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    2020-2021学年2.1 数列的概念与简单表示法第1课时巩固练习

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    这是一份2020-2021学年2.1 数列的概念与简单表示法第1课时巩固练习,共5页。

    [A组 学业达标]
    1.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( )
    A.1,eq \f(1,2),eq \f(1,3),eq \f(1,4),…
    B.-1,-2,-3,-4,…
    C.-1,-eq \f(1,2),-eq \f(1,4),-eq \f(1,8),…
    D.eq \r(2),eq \r(6),eq \r(12),…,eq \r(100)
    解析:对于A,它是无穷递减数列;对于B,它也是无穷递减数列;D是有穷数列;对于C,既是递增数列又是无穷数列,故C符合题意.
    答案:C
    2.已知an+1-an-3=0,则数列{an}是( )
    A.递增数列 B.递减数列
    C.常数列 D.摆动数列
    解析:由an+1-an-3=0,得an+1-an=3,故后一项比前一项大,故此数列为递增数列.
    答案:A
    3.数列1,3,5,7,9,…的通项公式是( )
    A.an=n-1(n∈N*)
    B.an=2n-1(n∈N*)
    C.an=n(n∈N*)
    D.an=3n-3(n∈N*)
    解析:该数列为从1开始的奇数,故通项公式为an=2n-1.
    答案:B
    4.数列-1,3,-7,15,…的一个通项公式可以是( )
    A.an=(-1)n·(2n-1)
    B.an=(-1)n·(2n-1)
    C.an=(-1)n+1·(2n-1)
    D.an=(-1)n+1·(2n-1)
    解析:数列各项正、负交替,故可用(-1)n来调节,又1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,…,所以通项公式为an=(-1)n·(2n-1).
    答案:A
    5.若数列的前4项为1,0,1,0,则这个数的通项公式不可能是( )
    A.an=eq \f(1,2)[1+(-1)n-1]
    B.an=eq \f(1,2)[1-cs(n·180°)]
    C.an=sin2(n·90°)
    D.an=(n-1)(n-2)+eq \f(1,2)[1+(-1)n-1]
    解析:结合选项分别把n=1,2,3,4代入进行检验是否分别为1,0,1,0即可.
    答案:D
    6.根据所给的数列填空:
    (1)1,-1,1,-1,…;
    (2)2,4,6,8,…,1 000;
    (3)8,8,8,8,…;
    (4)0.8,0.82,0.83,0.84,…,0.810.
    其中有穷数列为________;无穷数列为________;递增数列为________;递减数列为________;摆动数列为________;常数列为________.
    解析:有穷数列为(2)(4);无穷数列为(1)(3);递增数列为(2);递减数列为(4);摆动数列为(1);常数列为(3).
    答案:(2)(4) (1)(3) (2) (4) (1) (3)
    7.若数列{an}的通项公式是an=3-2n,则a2n=________,eq \f(a2,a3)=________.
    解析:∵an=3-2n,
    ∴a2n=3-22n=3-4n,eq \f(a2,a3)=eq \f(3-22,3-23)=eq \f(1,5).
    答案:3-4n eq \f(1,5)
    8.数列{an}的通项公式an=(-1)n+2,则数列的前五项分别为________.
    答案:1 3 1 3 1
    9.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式.
    (1)-1,7,-13,19,…;
    (2)0.8,0.88,0.888,….
    解析:(1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示,其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5).
    (2)将数列变形为eq \f(8,9)(1-0.1),eq \f(8,9)(1-0.01),eq \f(8,9)(1-0.001),…,∴an=eq \f(8,9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(1,10n))).
    10.在数列{an}中,a1=2,a17=66,通项公式an是n的一次函数.
    (1)求{an}的通项公式;
    (2)判断88是不是数列{an}中的项?
    解析:(1)设an=kn+b,则
    eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1=k+b=2,,a17=17k+b=66,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k=4,,b=-2.))
    ∴an=4n-2.
    (2)令an=88,即4n-2=88,解得n=22.5∉N*,
    ∴88不是数列{an}中的项.
    [B组 能力提升]
    11.设an=-n2+10n+11,则数列{an}的最大项的值为( )
    A.5 B.11
    C.10或11 D.36
    解析:∵an=-n2+10n+11=-(n-5)2+36,
    ∴当n=5时,an取得最大值36.
    答案:D
    12.已知数列{an}满足a1>0,且an+1=eq \f(n,n+1)an,则数列{an}的最大项是( )
    A.a1 B.a9
    C.a10 D.不存在
    解析:∵a1>0且an+1=eq \f(n,n+1)an,∴an>0,
    eq \f(an+1,an)=eq \f(n,n+1)<1,∴an+1<an,
    ∴此数列为递减数列,故最大项为a1.
    答案:A
    13.如图所示的图案中,白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3项,则这个数列的一个通项公式为an=________.
    答案:4n+2
    14.数列{an}的前4项是eq \f(3,2),1,eq \f(7,10),eq \f(9,17),则这个数列的一个通项公式是an=________.
    解析:eq \f(3,2)=eq \f(2×1+1,12+1),1=eq \f(5,5)=eq \f(2×2+1,22+1),eq \f(7,10)=eq \f(2×3+1,32+1),eq \f(9,17)=eq \f(2×4+1,42+1),可知:通项公式an是一个分数,分子为2n+1,分母是n2+1,∴这个数列的一个通项公式是an=eq \f(2n+1,n2+1).
    答案:eq \f(2n+1,n2+1)
    15.数列{an}的通项公式为an=30+n-n2.
    (1)问-60是否是{an}中的一项?
    (2)当n分别取何值时,an=0,an>0,an<0?
    解析:(1)假设-60是{an}中的一项,
    则-60=30+n-n2.
    解得n=10或n=-9(舍去).
    ∴-60是{an}的第10项.
    (2)分别令30+n-n2=0;30+n-n2>0;30+n-n2<0,解得n=6;0<n<6;n>6,
    即n=6时,an=0;
    0<n<6,n∈N*时,an>0;
    n>6,n∈N*时,an<0.
    16.数列{an}的通项公式是an=eq \f(n2-21n,2)(n∈N*).
    (1)0和1是不是数列{an}中的项?如果是,那么是第几项?
    (2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项?
    解析:(1)若0是{an}中的第n项,则eq \f(n2-21n,2)=0,
    因为n∈N*,所以n=21.
    所以0是{an}中的第21项.
    若1是{an}中的第n项,则eq \f(n2-21n,2)=1,
    所以n2-21n=2,即n2-21n-2=0.
    因为方程n2-21n-2=0不存在正整数解,
    所以1不是{an}中的项.
    (2)假设{an}中存在第m项与第m+1项相等,即am=am+1,则eq \f(m2-21m,2)=eq \f(m+12-21m+1,2),解得m=10.
    所以数列{an}中存在连续且相等的两项,分别是第10项与第11项.
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