2020-2021学年2.1 数列的概念与简单表示法第1课时巩固练习

这是一份2020-2021学年2.1 数列的概念与简单表示法第1课时巩固练习，共5页。

[A组 学业达标]
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )
A．1，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，…
B．－1，－2，－3，－4，…
C．－1，－eq \f(1,2)，－eq \f(1,4)，－eq \f(1,8)，…
D.eq \r(2)，eq \r(6)，eq \r(12)，…，eq \r(100)
解析：对于A，它是无穷递减数列；对于B，它也是无穷递减数列；D是有穷数列；对于C，既是递增数列又是无穷数列，故C符合题意．
答案：C
2．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
解析：由an＋1－an－3＝0，得an＋1－an＝3，故后一项比前一项大，故此数列为递增数列．
答案：A
3．数列1,3,5,7,9，…的通项公式是( )
A．an＝n－1(n∈N*)
B．an＝2n－1(n∈N*)
C．an＝n(n∈N*)
D．an＝3n－3(n∈N*)
解析：该数列为从1开始的奇数，故通项公式为an＝2n－1.
答案：B
4．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是( )
A．an＝(－1)n·(2n－1)
B．an＝(－1)n·(2n－1)
C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)
D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)
解析：数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)．
答案：A
5．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数的通项公式不可能是( )
A．an＝eq \f(1,2)[1＋(－1)n－1]
B．an＝eq \f(1,2)[1－cs(n·180°)]
C．an＝sin2(n·90°)
D．an＝(n－1)(n－2)＋eq \f(1,2)[1＋(－1)n－1]
解析：结合选项分别把n＝1,2,3,4代入进行检验是否分别为1,0,1,0即可．
答案：D
6．根据所给的数列填空：
(1)1，－1,1，－1，…；
(2)2,4,6,8，…，1 000；
(3)8,8,8,8，…；
(4)0.8,0.82,0.83,0.84，…，0.810.
其中有穷数列为________；无穷数列为________；递增数列为________；递减数列为________；摆动数列为________；常数列为________．
解析：有穷数列为(2)(4)；无穷数列为(1)(3)；递增数列为(2)；递减数列为(4)；摆动数列为(1)；常数列为(3)．
答案：(2)(4) (1)(3) (2) (4) (1) (3)
7．若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，则a2n＝________，eq \f(a2,a3)＝________.
解析：∵an＝3－2n，
∴a2n＝3－22n＝3－4n，eq \f(a2,a3)＝eq \f(3－22,3－23)＝eq \f(1,5).
答案：3－4n eq \f(1,5)
8．数列{an}的通项公式an＝(－1)n＋2，则数列的前五项分别为________．
答案：1 3 1 3 1
9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．
(1)－1,7，－13,19，…；
(2)0.8,0.88,0.888，….
解析：(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．
(2)将数列变形为eq \f(8,9)(1－0.1)，eq \f(8,9)(1－0.01)，eq \f(8,9)(1－0.001)，…，∴an＝eq \f(8,9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,10n))).
10．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数．
(1)求{an}的通项公式；
(2)判断88是不是数列{an}中的项？
解析：(1)设an＝kn＋b，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝k＋b＝2，,a17＝17k＋b＝66，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝4，,b＝－2.))
∴an＝4n－2.
(2)令an＝88，即4n－2＝88，解得n＝22.5∉N*，
∴88不是数列{an}中的项．
[B组 能力提升]
11．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}的最大项的值为( )
A．5 B．11
C．10或11 D．36
解析：∵an＝－n2＋10n＋11＝－(n－5)2＋36，
∴当n＝5时，an取得最大值36.
答案：D
12．已知数列{an}满足a1＞0，且an＋1＝eq \f(n,n＋1)an，则数列{an}的最大项是( )
A．a1 B．a9
C．a10 D．不存在
解析：∵a1＞0且an＋1＝eq \f(n,n＋1)an，∴an＞0，
eq \f(an＋1,an)＝eq \f(n,n＋1)＜1，∴an＋1＜an，
∴此数列为递减数列，故最大项为a1.
答案：A
13．如图所示的图案中，白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式为an＝________.
答案：4n＋2
14．数列{an}的前4项是eq \f(3,2)，1，eq \f(7,10)，eq \f(9,17)，则这个数列的一个通项公式是an＝________.
解析：eq \f(3,2)＝eq \f(2×1＋1,12＋1)，1＝eq \f(5,5)＝eq \f(2×2＋1,22＋1)，eq \f(7,10)＝eq \f(2×3＋1,32＋1)，eq \f(9,17)＝eq \f(2×4＋1,42＋1)，可知：通项公式an是一个分数，分子为2n＋1，分母是n2＋1，∴这个数列的一个通项公式是an＝eq \f(2n＋1,n2＋1).
答案：eq \f(2n＋1,n2＋1)
15．数列{an}的通项公式为an＝30＋n－n2.
(1)问－60是否是{an}中的一项？
(2)当n分别取何值时，an＝0，an＞0，an＜0?
解析：(1)假设－60是{an}中的一项，
则－60＝30＋n－n2.
解得n＝10或n＝－9(舍去)．
∴－60是{an}的第10项．
(2)分别令30＋n－n2＝0；30＋n－n2＞0；30＋n－n2＜0，解得n＝6；0＜n＜6；n＞6，
即n＝6时，an＝0；
0＜n＜6，n∈N*时，an＞0；
n＞6，n∈N*时，an＜0.
16．数列{an}的通项公式是an＝eq \f(n2－21n,2)(n∈N*)．
(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？
解析：(1)若0是{an}中的第n项，则eq \f(n2－21n,2)＝0，
因为n∈N*，所以n＝21.
所以0是{an}中的第21项．
若1是{an}中的第n项，则eq \f(n2－21n,2)＝1，
所以n2－21n＝2，即n2－21n－2＝0.
因为方程n2－21n－2＝0不存在正整数解，
所以1不是{an}中的项．
(2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，即am＝am＋1，则eq \f(m2－21m,2)＝eq \f(m＋12－21m＋1,2)，解得m＝10.
所以数列{an}中存在连续且相等的两项，分别是第10项与第11项．