2018年高考考点完全题数学（理）考点通关练习题 第八章　概率与统计 60 word版含答案

考点测试60　古典概型

一、基础小题

1．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　甲、乙、丙三名同学站成一排共有6种站法，甲在中间共有2种站法，故甲站在中间的概率为.

2．从集合A＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过第三象限的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　一共有3×3＝9个基本事件，只有k＝－1，b＝1,2，直线才不经过第三象限．所以概率为.

3．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从到会教师中随机挑选一人表演节目．如果每位教师被选中的概率相等，而且选中男教师的概率为，那么参加这次联欢会的教师共有(　　)

A．360人  B．240人  C．144人  D．120人

答案　D

解析　设男教师有x人，则女教师有(x＋12)人，因为选中男教师的概率为，所以＝，解得x＝54，所以男教师为54人，女教师为66人，故参加这次联欢会的教师共有120人．

4．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　基本事件有(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(红1，红2)，(黑1，红1)，(黑1，红2)，(黑2，红1)，(黑2，红2)，(黑3，红1)，(黑3，红2)，共10个，其中为同色球的有4个，故所求概率为＝.

5．某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．如果他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　已知2位女同学和2位男同学走出教室的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出的是男同学的概率P＝＝.

6．某城市有连接8个小区A、B、C、D、E、F、G、H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区H，则他经过市中心O的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　由题意知此人从小区A前往小区H的所有最短路径为：A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，共6条．记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为：A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，共4个，所以P(M)＝＝，即他经过市中心O的概率为.

7．一个正方体，它的表面涂满了红色，切割为27个同样大小的小正方体，从中任取一个，它恰有一个面涂有红色的概率是________．

答案　

解析　研究涂红后的正方体的六个面，发现每个面中仅最中间那块只有一个面涂有红色，故所求概率为＝.

8．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈的概率是________．

答案　

解析　∵m、n均为不大于6的正整数，∴当点A(m，n)位于直线y＝x上及其下方第一象限的部分时，满足 θ∈的点A(m，n)有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个，列举可知点A(m，n)的基本事件总数为36，故所求概率为＝.

二、高考小题

9．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为(　　)

A.  B.  C.  D．1

答案　B

解析　从15个球中任取2个球，取法共有C种，其中恰有1个白球，1个红球的取法有C×C种，所以所求概率为P＝＝，故选B.

10．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　掷两颗均匀的骰子，得到的点数有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种结果，点数之和为5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种情况，所以所求事件的概率P＝＝，故选B.

11．10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．

答案　

解析　从10件产品中任取4件有C种取法，取出的4件产品中恰有1件次品有CC种取法，则所求的概率P＝＝.

12．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．

答案　

解析　先后抛掷2次骰子，所有可能出现的情况可用数对表示为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，…(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36个，

其中点数之和不小于10的有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6个，从而点数之和小于10的数对共有30个，故所求概率P＝＝.

三、模拟小题

13．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有2位女生相邻的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　依题意，要使3位女生中有且只有2位女生相邻，需先将2位女生“捆绑”，然后排2位男生，最后将“捆绑”的2位女生与剩下的一位女生去插空，共有(CA)·A·A种排法，所以所求概率 P＝＝，故选B.

14．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　由题意分析可得甲连续三天参加活动的所有情况为：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共四种，∴所求概率P＝＝.

15．某高中数学老师从一张测试卷的12道选择题、4道填空题、6道解答题中任取3道题作分析，则在取到选择题时解答题也取到的概率为(　　)

A.

B.

C.

D.

答案　C

解析　任取3道，取到选择题共有m1＝(C－C)种，任取3道取到选择题也取到解答题共有m2＝C·(C·C＋C)＋C·C，易知所求概率P＝，故选C.

16．有一个奇数列，1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　将数列1,3,5,7,9…记为{an}，则前九组共有1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，故第十组中第一个数字为a46＝2×46－1＝91，第十组共有10个奇数，分别是91,93,95,97,99,101,103,105,107,109这10个数字，其中为3的倍数的数有93,99,105三个，故所求概率为P＝.

17．甲、乙两位同学各拿出4本书，用作投骰子的奖品．两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积3分者获胜，将获得所有8本书，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这8本书分配合理的是(　　)

A．甲得6本，乙得2本  B．甲得5本，乙得3本

C．甲得4本，乙得4本  D．甲得7本，乙得1本

答案　A

解析　由题意知为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：(甲，甲)，(甲，乙)，(乙，甲)，(乙，乙)，其中甲获胜有3种，而乙获胜只有1种，所以甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，甲得到的书的本数为8×＝6，乙得到的书的本数为8×＝2.故选A.

18．某校有包括甲、乙两人在内的5名大学生自愿参加该校举行的A，B两场国际学术交流会的服务工作，这5名大学生中有2名被分配到A场交流会，另外3名被分配到B场交流会，如果分配方式是随机的，则甲、乙两人被分配到同一场交流会的概率为________．

答案　

解析　将5名大学生随机分配到A，B两场交流会的所有可能事件有C＝10个，甲、乙两人被分配到同一场交流会的事件包含的基本事件的个数为1＋C＝4，故所求概率为＝.

一、高考大题

1．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.

(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；

(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．

解　(1)由题意知(a，b，c)所有可能的结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种，

设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，

所以P(A)＝＝.

因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.

(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，

则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，

所以P(B)＝1－P()＝1－＝.

因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.

2．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．

(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；

(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．

解　(1)由已知，有P(A)＝＝.

所以，事件A发生的概率为.

(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝.

所以，随机变量X的分布列为：

随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.

二、模拟大题

3．已知A，B，C三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，一个球标着号码1，另一个球标着号码2，现从A，B，C三个箱子中各摸出1个球．

(1)若用数组(x，y，z)中的x，y，z分别表示从A，B，C三个箱子中摸出的球的号码，请写出数组(x，y，z)的所有情形，并回答一共有多少种；

(2)如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖，那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由．

解　(1)数组(x，y，z)的所有情形为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,1)，(1,2,2)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,2,1)，(2,2,2)，共8种．

(2)摸出的三个球号码的和可能为3,4,5,6，故记“所摸出的三个球号码之和为i”为事件Ai(i＝3,4,5,6)，

易知，事件A3包含1个基本事件，事件A4包含3个基本事件，事件A5包含3个基本事件，事件A6包含1个基本事件，∴P(A3)＝，P(A4)＝，P(A5)＝，P(A6)＝.

故所摸出的三个球号码之和为4或5的概率相等且最大．即猜4或5获奖的可能性最大．

4．甲、乙两袋中各装有大小相同的9个小球，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左、右手分别从甲、乙两袋中取球．

(1)若左、右手各取一球，求两只手中所取球的颜色不同的概率；

(2)若左、右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

解　(1)设事件A为“两手所取球的颜色不同”，

则P(A)＝1－＝.

(2)依题意，X的可能取值为0,1,2.

左手所取的两球颜色相同的概率为＝，

右手所取的两球颜色相同的概率为＝，

则P(X＝0)＝＝×＝，

P(X＝1)＝×＋×＝，

P(X＝2)＝×＝，

所以X的分布列为：

故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.