2018年高考考点完全题数学（理）考点通关练习题 第八章　概率与统计 67 word版含答案

考点测试67　变量间的相关关系与统计案例

一、基础小题

1．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是(　　)

A.＝－2x＋100    B.＝2x＋100

C.＝－2x－100    D.＝2x－100

答案　A

解析　B、D为正相关，C中值恒为负，不符合题意．

2．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(　　)

A．63.6万元   B．65.5万元

C．67.7万元   D．72.0万元

答案　B 

解析　∵＝－＝－9.4×＝9.1，∴回归方程为＝9.4x＋9.1.令x＝6，得＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．

3．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(　　)

A．y与x具有正的线性相关关系

B．回归直线过样本点的中心(，)

C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg

D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg

答案　D

解析　由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，故A正确．又线性回归方程必过样本点中心(，)，因此B正确．由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1 cm，其体重约增加0.85 kg，故C正确．当某女生的身高为170 cm时，其体重估计值是58.79 kg，而不是具体值，因此D不正确．

4．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　)

A．－1  B．0  C.  D．1

答案　D

解析　样本点都在直线上时，其数据的估计值与真实值是相等的，即yi＝i，代入相关系数公式r＝＝1.

5. 设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是(　　)

A．直线l过点(，)

B．x和y的相关系数为直线l的斜率

C．x和y的相关系数在0到1之间

D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

答案　A

解析　因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以B、C错误；D中n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数可以不相同，所以D错误；根据线性回归直线一定经过样本点中心可知A正确．

6．在一次对性别与说谎是否相关的调查中，得到如下数据：

根据表中数据，得到如下结论中正确的一项是(　　)

A．在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别有关

B．在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关

C．在此次调查中有99.5%的把握认为是否说谎与性别有关

D．在此次调查中没有充分的证据显示说谎与性别有关

答案　D

解析　由于K2＝≈0.0024，由于K2很小，因此，在此次调查中没有充分的证据显示说谎与性别有关．故选D.

7. 如图所示，有5组(x，y)数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．

答案　D

解析　由散点图知呈带状区域时有较强的线性相关关系，故去掉D.

8．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：

试根据上述数据计算K2＝________.

根据表中所给的数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为这两种手术对病人又发作过心脏病的影响有差别？

________________________________________________________________________.

答案　1.779　不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论

解析　根据列联表中的数据，

可以求得K2＝≈1.779，而K2<2.072，

所以我们不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下，作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论．

二、高考小题

9．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是(　　)

A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

答案　D

解析　由柱形图，知2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势，故其排放量与年份负相关，故D错误．

10．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(　　)

A．11.4万元  B．11.8万元

C．12.0万元  D．12.2万元

答案　B

解析　∵＝＝10，

＝＝8，

∴＝－0.76＝8－0.76×10＝0.4，

∴＝0.76x＋0.4.

当x＝15时，＝0.76×15＋0.4＝11.8.

11．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是(　　)

表1

表2

表3

表4

A．成绩  B．视力  C．智商  D．阅读量

答案　D

解析　根据K2＝，代入题中数据计算得

表1：K2＝≈0.009；

表2：K2＝≈1.769；

表3：K2＝≈1.3；

表4：K2＝≈23.48.

∵D选项K2最大，

∴阅读量与性别有关联的可能性最大，故选D.

12．根据如下样本数据

得到的回归方程为＝bx＋a，则(　　)

A．a>0，b>0   B．a>0，b<0

C．a<0，b>0   D．a<0，b<0

答案　B

解析　把样本数据中的x，y分别当作点的横、纵坐标，在平面直角坐标系xOy中作出散点图，由图可知b<0，a>0.故选B.

13．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是(　　)

A.＝0.4x＋2.3   B.＝2x－2.4

C.＝－2x＋9.5   D.＝－0.3x＋4.4

答案　A

解析　由变量x与y正相关知C、D均错，又回归直线经过样本中心(3,3.5)，代入验证得A正确，B错误．故选A.

三、模拟小题

14．已知x，y的取值如表所示：

如果y与x线性相关，且线性回归方程为＝x＋，则的值为(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　A

解析　将＝3，＝5代入到＝x＋中，得＝－.故选A.

15．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，8)，其回归直线方程是＝x＋，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，则实数的值是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　依题意可知样本中心点为，则＝×＋a，解得＝.

16．下列说法错误的是(　　)

A．在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定

B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强

C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高

D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好

答案　B

解析　对于A，在回归模型中，预报变量y的值由解释变量x和随机误差e共同确定，即x只能解释部分y的变化，∴A正确；对于B，线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，∴B错误；对于C，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，C正确；对于D，在回归分析中，用相关指数R2来刻画回归的效果时，R2取值越大，说明模型拟合的效果越好，∴R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好，D正确．故选B.

17．为了检验某套眼保健操预防学生近视的作用，把500名做该套眼保健操的学生与另外500名未做该套眼保健操的学生的视力情况作记录并比较，提出假设H0：“这套眼保健操不能起到预防近视的作用”，利用2×2列联表计算所得的K2≈3.918.经查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学得出了以下结论：

①有95%的把握认为“这套眼保健操能起到预防近视的作用”；②若某人未做该套眼保健操，那么他有95%的可能得近视；③这套眼保健操预防近视的有效率为95%；④这套眼保健操预防近视的有效率为5%.

其中所有正确结论的序号是________．

答案　①

解析　根据查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05，故有95%的把握认为“这套眼保健操能起到预防近视的作用”，即①正确；95%仅是指“这套眼保健操能起到预防近视的作用”的可信程度，所以②③④错误．

18．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，计算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.已知家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程为＝x＋，则变量x与y________(填“正相关”或“负相关”)；若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄是________千元．

答案　正相关　1.7

解析　由题意，知n＝10，＝i＝8，＝i＝2，∴＝＝0.3，＝2－0.3×8＝－0.4，

∴＝0.3x－0.4，∵0.3>0，∴变量x与y正相关．当x＝7时，＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．

一、高考大题

1．下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．

(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：

参考数据：yi＝9.32，tiyi＝40.17, ＝0.55，≈2.646.

参考公式：相关系数r＝，

回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

＝，＝－ .

解　(1)由折线图中数据和附注中参考数据得

＝4， (ti－)2＝28, ＝0.55，

 (ti－)(yi－)＝tiyi－yi

＝40.17－4×9.32＝2.89，

r≈≈0.99.

因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．

(2)由＝≈1.331及(1)得＝＝≈0.103，

＝－＝1.331－0.103×4≈0.92.

所以y关于t的回归方程为＝0.92＋0.10t.

将2016年对应的t＝9代入回归方程得

＝0.92＋0.10×9＝1.82.

所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．

2．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

表中wi＝，＝wi.

(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：

①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为

＝，＝－ .

解　(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．

(2) 令w＝，先建立y关于w的线性回归方程．

由于＝＝＝68，

＝－＝563－68×6.8＝100.6，

所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.

(3)①由(2)，知当x＝49时，年销售量y的预报值

＝100.6＋68＝576.6，

年利润z的预报值

＝576.6×0.2－49＝66.32.

②根据(2)的结果，知年利润z的预报值

＝0.2×(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12，

所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值，

故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．

二、模拟大题

3．班主任对班级22名学生进行了作业量多少的调查，数据如下：在喜欢玩电脑游戏的12人中，有10人认为作业多，2人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有3人认为作业多，7人认为作业不多．

(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；

(2)试问喜欢玩电脑游戏与认为作业多少是否有关系．

参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

参考数据：

解　(1)根据题中所给数据，得到如下列联表：

(2)K2＝≈6.418，

∵3.841<6.418，

∴有95%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关．

4．2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如下表：

(1)以这100个人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；

(2)根据调查的数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由．

参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d

参考数据：

解　(1)由已知得70后“生二胎”的概率为，

并且X～B，

所以P(X＝k)＝Ck3－k(k＝0,1,2,3)，

其分布列如下：

所以E(X)＝3×＝2.

(2)K2＝

＝

＝≈3.030>2.706，

所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”．

5．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物)，为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：

(1)根据上表数据，用最小二乘法求出y与x的线性回归方程；

(2)若周六同一时段车流量是200万辆，试根据(1)求出的线性回归方程，预测此时PM2.5的浓度为多少？

参考公式：＝，＝－·.

解　(1)由条件可知＝i＝＝108，

＝i＝＝84，

(xi－)(yi－)＝(－8)×(－6)＋(－6)×(－4)＋0×0＋6×4＋8×6＝144，

(xi－)2＝(－8)2＋(－6)2＋02＋62＋82＝200，

＝＝＝0.72，

＝－＝84－0.72×108＝6.24，

故y关于x的线性回归方程为＝0.72x＋6.24.

(2)当x＝200时，＝0.72×200＋6.24＝150.24.

所以可以预测此时PM2.5的浓度约为150.24微克/立方米．

6．某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：

(1)求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；

(2)从该单位中任取2人，此2人中年薪高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；

(3)已知员工年薪与工作年限成正线性相关关系，若某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、4.2万元、5.6万元、7.2万元，预测该员工第五年的年薪为多少．

附：线性回归方程＝x＋中系数计算公式＝，＝－，其中，表示样本均值．

解　(1)平均值为10万元，中位数为6万元．

(2)年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人，所以从该单位中任取2人，此2人中年薪高于5万的人数记为ξ，ξ的可能取值为0,1,2.

P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝，

所以ξ的分布列为：

E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.

(3)设xi，yi(i＝1,2,3,4)分别表示工作年限及相应年薪，则＝2.5，＝5，

(xi－)2＝2.25＋0.25＋0.25＋2.25＝5，

(xi－)(yi－)＝－1.5×(－2)＋(－0.5)×(－0.8)＋0.5×0.6＋1.5×2.2＝7，

＝＝＝1.4，

＝－＝5－1.4×2.5＝1.5，

所以线性回归方程为＝1.4x＋1.5.

当x＝5时，＝8.5.

故可预测该员工第五年的年薪为8.5万元．