高考数学二轮复习练习：专题限时集训07《空间几何体的三视图、表面积和体积》（含答案详解）

高考数学二轮复习练习：专题限时集训07

《空间几何体的三视图、表面积和体积》

一、选择题

1.三棱锥P­ABC的四个顶点都在体积为的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，

则该三棱锥的高的最大值为(　　)

A.4          B.6          C.8          D.10

2.已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=1，BC=，

若球O的表面积为4π，则SA=(　　)

A.          B.1         C.         D.

3.从点P出发的三条射线PA，PB，PC两两成60°角，且分别与球O相切于A，B，C三点，

若OP=，则球的体积为(　　)

A.        B.         C.           D.

4.一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是如图所示，图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形，则这个四面体的外接球的表面积是(　　)

A.π         B.3π         C.4π         D.6π

5.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(　　)

A.1          B.          C.          D.2

6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是(　　)

A.　　　B.      C.　　   D.

7.如图是一个正三棱柱挖去一个圆柱后得到的几何体的三视图，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积的比值为(　　)

A.－1         B.－       C.           D.＋1

8.某几何体的三视图如图8­16所示，则该几何体的体积为(　　)

A.80         B.160        C.240          D.480

9.某几何体的三视图如图所示，则下列说法正确的是(　　)

①该几何体的体积为；

②该几何体为正三棱锥；

③该几何体的表面积为＋；

④该几何体外接球的表面积为3π.

A.①②③        B.①②④           C.①③④         D.②③④

10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是(　　)

A.25π        B.π         C.29π        D.π

11.已知三棱锥P­ABC的顶点都在同一个球面上(球O)，且PA=2，PB=PC=，当三棱锥P­ABC的三个侧面的面积之和最大时，该三棱锥的体积与球O的体积的比值是(　　)

A.        B.        C.         D.

12.已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，AA1=2，

则该三棱柱的外接球的体积为(　　)

A.          B.       C.       D.20π

13.已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O(重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则球的表面积等于(　　)

A.π          B.π        C.π           D.π

14.已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是(　　)

A.π         B.2π          C.π         D.3π

二、填空题

15.正方体的八个顶点中，有四个恰好为一个正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为________.

16.如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC=2CD=2AD=2，若将该直角梯形绕BC边旋转一周，则所得的几何体的表面积为________.

17.在四面体P­ABC中，PA=PB=PC=BC=1，则该四面体体积的最大值为________.

18.现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为________.

0.答案详解

1.答案为：C；

解析：依题意，设题中球的球心为O、半径R，△ABC的外接圆半径为r，

则=，解得R=5，由πr2=16π，解得r=4，

又球心O到平面ABC的距离为=3，

因此三棱锥P­ABC的高的最大值为5＋3=8，选C.]

2.答案为：B；

解析：根据已知把S­ABC补成如图所示的长方体.因为球O的表面积为4π，

所以球O的半径R=1,2R==2，解得SA=1，故选B.]

3.答案为：C；

解析：设OP交平面ABC于O′，由题得△ABC和△PAB为正三角形，

所以O′A=AB=AP.因为AO′⊥PO，OA⊥PA，

所以=，=，=，所以OA==×=1，

即球的半径为1，所以其体积为π×13=π.选C.]

4.答案为：B；

解析：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体，

∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为，

∴此四面体的外接球的表面积为4π×=3π，故选B.]

5.答案为：C；

解析：四棱锥的直观图如图所示，

PC⊥平面ABCD，PC=1，底面四边形ABCD为正方形且边长为1，

故最长棱PA==.]

6.答案为：D；

解析：由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为2，其底面为正方形，

面积为2×2=4，因为该几何体的体积为×4×2=，满足条件，

所以俯视图可以为一个直角三角形 .选D.]

7.答案为：A；

解析：由三视图知圆柱与正三棱柱的各侧面相切，设圆柱的底面半径为r，高为h，

则V圆柱=πr2h.正三棱柱底面三角形的高为3r，边长为2r，

则V正三棱柱=×2r×3rh=3r2h，所以该几何体的体积V=(3－π)r2h，

则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积的比值为=－1.]

8.答案为：B；

解析：如图所示，题中的几何体是从直三棱柱ABC­A′B′C′中截去一个三棱锥

A­A′B′C′后所剩余的部分，其中底面△ABC是直角三角形，

AC⊥AB，AC=6，AB=8，BB′=10，因此题中的几何体的体积为

×10－×=××10=160，选B.]

9.答案为：B；

解析：根据该几何体的三视图，可知该几何体是一个三棱锥，

如图所示，其底面为一个直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，

它的另外三条棱长均为，显然其是一个正三棱锥，②正确；

该几何体的体积V=××1×1×1=，①正确；

该几何体的表面积S=3××1×1＋×××=＋，③错误；

该几何体外接球的直径为2R==，

所以其外接球的表面积为4πR2=3π，④正确.故选B.]

10.答案为：D；

解析：由俯视图，可得该三棱锥底面外接圆的半径r=，

∴三棱锥的外接球的半径R===，

∴三棱锥的外接球的表面积S=4πR2=π.]

11.答案为：A；

解析：三棱锥P­ABC的三个侧面的面积之和为×2×sin∠APB＋×2×sin∠APC

＋××sin∠BPC，由于∠APB，∠APC，∠BPC相互之间没有影响，

所以只有当上述三个角均为直角时，三棱锥P­ABC的三个侧面的面积之和最大，

此时PA，PB，PC两两垂直，以其为长方体的三条棱长得出一个长方体，

则三棱锥P­ABC与该长方体有共同的外接球，

故球O的半径r==2，

所以三棱锥P­ABC的体积与球O的体积的比值是=.]

12.答案为：B；

解析：如图，设△A1B1C1的外心为O1，△ABC的外心为O2，连接O1O2，OB，O2B.

由题意可得，球心O为O1O2的中点.在△ABC中，由余弦定理可得

BC2=AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC=32＋12－2×3×1×cos 60°=7，所以BC=.

由正弦定理可得，△ABC外接圆的直径2r=2O2B==，所以r==.

而球心O到截面ABC的距离d=OO2=BB1=1，

设直三棱柱ABC­A1B1C1外接球的半径为R，

由球的截面的性质可得R2=r2＋d2=＋12=，

所以球的体积为V=R3=.故选B.]

13.答案为：C；

解析：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，

∵正四面体的各棱长均为4，

∴正四面体体积为××42×=，∴没有水的部分的体积是，

设其棱长为a，则×a2×a=，∴a=2，

设小球的半径为r，则4×××22r=，∴r=，

∴球的表面积S=4π·=π.故选C.]

14.答案为：C；

解析：设正△ABC的中心为O1，连接O1A，O1O，O1E，OE(图略)，

∵O1是正△ABC的中心，A，B，C三点都在球面上，

∴O1O⊥平面ABC，∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O=1，

∴Rt△O1OA中，O1A==，

又∵E为AB的中点，△ABC是等边三角形，∴AE=AO1cos 30°=.

∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，

∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值.

此时截面圆的半径r=，可得截面面积为S=πr2=.故选C.]

15.答案为：；

解析：如图，四面体A­BCD的所有棱均为正方体的面对角线，

设正方体的棱长为a，则正方体的表面积为6a2，正四面体的棱长均为a，

其表面积为4××a××a=2a2，则=.]

16.答案为：(＋3)π；

解析：根据题意可知，此旋转体的上半部分为圆锥(底面半径为1，高为1)，下半部分为圆柱(底面半径为1，高为1)，如图所示.

则所得几何体的表面积为圆锥侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面积之和，

即表面积为π·1·＋2π·12＋π·12=(＋3)π.]

17.答案为：；

解析：由题意知，△PBC的面积为定值，

如图，当PA垂直于平面PBC时，该四面体的体积最大，Vmax=××1=.]

18.答案为：；

解析：设球的半径为R，正方体的棱长为a.

由题意得当正方体体积最大时，a2＋=R2，∴R=a，

∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为==.]