2020-2021学年本节综合教案

这是一份2020-2021学年本节综合教案，共39页。教案主要包含了反三角函数的定义，反三角函数的图像与性质，反三角函数的恒等式，最简三角方程的解集，综合应用等内容，欢迎下载使用。

反三角函数与最简三角方程
知识梳理
1、反三角函数的图像与性质
2、最简单三角方程的解集：
例题解析
一、反三角函数的定义
【例1】求下列反三角函数的值：
（1）；（2）；（3）（4）；（5）；
（6）；（7）
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）
【例2】已知中，，分别用反正弦函数值、反余弦函数值、反正切函数值表示．
【难度】★
【答案】；；；
【例3】用反三角函数的形式表示下列角：
（1）已知，用反正弦的形式表示；
（2）已知，用反余弦的形式表示；
（3）已知，用反正切的形式表示；
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】此类题目可用两种方法处理：①利用诱导公式转化为反三角函数的运算性质解决；②利用三角函数图像解决，此时应注意原函数与反函数的联系与区别；具体过程略
【例4】关于的方程有两个不同的实数根，求函数的反函数．
【难度】★★
【答案】，
【解析】由，得，解得
函数，的值域为
由，且，有，
即
将与互换得到原函数的反函数为：，
【巩固训练】
1．求下列反三角函数的值：
1） 2） 3）
4）（-） 5） 6）（-）
【难度】★
【答案】（1） ；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
2．用反正弦函数值表示下列式子中的：
（1），； （2），
（3）， 是第一象限角； （4），
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3），；
（4）或，．
3．函数的反函数为 （ ）


【难度】★★
【答案】D
【解析】同上方法，两种皆可．选一种方法作以解释如下：

由反正先函数的定义，得：，又，故反函数为：
4．已知，根据所给范围用反余弦函数值表示：
1 为锐角 2 为某三角形内角 3 为第二象限角 4
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）不存在；（4）
5． 1）已知，求．
2）已知且，求的取值集合．
3）已知且，求的取值集合．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）或；
（3）或．
6．下列命题中，正确命题的个数是（ ）
（1）的反函数是
（2）的反函数是
（3）的反函数是
A.0个 B.1个 C.2个 D. 3个
【难度】★★
【答案】
二、反三角函数的图像与性质
1、反三角函数的图像应用
【例5】下列命题中正确的是
①函数与互为反函数；②函数与都是增函数；
③函数与都是奇函数；④函数与都是周期函数．
【难度】★
【答案】③
【例6】根据反三角函数的图像比较下列各组数的大小：
（1）与；（2）与；（3）与
【难度】★
【答案】（1）；（2）；
（3），，，
【例7】求解下列不等式中的范围：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）（3）；（4）
【例8】求下列函数的反函数：
（1），； （2）（）
（3）； （4）
【难度】★★★
【答案】（1）反函数为，；（2）反函数为，；
（3）反函数为，；（4）反函数为，．
【巩固训练】
1．若，则的取值范围是 ．
【难度】★
【答案】
2．解不等式：．
【难度】★
【答案】
【解析】原式即为：
由为减函数，知
解得原不等式的解为：
3．求下列不等式的解集：
（1）；（2）；（3）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）
2、反三角函数的定义域、值域与最值
【例9】写出下列函数的定义域：
（1） （2） （3）
【难度】★★
【答案】（1） （2） （3）
【例10】求下列函数的定义域和值域：
（1）；（2）；（3）．
【难度】★★
【答案】（1）定义域为，值域为；（2）定义域为，值域为；
（3）定义域为，值域为；
【例11】函数的值域是 ．
【难度】★★
【答案】
【解析】由
【例12】求函数的定义域与值域．
【难度】★★
【答案】，
【解析】由得，故函数的定义域为
由
函数的值域为
【例13】求函数的最大值和最小值，以及相应的的值．
【难度】★★
【答案】最大值为0，此时；最小值为，此时．
【例14】函数的值域是 ．
【难度】★★
【答案】
【解析】函数在定义域上单调递增，
所以值域为
【例15】求函数的值域．
【难度】★★★
【答案】
【解析】先求函数的定义域函数的定义域是
同理：
函数的值域是．
【巩固训练】
1．函数（）的定义域___________．
【难度】★★
【答案】由。
当，即时，不存在。
当，即时，。
当，即时，
2．求函数的定义域．
【难度】★
【答案】
3．若，则的值域是 ．
【难度】★
【答案】
4．求下列函数的定义域和值域：
（1）；（2）；（3）
【难度】★★
【答案】（1）定义域为，值域为；
（2）定义域为，值域为；
（3）定义域为，值域为．
5．函数的定义域是 ，值域是 ．
【难度】★★
【答案】，
6．函数的定义域是 ，值域是 ．
【难度】★★
【答案】，
7．函数的定义域是 ，值域是 ．
【难度】★★
【答案】，
8．函数的定义域为，值域为，则 ．
【难度】★★
【答案】
9．求函数的定义域和值域．
【难度】★★
【答案】定义域：；值域：．
10．函数的反函数的最大值是 ，最小值是 ．
【难度】★★
【答案】，
3、反三角函数的性质
【例16】函数是奇函数的充要条件是 ．
【难度】★★
【答案】
【例17】求函数的单调区间．
【难度】★★
【答案】单调增区间是[]，单调减区间为[]
【解析】解之得，即函数的定义域为[]
设，原函数由和复合而成，而为单调减函数，
要求函数的单调增区间，就应求出的单调减区间。，而知在[]上是单调减函数，在[]上是单调增函数，在[]上是单调增函数，即的单调增区间是[]同理可得它的单调减区间为[]
【巩固训练】
1．函数是 （奇、偶、非奇非偶）函数，且是 （增、减）函数．
【难度】★★
【答案】奇、减
2．已知函数，若存在，且，使成立，则以下对实数的描述正确的是（ ）
A. B. C. D.
【难度】★★
【答案】
三、反三角函数的恒等式
1、求值问题
解此类问题的要点可以概括为“一令、二则、三范围”．
例：求的值．“一令”：令，“二则”：则，“三范围”：，有了以上三步之后，余下的问题就不难解决了．
【例17】求值：
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）令，则，于是：．
原式．
（2）令，于是，再令，原式=
【例18】化简下列各式：
（1） （2） （3）
【难度】★★
【答案】（1）（2）（3）
【例19】求下列各式的值：
（1） （2）
【难度】★★
【答案】，
【解析】（1）令，则，且，，
令，则，且，，
原式
（2）令，则且，，，，，
原式
【例20】求值：（1）； （2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【例21】求值：
（1）的值；
（2）若是方程的两根，求的值．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）；
【例22】已知，求的值．
【难度】★★
【答案】
【例23】已知、是的两条直角边，为斜边，且，求证：
【难度】★★
【答案】由
，得证
【巩固训练】
1．求下列三角式的值：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）
2． .
【难度】★
【答案】
3．________．
【难度】★★
【答案】
【解析】
4．已知等腰三角形的顶角为，则底角的正切值是 ．
【难度】★★
【答案】
【解析】底角
所以
5．用反正弦表示．
【难度】★★
【答案】
6．下列关系式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【难度】★★
【答案】
7． ， ．
【难度】★★
【答案】
8．化简： ．
【难度】★★
【答案】
【解析】设，，则。
又，
所以
9．求值：．
【难度】★★
【答案】
【解析】设，则
原式
10．求的值．
【难度】★★★
【答案】
2、函数问题
【例24】求()的值域．
【难度】★★
【答案】
【例25】求，．
【难度】★★
【答案】，
【例26】试判断下列函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性：
（1） （2）
【难度】★★★
【答案】（1）
定义域为 值域为 奇函数 不是周期函数，且再上单调递增
（2）
定义域为 值域为 奇函数 是周期函数，周期为
下面讨论单调性：
① 当时，，为增函数。
② 当时，，为减函数。
由函数的周期性，得
① 区间（）为函数的递增区间，此时
，。
② 区间（）为函数的递减区间，此时
，。
所以，。如图。
【例27】若，求证：．
【难度】★★★
【答案】
【方法一】∵①，其中，又由，得，∴根据反正弦函数的定义由①得：，即：．
【方法二】设，则，再设，则
∵，∴，即：，∴
【方法三】
．又因为，所以：
，在上，的角是唯一的，只有，即：
【备注】同理可证：；；
【例28】求的值
【难度】★★
【答案】
【解析】函数的定义域为。
。
由，，有
，
又，所以或。
（1）当时，有，，所以。
（2）当时，有，，所以。
此外，可以验证。
因此，
【巩固训练】
1．求函数的定义域和值域．
【难度】★★
【答案】定义域为，值域为
2．求值：．
【难度】★★
【答案】
3．作出的图像．
【难度】★★
【答案】如下图：
4．画出函数（）的图像．
【难度】★★★
【答案】如图
5．作出函数的图像，并判断其奇偶性，单调性．
【难度】★★★
【答案】奇函数，递增递减和，图像如下图所示：
【解析】【方法一】利用诱导公式及反三角运算性质化简；【方法二】画图分析（如下图所示给了当的求解方法）
6．设，求的值
【难度】★★
【答案】
【解析】∵ ∴
设，，

又设，，，
，
所以
由于，，，
∴，，，
∴，∵，∴即
四、最简三角方程的解集
【例29】求解三角方程：
（1）（2） （3）
（4）（5） （6）
（7）（8）
（9）
【难度】★★
【答案】（1） 或；（2）或；（3） 无解；；（4）或；（5）；（6）；（7）；（8）或；（9）或
【总结】解三角方程一般分为两类：
【第一类】的方程，可将整体套用最简单的三角方程的解集求解；
【第二类】的方程：
【例30】方程，在上有解，求的取值范围．
【难度】★★
【答案】

所以
【例31】就实数的取值范围，讨论关于的方程在内解的情况．
【难度】★★
【答案】化简得：
（1）或时，方程无解；
（2）时，方程有一解；
（3）或时，方程有两解；
（4）时，方程有三解：；
（5）时，方程有四解．
【例32】已知函数，实数为何值时，集合为一元集，二元集，三元集，四元集
【难度】★★★
【答案】由原方程得令
在同一坐标系内作出
结合正弦函数为奇函数，且可得
当即时，，方程有一解；
当或即或时或，方程分别有二解；
当时，或，方程共有三解；
④当即时，或，方程有四解
综上所述，当时，集合为一元集；当或时，集合为二元集；当时，集合为三元集；当时，集合为四元集
【巩固训练】
1．方程：在上的解是_____
【难度】★★
【答案】
2．方程：在上的解是________
【难度】★★
【答案】
3．解方程：
【难度】★★
【答案】
4．解方程：
【难度】★★
【答案】
5．解方程：
【难度】★★
【答案】
6．解关于的方程，．
【难度】★★
【答案】当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当或时，．
五、综合应用
【例33】求函数的定义域、值域及单调区间．
【难度】★★
【答案】，，递增，递减
【例34】

【难度】★★
【答案】B 欲求函数值域，需先求的值域；，即．而在为减函数
，从而
【例35】解三角方程：为一实常数．
【难度】★★★
【答案】令则
原方程可化为
欲使原方程有解，则在上有解
令则在上单调递减，在上也单调递减，
即时，原方程无解
当时，原方程有解
此时；
当时，舍去
所以；
当时，
所以
综上，当时，
当时，原方程无解；
当时，
【例36】试判断关于的方程是否有实数解，并说明理由．
【难度】★★★
【答案】当时方程有实数解，否则方程无实数解.
【例37】求实数的取值范围，使关于的方程有解．
【难度】★★★
【答案】
【例38】设在内有相异两实根，则实数的取值范围是 ．
【难度】★★★
【答案】
【巩固训练】
1．已知函数
（1）求函数的定义域、值域和单调区间；（2）解不等式：．
【难度】★★★
【答案】（1）由得 又
∴的定义域为，值域为
又∵时，单调递减，单调递减，从而递增
∴的单调递增区间是，同理的单调递减区间是
（2）
即
∴ 解不等式组得 ∴不等式的解集为
2．关于的方程有实数解，实数的取值范围为_________．
【难度】★★★
【答案】
3．关于的方程恒有解，求实数的取值范围．
【难度】★★★
【答案】
反思总结
1.主要方法:把简单的三角方程通过三角函数与代数式恒等变形为最简三角方程，会用数形结合等数学思想分析和思考问题.
2.易错、易漏点:有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以三角函数为未知数的一元二次方程的，而且要关注此三角函数本身的条件限制，注意解的增根、失根问题.
课后练习
1．函数的定义域为 ，值域为 ．
【难度】★
【答案】，
2．若是方程的解，其中，则 ．
【难度】★
【答案】
3．若，，则的取值范围是 ．
【难度】★★
【答案】
4．函数的反函数的最大值是 ，最小值是 ．
【难度】★★
【答案】，
5． ， ．
【难度】★★
【答案】
6．方程的解集是 ．
【难度】★★
【答案】
7．函数的值域是 ．
【难度】★★★
【答案】
8．方程的解集是 ．
【难度】★★
【答案】
9．若成立，则的取值范围是 ．
【难度】★★
【答案】
10．的反函数是 ．
【难度】★★★
【答案】
11．函数的值域为（ ）
A.B.
C.D.
【难度】★★
【答案】C
12．下列命题中，正确命题的个数是（ ）
（1）的反函数是
（2）的反函数是
（3）的反函数是
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【难度】★★
【答案】
13．设，则在区间内使的的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
【难度】★★★
【答案】B
14．若，则的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
【难度】★★★
【答案】D
15．（1）求函数的定义域；
（2）求的值域；
（3）求的定义域；
（4）判断函数的奇偶性；
（5）求满足不等式的的取值范围．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）奇函数；（5）．
16．求函数的定义域和值域
【难度】★★
【答案】，
17．解下列三角方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【难度】★★
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．求函数的最大值、最小值．
【难度】★★★
【答案】
解：当时，，
当时，．
19．求函数的定义域和值域：（1）；（2）．
【难度】★★★
【答案】
解：（1）定义域为，值域为；
（2）定义域为，值域为．
20．求值：．
【难度】★★★
【答案】提示：若要简便，就要用到万能公式，
21．已知，求．
【难度】★★★
【答案】
22．已知，为奇数，求的值．
【难度】★★★
【答案】
23．若关于的方程有实数解,求的取值范围．
【难度】★★★
【答案】由原方程得 ， 即．
要使方程有解，只需．解得．
所以的取值范围为．
24．已知集合，集合
(1)若B是A的真子集，求的值。
(2)若有且只有一个相同的元素，求的值。
【难度】★★★
【答案】(1)据题意得，解得
（2）据题意得
解得
25．当锐角为何值时，方程有两个相等的实根，并求这个方程的实根．
【难度】★★★
【答案】；方程的实根为
26．已知方程
为何值时，方程在区间内有两个相异的解
求的值
【难度】★★★
【答案】（1）由已知得，而，当即时，方程有两个相异的实数解
（2），
即，，
由和及得
于是，而则
27．是满足的最小正角，求的值．
【难度】★★★
【答案】
28．当取什么整数值时，方程有实数解，求出此时的解．
【难度】★★★
【答案】
教师
日期
学生
课程编号
课型
同步复习课
课题
反三角函数与最简三角方程
教学目标
1．理解不存在反函数，理解反正弦函数的概念，了解其图像和基本性质，会用反正弦函数值表示角的大小；
2．熟练掌握最简三角方程的解集；；
3．会写出三角方程的解集；会求三角方程，，的解集；
4．会把简单的三角方程通过三角函数与代数式恒等变形为最简三角方程，会用数形结合等数学思想分析和思考问题。
教学重点
1．熟练掌握反正弦、反余弦和反正切函数的基本性质和图像；
2．熟练掌握最简三角方程的解集；
3．会对形如：，，等三角方程求解
教学安排
版块
时长
1
知识梳理
10
2
例题解析
60
3
巩固训练
30
4
师生总结
20
5
课后练习
30
反三角函数
定义域
值域
图像
最值
时，
时，
时，
时，
无
单调性
增
减
增
奇偶性
奇
非奇非偶
奇
三个重
要等式
方程
方程的解集