

。

【例11】已知，求：

 （1），

 （2），

 （3），

 （4）．

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】解法一：联立方程组

解法二：分母化为1,1再化为，然后分子分母同除以，或．

【巩固训练】

1．已知，求（1）；（2）的值．

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】（1）；

     (2) 

         ．

点评：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化．

2．已知求下列各式的值

（1），（2），（3）．

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】

分析一：据，首先确定所在的象限，再由所在的象限和同角间的三角函数关系来确定sin与cos的值，最后代入即可．

解析一：由知角为第一或三象限

当为第一象限时，由有，，

所以（1）=，

（2）=，

（3）=4=1．

当为第三象限时，由tan=2，有sin=，

所以（1）=，

（2）=，

（3）=4=1．

综上有（1）=－1，

（2）=，

（3）=1．

分析二：要注意到分式的分子与分母均是关于，与的一次齐式，其中第（3）问要将分母看成是1=，所以可以将分子分母同时除以，显然，然后整体代入的值即可．

解法二：（1）=，

（2）=，

（3）=

=．

点评：这是一组在已知的条件下，求关于、的齐次式的问题，解这类问题有两个方法，一是直接求出和的值，再代入求解，如本题解法一，但这种方法较繁琐二是将所求式转化为只含的代数式，再代入求解，但应用此法时要注意两点：（1）一定是关于和的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式；（2）因为，可用（）除之，这样可以将所求式化为关于的表达式，从而可以整体代入的值进行求解．

二、诱导公式

【例12】求下列各三角比的值：

 （1）；             （2）；      （3）；

 （4）；   （5）．

【难度】★

【答案】（1）（2）（3）（4）（5）

【例13】已知，求的值．

【难度】★★

【答案】  令，则.

原式

【例14】已知为的内角，求证：，，

．

【难度】★★

【答案】在中，∵，∴.

      ∴，

        ，

        .

【例15】化简．

【难度】★★

【答案】见解析

解：①当时，原式．

②当时，原式．

点评：关键抓住题中的整数是表示的整数倍与公式一中的整数有区别，所以必须把分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论．

【例16】已知：　　　　　．

【难度】★★

【答案】提示；由是第四象限角，所以　

【例17】化简：．

【难度】★★

【答案】见解析

分析：如果用和差角的三角函数进行化简，显然很繁杂，若是观察到，，则可以直接应用诱导公式求解．

解：原式=

        =1－2－=－1－=－．

点评：在解答化简问题时，要注意次数尽量可能低；项数尽可能少，函数种类尽量减少；尽量不含分式和根式，能求出值的尽量求出值。除之之外，善于发现差异，寻找联系，能进行合理的转化，也是非常重要的．如本题充分利用了角之间的联系，即互余关系，然后借助诱导公式和平方关系轻松求解．

【巩固训练】

1．化简：

 （1）；

 （2）．

【难度】★

【答案】见解析

解：（1）原式．

（2）原式

．

2．已知，求，的值．

【难度】★

【答案】由，得，是第二，三象限角．

若是第二象限角，则，；

若是第三象限角，则，．

3．化简．

【难度】★

【答案】见解析

解：原式

．

4．若，求：的值．

【难度】★★

【答案】见解析

分析：由已知条件首先求出的值，再将所求式化简，可由“奇变偶不变，符号看象限”一步法化简，或直接运用诱导公式“负化正，大化小”化简，最后代值即可．

解法一：由有．

解法二：原式=

5．化简（1）；

        （2）

【难度】★★

【答案】（1）原式；

（2）①当时，原式。

②当时，原式。

6．的值是____________.

【难度】★★

【答案】 

7．在直角坐标系中，O为坐标原点，角和的终边为OA和OB，OA过点

M，OA与OB关于直线对称，则角的的集合是    ；

                   ．

【难度】★★

【答案】 提示；OB过点，的终边为OB

三、化简与证明

【例18】化简．

【难度】★

【答案】

解：原式．

【例19】化简．

【难度】★

【答案】

解：原式

        ．

【例20】已知，试确定使等式成立的角的集合．

【难度】★★

【答案】

解：∵

===．

又∵，∴，

即得或，

所以，角的集合为：或．

【例21】求证：.

【难度】★★

【答案】思路1．把左边分子分母同乘以，再利用公式变形；

思路2：把左边分子、分母同乘以先满足右式分子的要求；

思路3：用作差法，不管分母，只需将分子转化为零；

思路4：用作商法，但先要确定一边不为零；

思路5：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果；

思路6：由乘积式转化为比例式；

思路7：用综合法．

证法1：左边=右边，

∴原等式成立

证法2：左边=

右边。

证法3：∵

∴.

证法4：∵，∴     ，∴，

∴，∴．

证法5：左边=

        右边=

 ∴左边=右边     ∴原等式成立．

证法6：∵

∴．

证法7：∵，   ∴

【例22】 化简：（1）；

           （2）．

【难度】★★

【答案】 （1）原式

             .

    （2）原式

             .

【例23】已知是第三象限角，化简： ．

 【难度】★★

【答案】原式

是第三象限角。 原式.

【例24】化简：．

【难度】★★

【答案】原式

【例25】化简．

【难度】★★

【答案】原式

【例26】求证：．

【难度】★★

【答案】左边

【例27】

【难度】★★

【答案】

【例28】求证：（1）；

           （2）．

【难度】★★★

【答案】（1）左边

            右边

        ∴等式成立.

   （2）

，

∴等式成立

【巩固训练】

1．已知方程的两根分别是，求的值．

【难度】★★

【答案】原式

由韦达定理知， 原式 =

2．已知

求：（1）的值      （2）的值     （3）的值．

【难度】★★

【答案】（1）

又，

（2）

（3）原式=

3．已知，求下列各式的值：

(1)                        (2)

(3)

【难度】★★

【答案】（1）；

（2）；

（3）。

4．已知：，，求证：．

【难度】★★

【答案】

5．已知，求：和的值. ．

【难度】★★

【答案】设，则，，

，，或，∵，，

∴，∴，即，

6．已知，求证：．

【难度】★★★

【答案】 ∵，∴.

      .

      ，

      ，.

      ∴，，.

      ∴.

三角比求值主要有三种类型，即

(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察这类问题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．

(2)“给值求值”，即给出某些角的三角比式的值，求另外一些三角比的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围的变化．

(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．

1．已知的值．

【难度】★

【答案】因为，

所以：=。

由于所以

于是：=，

所以：tan(=。

2．求值：=                ．

【难度】★

【答案】

3．判断表达式的正负．

【难度】★

【答案】

，因此，是正值。

4．若，则等于____________.

【难度】★★

【答案】

，

所以

又因为

5．已知 ,　求的值．

【难度】★

【答案】由已知得，则

6．

【难度】★★

【答案】【解法一】

将代入上式，得.

【解法二】

将代入上式，得.

【解法三】由，得

于是设，则，

7．已知角终边上一点，且，求和的值．

【难度】★★

【答案】

当时，；

当时，；

当时，．

8．已知点在第一象限，则在内的取值范围是______.

【难度】★★★

【答案】.

9．，求下列各式的值.

【难度】★★

【答案】由已知得

10．

【难度】★★

【答案】由已知得

故要证等式成立.

11．（1）已知，求和的值；

      （2）已知，求的值.

【难度】★★

【答案】（1）；

   .

    （2）由，两边平方，得

    ，，

    ，，

    ，∴或.

12． 化简：

【难度】★★

【答案】解  原式

        .