浙江专用2021届高考数学二轮复习预测提升仿真模拟卷十八含解析

这是一份浙江专用2021届高考数学二轮复习预测提升仿真模拟卷十八含解析，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高考仿真模拟卷(十八)
(时间：120分钟；满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题，共40分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设i是虚数单位，如果复数的实部与虚部相等，那么实数a的值为(　　)
A. B．－
C．3 D．－3
2．设集合M＝{x|－2 A．{x|－2 C．{x|0 3．若实数x，y∈R，则“x>0，y>0”是“xy>0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知a，b是单位向量，且a·b＝－，若平面向量p满足p·a＝p·b＝，则|p|＝(　　)
A. B．1
C. D．2
5．已知实数x，y满足不等式组则(x－1)2＋(y＋2)2的取值范围是(　　)
A．[1，5] B．[，5]
C．[5，25] D．[5，26]
6．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k(x＋1)在(－∞，1]上恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围是(　　)
A．[1，3) B．(1，3]
C．[2，3) D．(3，＋∞)
7．中国古代数学有着很多令人惊叹的成就．北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术．隙积术意即：将木桶一层层堆放成坛状，最上一层长有a个，宽有b个，共计ab个木桶，每一层长宽各比上一层多一个，共堆放n层，设最底层长有c个，宽有d个，则共计有木桶个．假设最上层有长2宽1共2个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放15层，则木桶的个数为(　　)
A．1 260 B．1 360
C．1 430 D．1 530
8．已知在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别在线段AB、BC上运动，若EF＝1，则·的取值范围是(　　)
A．[1－，0] B．[0，＋1]
C．[－1，＋1] D．[1，＋1]
9．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线右支上，且满足|PF2|＝|F1F2|.若直线PF1与圆x2＋y2＝a2有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为(　　)
A．(，＋∞) B．(1，)
C．[，＋∞) D．(1，]
10．当x∈[1，4]时，不等式0≤ax3＋bx2＋4a≤4x2恒成立，则a＋b的取值范围是(　　)
A．[－4，8] B．[－2，8]
C．[0，6] D．[4，12]
第Ⅱ卷(非选择题，共110分)
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．
11．已知等差数列{an}中，Sn是前n项和，S3＝－6，S5－S2＝6，则an＝________，|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝________．
12．已知随机变量X的分布列为：
X
1
2
3
P


m
则m＝________，D(X)＝________.
13．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝，则A＝________，c＝________．
14．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为________；表面积为________．
　　　　　　
15．已知点Q在圆C：x2＋y2＋2x－8y＋13＝0上，抛物线y2＝8x上任意一点P到直线l：x＝－2的距离为d，则d＋|PQ|的最小值等于________．
16．已知函数f(x)＝|x3－4x|＋ax－2恰有2个零点，则实数a的取值范围为________．
17．如图，在棱长为2的正四面体S­ABC中，动点P在侧面SAB内，PQ⊥底面ABC，垂足为Q，若PS＝PQ，则PC长度的最小值为________．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．(本题满分14分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)·sin C.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求△ABC的面积．














19.(本题满分15分)如图，在四棱锥 S­ABCD 中，底面ABCD为正方形，SD⊥平面ABCD，点E，F分别是AB，SC的中点．

(1)求证：EF∥平面SAD；
(2)设SD＝2DA，求二面角A­EF­D的余弦值．







20．(本题满分15分)已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝2an＋1，其中Sn为{an}的前n项和(n∈N*)．
(1)求S1，S2及数列{Sn}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝，且{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，≤|Tn|≤.









21．(本题满分15分)已知抛物线C的方程为x2＝4y，F为其焦点，过不在抛物线上的一点P作此抛物线的切线PA，PB，A，B为切点．且PA⊥PB.

(1)求证：直线AB过定点；
(2)直线PF与曲线C的一个交点为R，求· 的最小值．









22．(本题满分15分)设n∈N*，函数f(x)＝，函数g(x)＝(x>0)．
(1)当n＝1时，求函数y＝f(x)的零点个数；
(2)若函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象分别位于直线y＝1的两侧，求n的取值集合A；
(3)对于∀n∈A，∀x1，x2∈(0，＋∞)，求|f(x1)－g(x2)|的最小值．























高考仿真模拟卷(十八)
1．解析：选C.＝，由题意知2a－1＝a＋2，解得a＝3.
2．解析：选B.法一：由M－N＝{x|x∈M，x∉N}可知，N－M＝{x|2 法二：结合定义及M＝{x|－2 3．A
4．解析：选B.由题意，不妨设a＝(1，0)，b＝，p＝(x，y)，
因为p·a＝p·b＝，所以解得
所以|p|＝＝1.
5．解析：选D.作出可行域如图中阴影部分：

(x－1)2＋(y＋2)2表示点(x，y)到(1，－2)的距离的平方．所以当x＝0，y＝0时，取到最小值5；当x＝0，y＝3时，取到最大值26.故选D.
6．解析：选A.当x∈(－∞，1]时，g(x)＝f(x)－k(x＋1)恰有两个不同的零点，等价于当x∈(－∞，1]时，直线y＝k(x＋1)与函数y＝f(x)的图象有两个不同的交点，因为直线y＝k(x＋1)过定点(－1，0)，由图(图略)可知k取值范围为[1，3)．故选A.
7．解析：选B.根据题意可知，a＝2，b＝1，n＝15，则c＝2＋14＝16，d＝1＋14＝15，代入题中所给的公式，可计算出木桶的个数为＝1 360，故选B.
8．解析：选A.

由题意可得，以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则C(1，1)，D(0，1)．设E(x，0)，F(1，y)(0≤x≤1，0≤y≤1)．因为EF＝1，所以(x－1)2＋y2＝1，该图形为以(1，0)为圆心，1为半径的圆的四分之一．因为＝(1－x，1)，＝(－1，1－y)，·＝x－y，数形结合可知x－y∈[1－，0]即·∈[1－，0]．故选A.
9．解析：选D.由题意可得，|PF2|＝|F1F2|＝2c，则|PF1|＝2a＋2c.因为直线PF1与圆x2＋y2＝a2有公共点，所以圆心到直线PF1的距离d≤a，则等腰△PF1F2的底边PF1上的高h≤2a.由勾股定理可知4c2－(a＋c)2＝h2≤4a2，即3c2－2ac－5a2≤0，由e＝可得，3e2－2e－5≤0，解得－1≤e≤，又e>1，则1 10．解析：选A.因为0≤ax3＋bx2＋4a≤4x2，所以－2x2≤ax3＋(b－2)x2＋4a≤2x2，故|ax3＋(b－2)x2＋4a|≤2x2，所以≤2，所以≤2.因为y＝x＋在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增，所以ymax＝5，ymin＝3，若a＝0，则0≤b≤4，即0≤a＋b≤4；若a＞0，则3a＋b≥0，5a＋b≤4，由a＋b＝2(3a＋b)－(5a＋b)，可得a＋b≥－4；若a＜0，则5a＋b≥0，3a＋b≤4，由a＋b＝2(3a＋b)－(5a＋b)，可得a＋b≤8.综上－4≤a＋b≤8.故选A.
11．解析：依题意得3a2＝－6，即a2＝－2，S5－S2＝a3＋a4＋a5＝3a4＝6，a4＝2，公差d＝＝2，an＝a2＋(n－2)d＝2n－6.在数列{an}中，前两项均为负，第三项为零，从第四项起以后各项均为正，因此所求的和等于4＋2＋0＋2＋4＝12.
答案：2n－6　12
12．解析：因为＋＋m＝1，所以m＝.E(X)＝1×＋2×＋3×＝，D(X)＝×＋×＋×＝.
答案：　
13．解析：由正弦定理得：＝，因为B＝2A，a＝1，b＝，
所以＝.因为A为三角形的内角，所以sin A≠0.
所以cos A＝.又0 所以C＝π－A－B＝，所以△ABC为直角三角形．
由勾股定理得c＝＝2.
答案：　2
14．解析：由图所示，

则体积V＝×4××4×4＝，表面积S＝×4×4＋×4×4＋×4×4＋×4×4＝16＋16.
答案：　16＋16
15．解析：抛物线y2＝8x

的焦点为F(2，0)，故直线l：x＝－2为抛物线的准线，由抛物线的定义可知，d＝|PF|.圆C的方程可变形为(x＋1)2＋(y－4)2＝4，圆心为C(－1，4)，半径r＝2.如图所示，d＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|.显然，|PF|＋|PQ|≥|FQ|(当且仅当F，P，Q三点共线，且点P在点F，Q之间时取等号)．而|FQ|为圆C上的动点Q到定点F的距离，显然当Q处在Q′的位置，P处在P′的位置时，|FQ|取得最小值，且最小值为|CF|－r＝－2＝5－2＝3.
答案：3
16．解析：函数

f(x)＝|x3－4x|＋ax－2恰有2个零点即函数y＝|x3－4x|与y＝2－ax的图象有2个不同的交点．作出函数y＝|x3－4x|的图象如图，当直线y＝2－ax与曲线y＝－x3＋4x，x∈[0，2]相切时，设切点坐标为(x0，－x＋4x0)，则切线方程为y－(－x＋4x0)＝(－3x＋4)(x－x0)，且经过点(0，2)，代入解得x0＝1，此时a＝－1，由函数图象的对称性可得实数a的取值范围为a<－1或a>1.
答案：a<－1或a>1
17．解析：作PH⊥AB于点H，连接QH，则∠PHQ为二面角S­AB­C的平面角，设AB的中点为G，S在平面ABC内的射影为O′(O′为△ABC的中心)，连接SG，GO′，SO′，则∠SGO′也是二面角S­AB­C的平面角，则sin∠PHQ＝＝sin∠SGO′＝＝，所以PH＝PQ，所以PH＝PS，所以点P的轨迹是侧面SAB内以AB为准线，以S为焦点的抛物线，SH的中点O是抛物线的顶点，O到C的距离就是PC的最小值，此时由余弦定理可知，PC2＝＋()2－2×××＝，所以|PC|min＝.
答案：
18．解：(1)由已知及正弦定理，可得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c.
整理，得b2＋c2－a2＝bc.所以cos A＝＝.
又A∈(0，π)，故A＝.
(2)由正弦定理可知＝，又a＝2，b＝2，A＝，
所以sin B＝.又B∈，故B＝或.
若B＝，则C＝，于是S△ABC＝ab＝2；
若B＝，则C＝，于是S△ABC＝absin C＝.
19．解：以D为原点，射线DA，DC，DS分别为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图所示．

(1)证明：设AB＝2a，SD＝2b，则E(2a，a，0)，S(0，0，2b)，C(0，2a，0)，F(0，a，b)，＝(－2a，0，b)，＝(0，2a，0)，于是·＝(－2a，0，b)·(0，2a，0)＝0.
则⊥.又是平面SAD的一个法向量，
所以EF∥平面SAD.
(2)设DC＝2，有SD＝2DC＝4，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，S(0，0，4)，E(2，1，0)，F(0，1，2)，则＝(2，1，0)，＝(0，1，2)，
＝(0，1，0)，＝(－2，0，2)．
设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则所以取n＝(1，－2，1)．
同理可得平面AEF的一个法向量为m＝(1，0，1)，
所以 cos〈m，n〉＝＝＝，
故二面角A­EF­D的余弦值为 .
20．解：(1)数列{an}满足Sn＝2an＋1，则Sn＝2an＋1＝2(Sn＋1－Sn)，即3Sn＝2Sn＋1，所以＝，S1＝a1＝1，＝，所以S2＝.即数列{Sn}为以1为首项，以为公比的等比数列，所以Sn＝(n∈N*)．
(2)证明：在数列{bn}中，bn＝＝－1×，{bn}的前n项和
|Tn|＝
＝.
而当n≥2时，1－≤|1＋＋＋＋…＋|≤＝，即≤|Tn|≤.
21．解：(1)设直线AB的方程为y＝kx＋b，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B为切点的切线方程分别为
x1x＝2y＋2y1，x2x＝2y＋2y2.
由消去y得x2－4kx－4b＝0.
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b.
这两条切线的斜率分别为k1＝，k2＝.
由这两切线垂直得k1k2＝＝＝－1，得b＝1.
所以直线AB恒过定点.
(2)设P(x0，y0)，则x0＝(x1＋x2)＝2k，y0＝x1x0－y1＝＝－1，
当k＝0时，则x0＝0，可得AB⊥PF，
当k≠0时，则x0≠0，kAB＝，kPF＝，
同样可得AB⊥PF.
所以·＝·＝(y1＋1)(y1＋y2＋2)，由y1y2＝1，
所以·＝(y1＋1)(y1＋y2＋2)＝y＋3y1＋3＋，
令f(x)＝x2＋3x＋3＋(x＞0)．
f′(x)＝2x＋3－＝.
所以f(x)在上为减函数，
在 上为增函数．
所以(·)min＝f＝.
(或f(x)＝x2＋3x＋3＋＝＝≥＝，当x＝时取等号．)
22．解：(1)当n＝1时，f(x)＝，f′(x)＝(x>0)．
由f′(x)>0得0e.
所以函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，因为f(e)＝>0，f＝－e<0，所以函数f(x)在(0，e)上存在一个零点；
当x∈(e，＋∞)时，f(x)＝>0恒成立，
所以函数f(x)在(e，＋∞)上不存在零点．
综上得函数f(x)在(0，＋∞)上存在唯一一个零点．
(2)对函数f(x)＝求导，得f′(x)＝(x>0)，
由f′(x)>0，得0e.
所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，则当x＝e时，函数f(x)有最大值f(x)max＝f＝.
对函数g(x)＝(x>0)求导，得g′(x)＝(x>0)，
由g′(x)>0，得x>n；由g′(x)<0，得0 所以函数g(x)在(0，n)上单调递减，在(n，＋∞)上单调递增，
则当x＝n时，函数g(x)有最小值g(x)min＝g(n)＝.
因为∀n∈N*，函数f(x)的最大值f＝<1，即函数f(x)＝在直线y＝1的下方，
故函数g(x)＝(x>0)在直线y＝1的上方，
所以g(x)min＝g(n)＝>1，
解得n 所以n的取值集合A＝{1，2}．
(3)对∀x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－g(x2)|的最小值等价于g(x)min－f(x)max＝－.当n＝1时，g(x)min－f(x)max＝e－；
当n＝2时，g(x)min－f(x)max＝－；
因为－＝>0，
所以|f(x1)－g(x2)|的最小值为－＝.